AM@二阶非齐次线性微分方程@经典类型2的解
abstract
- 二阶非齐次线性微分方程@待定系数法可以求解的经典类型2的解
- 本文给出该类型2为什么可以通过待定系数法可求解,并且待定函数要设置成什么形式,待定函数各部分确定规则
- 推理过程有一定工作量,实际应用中只要知道待定系数法可以求解此类问题,以及待定函数的形式和系数确定规则
概念说明
共轭多项式
- P 1 ( x ) P_1(x) P1(x)= ∑ i = 0 n a i x i \sum_{i=0}^{n}a_ix^{i} ∑i=0naixi, P 2 ( x ) ) P_2(x)) P2(x))= ∑ i = 0 n b i x i \sum_{i=0}^{n}b_ix^{i} ∑i=0nbixi是共轭 m m m次多项式是指,两个 m m m次多项式的对应项 a i x i , b i x i a_ix^{i},b_ix^{i} aixi,bixi的系数 a i , b i a_i,b_i ai,bi是共轭复数
- a , b a,b a,b是共轭复数表示为 b = a ‾ b=\overline{a} b=a; a a a的共轭复数表示为 a ‾ \overline{a} a
- 类似的, P ( x ) P(x) P(x)的共轭多项式可以表示为 P ‾ ( x ) \overline{P}(x) P(x)
- 由于实数的共轭复数是实数本身,从而系数全为实数的多项式 f ( x ) f(x) f(x)的共轭多项式 f ‾ ( x ) \overline{f}(x) f(x)相等,即 f ( x ) = f ‾ ( x ) f(x)=\overline{f}(x) f(x)=f(x)
- 更多共轭复数性质另见复数资料
共轭和多形式相关函数
- 若 y ( x ) y(x) y(x)= T ( x ) R m ( x ) T(x)R_m(x) T(x)Rm(x)中 T ( x ) T(x) T(x)为非多项式函数或系数为实数多项式函数,则其共轭多项式 y ‾ ( x ) = T ( x ) R m ( x ) \overline{y}(x)=T(x)R_m(x) y(x)=T(x)Rm(x)
- 共轭多形式之和是实系数多相似,此性质可以做复数形式的结论转化为实数形式结论的转换
共轭函数
- F ( y ( x ) ) = f ( x ) F(y(x))=f(x) F(y(x))=f(x),则 F ( y ‾ ( x ) ) F(\overline{y}(x)) F(y(x))= f ‾ ( x ) \overline{f}(x) f(x), F F F是某个一般函数
- 任意两个共轭多项式函数之和没有虚部(是一个实值函数)
类型1
- 回顾类型1: y ′ ′ + p y ′ + q y y''+py'+qy y′′+py′+qy= e λ x P m ( x ) e^{\lambda{x}}P_{m}(x) eλxPm(x)
类型2
类型衍生分析
-
当自由项 f ( x ) f(x) f(x)= e λ x ( P l ( x ) cos ω x + P n ( x ) sin ω x ) e^{\lambda{x}}(P_{l}(x)\cos{\omega}x+P_{n}(x)\sin{\omega{x}}) eλx(Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx)
(0)时都属于类型2一大类- 其中
λ
,
ω
\lambda,\omega
λ,ω都是常数,
ω
≠
0
\omega\neq{0}
ω=0,
P
l
(
x
)
,
P
n
(
x
)
P_{l}(x),P_{n}(x)
Pl(x),Pn(x)分别是
x
x
x的
l
l
l次,
n
n
n次多项式,且最多一个为零
- 若
ω
=
0
\omega=0
ω=0,类型2退化为类型1(类型1是类型2的一种特例):
f
(
x
)
f(x)
f(x)=
e
λ
x
P
l
(
x
)
e^{\lambda{x}}P_{l}(x)
eλxPl(x)
(0-0) - 若
P
l
(
x
)
=
0
P_l(x)=0
Pl(x)=0,方程(0)成为
f
(
x
)
f(x)
f(x)=
e
λ
x
P
n
(
x
)
sin
ω
x
e^{\lambda{x}}P_{n}(x)\sin{\omega{x}}
eλxPn(x)sinωx
(0-1) - 若
P
n
(
x
)
=
0
P_{n}(x)=0
Pn(x)=0,方程(0)成为
f
(
x
)
f(x)
f(x)=
e
λ
x
P
l
(
x
)
cos
ω
x
e^{\lambda{x}}P_{l}(x)\cos{\omega}x
eλxPl(x)cosωx
(0-2) - 若
λ
=
0
\lambda=0
λ=0,则方程(0),(0-1),(0-2)分别成为:
-
P
l
(
x
)
cos
ω
x
+
P
n
(
x
)
sin
ω
x
P_{l}(x)\cos{\omega}x+P_{n}(x)\sin{\omega{x}}
Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx
(0-0-0); -
P
n
(
x
)
sin
ω
x
P_{n}(x)\sin{\omega{x}}
Pn(x)sinωx
(0-1-1); -
P
l
(
x
)
cos
ω
x
P_{l}(x)\cos{\omega}x
Pl(x)cosωx
(0-2-1)
-
P
l
(
x
)
cos
ω
x
+
P
n
(
x
)
sin
ω
x
P_{l}(x)\cos{\omega}x+P_{n}(x)\sin{\omega{x}}
Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx
- 注意,高等代数中,0多项式没有次数(非零常数的次数定义为0),但为了形式统一,不妨将0的次数约定 0 0 0
- 若
ω
=
0
\omega=0
ω=0,类型2退化为类型1(类型1是类型2的一种特例):
f
(
x
)
f(x)
f(x)=
e
λ
x
P
l
(
x
)
e^{\lambda{x}}P_{l}(x)
eλxPl(x)
- 其中
λ
,
ω
\lambda,\omega
λ,ω都是常数,
ω
≠
0
\omega\neq{0}
ω=0,
P
l
(
x
)
,
P
n
(
x
)
P_{l}(x),P_{n}(x)
Pl(x),Pn(x)分别是
x
x
x的
l
l
l次,
n
n
n次多项式,且最多一个为零
推导
- 此时方程表示为
y
′
′
+
p
y
′
+
q
y
y''+py'+qy
y′′+py′+qy=
e
λ
x
(
P
l
(
x
)
cos
ω
x
+
P
n
(
x
)
sin
ω
x
)
e^{\lambda{x}}(P_{l}(x)\cos{\omega}x+P_{n}(x)\sin{\omega{x}})
eλx(Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx)
(1)-
应用欧拉公式,可将三角函数表示为复指数函数的形式,
-
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}
eiθ=cosθ+isinθ
(2-1) -
e
−
i
θ
e^{-i\theta}
e−iθ=
e
i
(
−
θ
)
e^{i(-\theta)}
ei(−θ)=
cos
(
−
θ
)
+
i
sin
(
−
θ
)
\cos{(-\theta)}+i\sin{(-\theta)}
cos(−θ)+isin(−θ)=
cos
θ
−
i
sin
θ
\cos{\theta}-i\sin{\theta}
cosθ−isinθ
(2-2) - 那么
cos
θ
\cos\theta
cosθ=
1
2
(
e
i
θ
+
e
−
i
θ
)
\frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})
21(eiθ+e−iθ)
(3-1); sin θ = 1 2 i ( e i θ − e − i θ ) \sin\theta=\frac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta}) sinθ=2i1(eiθ−e−iθ)(3-1) - 令
θ
\theta
θ=
ω
x
\omega{x}
ωx,得
cos
ω
x
\cos\omega{x}
cosωx=
1
2
(
e
i
ω
x
+
e
−
i
ω
x
)
\frac{1}{2}(e^{i\omega{x}}+e^{-i\omega{x}})
21(eiωx+e−iωx)
(4-1); sin ω x \sin\omega{x} sinωx= 1 2 i ( e i ω x − e − i ω x ) \frac{1}{2i}(e^{i\omega{x}}-e^{-i\omega{x}}) 2i1(eiωx−e−iωx)(4-2)
-
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}
eiθ=cosθ+isinθ
-
将(4-1,4-2)代入到(0),得 f ( x ) f(x) f(x)= e λ x [ P l ( x ) 1 2 ( e i ω x + e − i ω x ) + P n ( x ) 1 2 i ( e i ω x − e − i ω x ) ] e^{\lambda{x}} [P_{l}(x)\frac{1}{2}(e^{i\omega{x}}+e^{-i\omega{x}})+P_n(x)\frac{1}{2i}(e^{i\omega{x}}-e^{-i\omega{x}})] eλx[Pl(x)21(eiωx+e−iωx)+Pn(x)2i1(eiωx−e−iωx)]
-
= ( P l ( x ) 2 + P n ( x ) 2 i ) e ( λ + i ω ) x (\frac{P_{l}(x)}{2}+\frac{P_{n}(x)}{2i}) e^{(\lambda+i\omega)x} (2Pl(x)+2iPn(x))e(λ+iω)x+ ( P l ( x ) 2 − P n ( x ) 2 i ) e ( λ − i ω ) x (\frac{P_{l}(x)}{2}-\frac{P_{n}(x)}{2i}) e^{(\lambda-i\omega)x} (2Pl(x)−2iPn(x))e(λ−iω)x
(5) -
为简化形式,令 P ( x ) P(x) P(x)= P l ( x ) 2 + P n ( x ) 2 i \frac{P_{l}(x)}{2}+\frac{P_{n}(x)}{2i} 2Pl(x)+2iPn(x); P ‾ ( x ) \overline{P}(x) P(x)= P l ( x ) 2 − P n ( x ) 2 i \frac{P_{l}(x)}{2}-\frac{P_{n}(x)}{2i} 2Pl(x)−2iPn(x)
- 由于
1
i
\frac{1}{i}
i1=
i
i
2
\frac{i}{i^2}
i2i=
−
i
-i
−i
(5),代入 P ( x ) , Q ( x ) P(x),Q(x) P(x),Q(x),分别得到 P ( x ) P(x) P(x)= P l ( x ) 2 − i P n ( x ) 2 \frac{P_{l}(x)}{2}-i\frac{P_{n}(x)}{2} 2Pl(x)−i2Pn(x)(6-1); P ‾ ( x ) \overline{P}(x) P(x)= P l ( x ) 2 + i P n ( x ) 2 \frac{P_{l}(x)}{2}+i\frac{P_{n}(x)}{2} 2Pl(x)+i2Pn(x)(6-2); - 显然 P ( x ) , P ‾ ( x ) P(x),\overline{P}(x) P(x),P(x)是系数共轭多项式,它们的次数显然相同,都为 m m m= max { l , n } \max\set{l,n} max{l,n}(非齐次多项式的线性组合的次数为被组合多项式中次数最高的次数同次)
- 由于
1
i
\frac{1}{i}
i1=
i
i
2
\frac{i}{i^2}
i2i=
−
i
-i
−i
-
-
从而式(5)改写为 f ( x ) f(x) f(x)= P ( x ) e ( λ + i ω ) x P(x) e^{(\lambda+i\omega)x} P(x)e(λ+iω)x+ P ‾ ( x ) e ( λ − i ω ) x \overline{P}(x) e^{(\lambda-i\omega)x} P(x)e(λ−iω)x
(7),且方程(1)改写为 y ′ ′ + p y ′ + q y y''+py'+qy y′′+py′+qy= P ( x ) e ( λ + i ω ) x P(x) e^{(\lambda+i\omega)x} P(x)e(λ+iω)x+ P ‾ ( x ) e ( λ − i ω ) x \overline{P}(x) e^{(\lambda-i\omega)x} P(x)e(λ−iω)x(7-0)- 等号右边是经典类型一,即自由项为
e
λ
x
P
m
(
x
)
e^{\lambda{x}}P_{m}(x)
eλxPm(x)型函数的组和;由该类型的结论,我们可以求出一个
m
m
m次复系数多项式
Q
m
(
x
)
Q_m(x)
Qm(x),使得
y
1
∗
y_1^*
y1∗=
x
k
Q
m
(
x
)
e
(
λ
+
i
ω
)
x
x^kQ_{m}(x)e^{(\lambda+i\omega)x}
xkQm(x)e(λ+iω)x
(7-1)是方程 y ′ ′ + p y ′ + q y y''+py'+qy y′′+py′+qy= P ( x ) e ( λ + i ω ) x P(x) e^{(\lambda+i\omega)x} P(x)e(λ+iω)x(8)的特解;其中 k k k按如下规则确定:若 λ + i ω \lambda+i\omega λ+iω是不是特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0的根,则取0;若是单根,则取 1 1 1- 由于 ω ≠ 0 \omega\neq{0} ω=0,则这里不会出现二重根的情况,二重根一定是实根,而 λ ± i ω \lambda\pm{i\omega} λ±iω不是实数,不会是二重根
- 由于
P
(
x
)
,
P
‾
(
x
)
P(x),\overline{P}(x)
P(x),P(x)系数共轭多项式,
P
(
x
)
P(x)
P(x)是方程(8)的解,由共轭复数的性质,
y
2
∗
y_2^*
y2∗=
x
k
Q
‾
m
(
x
)
e
(
λ
−
i
ω
)
x
x^k\overline{Q}_{m}(x)e^{(\lambda-i\omega)x}
xkQm(x)e(λ−iω)x
(8-1)为方程 x k Q m ( x ) e ( λ + i ω ) x x^kQ_{m}(x)e^{(\lambda+i\omega)x} xkQm(x)e(λ+iω)x= P ‾ ( x ) e ( λ − i ω ) x \overline{P}(x) e^{(\lambda-i\omega)x} P(x)e(λ−iω)x(9)的解- 这里 Q m ( x ) , Q ‾ ( x ) Q_m(x),\overline{Q}(x) Qm(x),Q(x)是共轭的 m m m次多项式
- 根据线性微分方程的解的叠加原理,
y
∗
y^*
y∗=
y
1
∗
+
y
2
∗
y_1^*+y_2^*
y1∗+y2∗=
x
k
Q
m
(
x
)
e
(
λ
+
i
ω
)
x
x^kQ_{m}(x)e^{(\lambda+i\omega)x}
xkQm(x)e(λ+iω)x+
x
k
Q
‾
m
(
x
)
e
(
λ
−
i
ω
)
x
x^k\overline{Q}_{m}(x)e^{(\lambda-i\omega)x}
xkQm(x)e(λ−iω)x=
x
k
e
λ
[
Q
m
(
x
)
e
i
ω
x
+
Q
‾
m
(
x
)
e
−
i
ω
x
]
x^ke^{\lambda}[Q_{m}(x)e^{i\omega{x}}+\overline{Q}_{m}(x)e^{-i\omega{x}}]
xkeλ[Qm(x)eiωx+Qm(x)e−iωx]
(10)是方程(7-0)的特解 - 式(10)再用欧拉公式变换为三角函数形式,得
y
∗
y^*
y∗=
x
k
e
λ
[
Q
m
(
x
)
(
cos
ω
x
+
i
sin
ω
x
)
+
Q
‾
m
(
x
)
(
cos
ω
x
−
i
sin
ω
x
)
]
x^ke^{\lambda} [Q_{m}(x)(\cos{\omega{x}}+i\sin{\omega{x}})+\overline{Q}_{m}(x)(\cos{\omega{x}}-i\sin{\omega{x}})]
xkeλ[Qm(x)(cosωx+isinωx)+Qm(x)(cosωx−isinωx)]
(11)-
e
i
ω
x
e^{i\omega{x}}
eiωx=
cos
ω
x
+
i
sin
ω
x
\cos{\omega{x}}+i\sin{\omega{x}}
cosωx+isinωx
(11-1) -
e
−
i
ω
x
e^{-i\omega{x}}
e−iωx=
cos
ω
x
−
i
sin
ω
x
\cos{\omega{x}}-i\sin{\omega{x}}
cosωx−isinωx
(11-2) - Note:从上面两式可以看出 e i ω x e^{i\omega{x}} eiωx和 e − i ω x e^{-i\omega{x}} e−iωx是共轭复数,而 Q m ( x ) e i ω x Q_{m}(x)e^{i\omega{x}} Qm(x)eiωx和 Q ‾ m ( x ) e − i ω x \overline{Q}_{m}(x)e^{-i\omega{x}} Qm(x)e−iωx由共轭复数的乘法性质,也是共轭复数
-
e
i
ω
x
e^{i\omega{x}}
eiωx=
cos
ω
x
+
i
sin
ω
x
\cos{\omega{x}}+i\sin{\omega{x}}
cosωx+isinωx
- 共轭复数之和会消去虚部,从而可将虚函数形式变为实函数的形式
- 式(11)改写为:
y
∗
y^*
y∗=
x
k
e
λ
(
R
m
(
x
)
cos
ω
x
+
S
m
(
x
)
sin
ω
x
)
x^ke^{\lambda} (R_{m}(x)\cos{\omega{x}}+S_m(x)\sin\omega{x})
xkeλ(Rm(x)cosωx+Sm(x)sinωx)
(12)- 其中 R m ( x ) R_{m}(x) Rm(x)= Q m ( x ) + Q ‾ m ( x ) Q_m(x)+\overline{Q}_{m}(x) Qm(x)+Qm(x), S m ( x ) S_{m}(x) Sm(x)= i Q m ( x ) − i Q ‾ m ( x ) iQ_m(x)-i\overline{Q}_{m}(x) iQm(x)−iQm(x)
- R m ( x ) , S m ( x ) R_m(x),S_m(x) Rm(x),Sm(x)都是 m m m次多项式
- 式(12)就是方程(1)的一个特解
- 式(11)改写为:
y
∗
y^*
y∗=
x
k
e
λ
(
R
m
(
x
)
cos
ω
x
+
S
m
(
x
)
sin
ω
x
)
x^ke^{\lambda} (R_{m}(x)\cos{\omega{x}}+S_m(x)\sin\omega{x})
xkeλ(Rm(x)cosωx+Sm(x)sinωx)
- 为了获得通解,再求方程(1)对应的齐次方程的通解 Y ( x ) Y(x) Y(x),则 y = Y ( x ) + y ∗ ( x ) y=Y(x)+y^*(x) y=Y(x)+y∗(x)为方程(1)的通解
- 等号右边是经典类型一,即自由项为
e
λ
x
P
m
(
x
)
e^{\lambda{x}}P_{m}(x)
eλxPm(x)型函数的组和;由该类型的结论,我们可以求出一个
m
m
m次复系数多项式
Q
m
(
x
)
Q_m(x)
Qm(x),使得
y
1
∗
y_1^*
y1∗=
x
k
Q
m
(
x
)
e
(
λ
+
i
ω
)
x
x^kQ_{m}(x)e^{(\lambda+i\omega)x}
xkQm(x)e(λ+iω)x
-
特解求解步骤
-
类型2的二阶常系数线性微分方程,即自由项为 f ( x ) = e λ x ( P l ( x ) cos ω x + P n ( x ) sin ω x ) f(x)=e^{\lambda{x}}(P_{l}(x)\cos{\omega}x+P_{n}(x)\sin{\omega{x}}) f(x)=eλx(Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx)
(0)的方程特解求解步骤- 通解有齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解构成
- 如果要求通解,就需要求齐次方程的通解(这部分任务可以单独于特解求解,这里仅讨论特解的求解)
-
方程的特解可设为待定系数式: y ∗ y^* y∗= x k e λ x [ R m ( x ) cos ω x + S m ( x ) sin ω x ] x^ke^{\lambda{x}}[R_{m}(x)\cos{\omega{x}}+S_{m}(x)\sin{\omega{x}}] xkeλx[Rm(x)cosωx+Sm(x)sinωx]
(1),分三个步骤来确定各部分的值-
这个待定函数 y ∗ y^* y∗中可以直接(容易)由 f ( x ) f(x) f(x)确定的要素有3个包括 λ , ω \lambda,\omega λ,ω, m = max { l , n } m=\max\set{l,n} m=max{l,n}
-
k k k的确定需要构造共轭复数和特征方程的根 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0
(2)比较确定:- 按照
t
t
t=
λ
+
i
ω
\lambda+i\omega
λ+iω
(3)(或 λ − i ω \lambda-i\omega λ−iω):“不是特征方程的特征根”,或是"特征方程的单根"取 0 0 0或 1 1 1 - 直接检查 t t t是否满足特征方程即可,若是则 k = 1 k=1 k=1,否则 k = 0 k=0 k=0(可以保证不会是二重根)
- 仅求特解时只需要验证(3)是否为特征方程的根,不需要求解特征方程(2)算出所有根
- 但是如果要求通解,则需要求解特征方程(2)
- 按照
t
t
t=
λ
+
i
ω
\lambda+i\omega
λ+iω
-
R m ( x ) , S m ( x ) R_m(x),S_m(x) Rm(x),Sm(x)都是 m m m次多项式,而 R m ( x ) , S m ( x ) R_{m}(x),S_{m}(x) Rm(x),Sm(x)两个多项式是待定的,本质上是两个多项式的系数待定,也是待求对象
-
两个待求多项式 R m ( x ) R_m(x) Rm(x), S m ( x ) S_{m}(x) Sm(x)需要将 y ∗ y^* y∗(及其一阶,二阶导)代入到类型2方程中;
-
通过系数比较法确定两组系数,完成求解待定多项式的确定
-
y ∗ y^* y∗(即式(1))的二阶导一定要求的,而为了求二阶导一阶导也得求
-
基本初等函数存在高阶导数公式,有时不需要求一阶导
-
-
两种类型的比较
- 观察两种类型及其各自的待定函数的形式,可知两者有明显的关联
- 这一点从类型2的推理过程运用了类型1的结论可以看出
推广
- 上述结论可以推广到 n n n阶
- 此时式(12)中 k k k的取值规则将按特征方程中含根 λ + ω i \lambda+\omega{i} λ+ωi(或 λ − ω i \lambda-\omega{i} λ−ωi)的重复次数(0次就取 k = 0 k=0 k=0)
例
- 求
y
′
′
+
y
=
x
cos
2
x
y''+y=x\cos{2x}
y′′+y=xcos2x
(1)的一个特解- 类型分析,此方程属于类型2方程,对应于类型2模型
f
(
x
)
f(x)
f(x)=
e
λ
x
[
P
l
(
x
)
cos
ω
x
+
P
n
(
x
)
sin
ω
x
]
e^{\lambda x}[P_l(x)\cos{\omega{x}}+P_{n}(x)\sin{\omega{x}}]
eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx],中的系数分别有
(1-1)-
λ
=
0
\lambda=0
λ=0;
ω
=
2
\omega=2
ω=2;
m
=
max
{
1
,
0
}
m=\max\set{1,0}
m=max{1,0}=
1
1
1
- P l ( x ) = x P_{l}(x)=x Pl(x)=x, l = 1 l=1 l=1
- P n ( x ) = 0 P_n(x)=0 Pn(x)=0, n = 0 n=0 n=0
-
λ
=
0
\lambda=0
λ=0;
ω
=
2
\omega=2
ω=2;
m
=
max
{
1
,
0
}
m=\max\set{1,0}
m=max{1,0}=
1
1
1
- 特征方程
r
2
+
1
=
0
r^2+1=0
r2+1=0
(2),检查 λ + i ω \lambda+i\omega λ+iω= 2 i 2i 2i, − 4 + 1 ≠ 0 -4+1\neq{0} −4+1=0,即 2 i 2i 2i不是特征根,从而 k = 0 k=0 k=0(3) - 由(1-1,2,3)代入
x
k
e
λ
x
(
R
m
cos
w
x
+
S
m
sin
ω
x
)
x^ke^{\lambda{x}}(R_{m}\cos{wx}+S_m\sin\omega{x})
xkeλx(Rmcoswx+Smsinωx),可将特解待定系数式设为
-
y
∗
y^*
y∗=
R
1
cos
2
x
+
S
1
sin
2
x
R_1\cos{2x}+S_{1}\sin2x
R1cos2x+S1sin2x=
(
a
x
+
b
)
cos
2
x
(ax+b)\cos{2x}
(ax+b)cos2x+
(
c
x
+
d
)
sin
2
x
(cx+d)\sin2x
(cx+d)sin2x
(4) - 这里 R 1 , S 1 R_1,S_1 R1,S1都是待定系数一次多形式,分别设为 a x + b ax+b ax+b, c x + d cx+d cx+d
-
y
∗
y^*
y∗=
R
1
cos
2
x
+
S
1
sin
2
x
R_1\cos{2x}+S_{1}\sin2x
R1cos2x+S1sin2x=
(
a
x
+
b
)
cos
2
x
(ax+b)\cos{2x}
(ax+b)cos2x+
(
c
x
+
d
)
sin
2
x
(cx+d)\sin2x
(cx+d)sin2x
- 将
y
∗
y^*
y∗(及其
1
,
2
1,2
1,2阶导)代入方程(1),并整理得
(
−
3
a
x
−
3
b
+
4
c
)
cos
2
x
−
(
3
c
x
+
3
d
+
4
a
)
sin
2
x
(-3ax-3b+4c)\cos{2x}-(3cx+3d+4a)\sin{2x}
(−3ax−3b+4c)cos2x−(3cx+3d+4a)sin2x=
x
cos
2
x
x\cos{2x}
xcos2x
(5) - 计算过程如下
-
y
∗
′
(
x
)
y^{*'}(x)
y∗′(x)=
a
cos
2
x
+
(
a
x
+
b
)
(
−
2
sin
2
x
)
a\cos{2x}+(ax+b)(-2\sin{2x})
acos2x+(ax+b)(−2sin2x)+
c
sin
2
x
+
(
c
x
+
d
)
(
2
cos
2
x
)
c\sin{2x}+(cx+d)(2\cos{2x})
csin2x+(cx+d)(2cos2x)
- =
(
2
c
x
+
a
+
2
d
)
cos
2
x
(2cx+a+2d)\cos{2x}
(2cx+a+2d)cos2x+
(
−
2
a
x
−
2
b
+
c
)
sin
2
x
(-2ax-2b+c)\sin{2x}
(−2ax−2b+c)sin2x
(5-1)
- =
(
2
c
x
+
a
+
2
d
)
cos
2
x
(2cx+a+2d)\cos{2x}
(2cx+a+2d)cos2x+
(
−
2
a
x
−
2
b
+
c
)
sin
2
x
(-2ax-2b+c)\sin{2x}
(−2ax−2b+c)sin2x
-
y
∗
′
′
(
x
)
y^{*''}(x)
y∗′′(x)=
2
c
cos
2
x
+
(
2
c
x
+
a
+
2
d
)
(
−
2
sin
2
x
)
2c\cos{2x}+(2cx+a+2d)(-2\sin{2x})
2ccos2x+(2cx+a+2d)(−2sin2x)+
−
2
a
sin
2
x
+
(
−
2
a
x
−
2
b
+
c
)
(
2
cos
2
x
)
-2a\sin{2x}+(-2ax-2b+c)(2\cos{2x})
−2asin2x+(−2ax−2b+c)(2cos2x)
- =
(
2
c
−
4
a
x
−
4
b
+
2
c
)
cos
2
x
(2c-4ax-4b+2c)\cos{2x}
(2c−4ax−4b+2c)cos2x+
(
−
4
c
x
−
2
a
−
4
d
−
2
a
)
sin
2
x
(-4cx-2a-4d-2a)\sin{2x}
(−4cx−2a−4d−2a)sin2x
(5-2) - = ( − 4 a x − 4 b + 4 c ) cos 2 x (-4ax-4b+4c)\cos{2x} (−4ax−4b+4c)cos2x+ ( − 4 c x − 4 d − 4 a ) sin 2 x (-4cx-4d-4a)\sin{2x} (−4cx−4d−4a)sin2x
- =
(
2
c
−
4
a
x
−
4
b
+
2
c
)
cos
2
x
(2c-4ax-4b+2c)\cos{2x}
(2c−4ax−4b+2c)cos2x+
(
−
4
c
x
−
2
a
−
4
d
−
2
a
)
sin
2
x
(-4cx-2a-4d-2a)\sin{2x}
(−4cx−2a−4d−2a)sin2x
- 将(4,5-2)代入(1),化简得 y ∗ ′ ′ ( x ) + y ∗ ( x ) y^{*''}(x)+y^*(x) y∗′′(x)+y∗(x)= ( − 3 a x − 3 b + 4 c ) cos 2 x − ( 3 c x + 3 d + 4 a ) sin 2 x (-3ax-3b+4c)\cos{2x}-(3cx+3d+4a)\sin{2x} (−3ax−3b+4c)cos2x−(3cx+3d+4a)sin2x,得(5)左端
-
y
∗
′
(
x
)
y^{*'}(x)
y∗′(x)=
a
cos
2
x
+
(
a
x
+
b
)
(
−
2
sin
2
x
)
a\cos{2x}+(ax+b)(-2\sin{2x})
acos2x+(ax+b)(−2sin2x)+
c
sin
2
x
+
(
c
x
+
d
)
(
2
cos
2
x
)
c\sin{2x}+(cx+d)(2\cos{2x})
csin2x+(cx+d)(2cos2x)
- 观察式(5),比较两端同类项系数,只要比较多项式部分因子即可)得
- − 3 a = 1 -3a=1 −3a=1
- − 3 b + 4 c = 0 -3b+4c=0 −3b+4c=0
- − 3 c = 0 -3c=0 −3c=0
- − 3 d − 4 a = 0 -3d-4a=0 −3d−4a=0
- Note: − ( 3 c x + 3 d + 4 a ) = 0 -(3cx+3d+4a)=0 −(3cx+3d+4a)=0和 − 3 c = 0 -3c=0 −3c=0, − 3 d − 4 a = 0 -3d-4a=0 −3d−4a=0是不同得,后者提供更多信息
- 即得 a = − 1 3 a=-\frac{1}{3} a=−31; b = 0 b=0 b=0, c = 0 c=0 c=0; d = 4 9 d=\frac{4}{9} d=94
- 代入到(4),从而有 y ∗ ( x ) y^*(x) y∗(x)= − 1 3 x cos 2 x -\frac{1}{3}x\cos{2x} −31xcos2x+ 4 9 sin 2 x \frac{4}{9}\sin{2x} 94sin2x
- 类型分析,此方程属于类型2方程,对应于类型2模型
f
(
x
)
f(x)
f(x)=
e
λ
x
[
P
l
(
x
)
cos
ω
x
+
P
n
(
x
)
sin
ω
x
]
e^{\lambda x}[P_l(x)\cos{\omega{x}}+P_{n}(x)\sin{\omega{x}}]
eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx],中的系数分别有
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