AM@变系数线性微分方程中的可常系数化类型@欧拉方程

文章目录

• • abstract
  • 变系数线性微分方程中的可常系数化类型
  • • Euler方程
    • • 变量代换
      • $\frac{{\mathrm{d}}^{k}y}{\mathrm{d}{x}^k}$用$\frac{{\mathrm{d}}^{k}y}{\mathrm{d}{t}^k}$表示
      • 引入欧拉记法表示公式
      • $n$阶导数公式归纳@常系数化公式
    • 欧拉方程求解步骤
    • 小结
    • 例
    • • 变量代换和常系数化
      • 解高次常系数线性微分方程
    • 例

abstract

• 变系数微分方程特殊类型:欧拉方程的常系数化解法

变系数线性微分方程中的可常系数化类型

• 变系数的线性微分方程,一般来说不易求解
• 但有些特殊的变系数线性微分方程,可以通过变量代换化为常系数线性微分方程;变得容易求解

Euler方程

• 形如${\sum }_{i=0}^n{p}_i{x}^i{y}^{(i)}$=$f(x)$(1)的$n$阶变系数微分方程成为欧拉方程
  • 方程1也可以写作:${\sum }_{i=0}^n{p}_i{x}^i\frac{{\mathrm{d}}^{i}y}{\mathrm{d}{x}^i}$=$f(x)$(1-1)
  • 其中$p_0=1$,$p_1,\cdots ,p_n$为常数;
  • 系数$p$的脚标也可以用另一顺序表示
    • ${\sum }_{i=0}^n{p}_{n-i}{x}^i{y}^{(i)}$(1-2)
    • $1\cdot x^n{y}^{(n)}+p_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}x{y}^{\prime }+p_{n}y$=$f(x)$(1-3)
  • 这里把最高阶导数的变系数$(p_0{x}^n)$标准化为$1\cdot x^n$,如果不是1,解法也是一样的

变量代换

• 作变换$x=e^t$(2),$(x>0)$(或$t=\ln x$(2-1)),可将自变量$x$换成$t$;
• 对(2-1)求导,得$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$=$\frac{1}{x}$(2-2);$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$=$\frac{1}{\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}}$=$x$(2-3)(或者由(2)直接对$t$求导:$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$=$\frac{\mathrm{d}{e}^t}{\mathrm{d}t}$=$e^t$=$x$,也可得到(2-3))
  • Note:若$x<0$,则作变换$x=-e^t$或$t=\ln (-x)$,有与$x>0$情形相仿的结果

$\frac{{\mathrm{d}}^{k}y}{\mathrm{d}{x}^k}$用$\frac{{\mathrm{d}}^{k}y}{\mathrm{d}{t}^k}$表示

• 由(2-2),有$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$=$\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$(3);

• 对(3)求导$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$=$\frac{1}{x^2}(\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})$(4);$\frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{x}^3}$=$\frac{1}{x^3}(\frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{t}^3}-3\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})$(5),下面分别给出计算过程

  • $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{1}{x})\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{x}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}]\frac{1}{x}$$

    • 由复合函数求导和式(2-3),$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac{1}{x})$=$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{x})\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$=$-\frac{1}{x^2}x$=$-\frac{1}{x}$
    • 所以$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$=$[-\frac{1}{x}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{x}\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}]\frac{1}{x}$=$\frac{1}{x^2}(\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})$,即有(4)

  • $$\frac{{\mathrm{d}}^{3}y}{\mathrm{d}{x}^3}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2})=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[\frac{1}{x^2}(\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})]$$

    • 容易发现,使用$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$的方式表示导数是很"重"的,不妨用$y_x^{\prime }$来表示$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

      • $y_x^{\prime \prime }$表示$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$
      • 式(2-2)表示为$t_x^{\prime }$=$\frac{1}{x}$

    • 那么$y_x^{{}^{\prime \prime \prime }}$=$-2x^{-3}(y_t^{\prime \prime }-y_t^{\prime })$+$x^{-2}(y_t^{\prime \prime }-y_t^{\prime }{)}_x^{\prime }$=$-2x^{-3}(y_t^{\prime \prime }-y_t^{\prime })$+$x^{-2}(y_t^{\prime \prime \prime }-y_t^{\prime \prime })\frac{1}{x}$

      • $(y_t^{\prime \prime }-y_t^{\prime }{)}_x^{\prime }$=$(y_t^{\prime \prime }-y_t^{\prime }{)}_t^{\prime }\cdot t_x^{\prime }$=$(y_t^{\prime \prime \prime }-y_t^{\prime \prime })\frac{1}{x}$

      • 所以$y_x^{\prime \prime \prime }$=$x^{-3}(y_t^{\prime \prime \prime }-3y_t^{\prime \prime }+2y_t^{\prime })$,这就是式(5)

    • 一般默认$y^{\prime }$是$y$对$x$求导,即$y^{\prime }$就是$y_x^{\prime }$

  • $\cdots$

引入欧拉记法表示公式

• 为了便于表示和归纳上述等式列的规律,用欧拉记法表示导数:即使用记号$\mathrm{D}$

  • 在不引起混淆时简单用大写的$D$表示对$t$的求导运算$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$;

• 结合导数的运算法则,约定

  • 复合运算$D(Dy)$可以缩写为$D^{2}y$;
  • 分配律:$(D^{p}y+D^{q}y)$=$(D^p+D^q)y$
    • $D(D-1)y$=$(D^2-D)y$=$D^{2}y-Dy$

• 例如:$Dy$=$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}y$

  • 式(3)可以变形为$x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$,可以得到$x{y}^{\prime }$=$Dy$
  • 式(4)可以变形:$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$=$\frac{1}{x^2}(\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t})$=$\frac{1}{x^2}(\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t})y$可以得到$x^2{y}^{\prime \prime }$=$(D^2-D)y$=$D(D-1)y$
  • 式(5)类似可推得$x^3{y}^{\prime \prime \prime }$=$(D^3-3D^2+2D)y$=$D(D-1)D(-2)y$

$n$阶导数公式归纳@常系数化公式

• 我们可以根据(3,4,5)猜测规律:一般地:$y_x^{(n)}$形如$x^{-n}(y_t^{(n)}+\cdots )$(6)
• 采用欧拉记法,一般地,有$x^i{y}^{(i)}$=$D(D-1)\cdots (D-i+1)y$(6-0);
• 该式将变系数中的$x^i$通过变量$t$消去,并将$y$关于$x$的$i$阶导数$y^{(i)}$展开为关于$y$关于新变量$t$的$i$个导数$y_t^{(k)}$,$k=1,2,\cdots ,i$的线性组合式
  • 进一步缩写为$x^i{y}^{(i)}$=$[{\prod }_{k=0}^{i-1}(D-k)]y$(6-1)$(i=1,2,\cdots ,n)$
  • 实际应用以(6-0)为主作替换;替换完成后,一般要展开公式中的括号,以便计算
    • 运算符$D(D-1)\cdots (D-i+1)$是复合运算符,是带有阶数$i$的运算符)
    • 它包含了$i$个阶的导数运算,是一种抽象的,将冗长的复合运算紧凑化表示的运算符
    • 计算时应该展开(去运算符中的括号)以便计算,即展开成$D^{k}y$,$(k=1,2,\cdots ,i)$的线性组合

欧拉方程求解步骤

1. 变量代换:$x=e^t$(用于常系数化)或$t=\ln x$(用于回代),旧变量$x$代换为新变量$t$
2. 常系数化:把式(6-0)代入到欧拉方程(1-1),得到一个以$t$为自变量的常系数线性微分方程
   1. 实际操作上,是逐项常系数化
   2. ${\sum }_{i=0}^n{p}_i{x}^i{y}^{(i)}$=${\sum }_{i=0}^n{p}_i[{\prod }_{k=1}^i(D-k+1)]y$=$f(x)$(7)
3. 求解这个常系数微分方程,并把$t$用$\ln x$代回,得到原方程(1)的解

小结

• 上述推理旨在说明$n$阶欧拉方程可以通过适当的变量代换(例如$x=e^t$),一定能够转换为$n$阶常系数线性微分方程,以及具体的转换方法,
• 即通过公式(6-0),逐项地将欧拉方程中的变系数替换为常系数

例

• 本例包含一个简单$3$阶欧拉方程和3阶常系数非齐次线性微分方程

• 求$x^3{y}^{\prime \prime \prime }+x^2{y}^{\prime \prime }-4x{y}^{\prime }=3x^2$(1)

  • 分析方程类型:该方程为$n=3$阶的欧拉方程

变量代换和常系数化

• 因此可以用变量代换法将其转换为$3$阶常系数微分方程

• 当$x>0$时,令$x=e^t$(2),即$t=\ln x$(2-1)

• 利用常系数化公式:$x^i{y}^{(i)}$=$[{\prod }_{k=0}^{i-1}(D-k)]y$,$(i=1,2,\cdots ,n)$,逐项地作方程(1)等号左边的替换

  1. $x^3{y}^{\prime \prime \prime }$=$D(D-1)(D-2)y$
  2. $x^2{y}^{\prime \prime }$=$D(D-1)y$
  3. $x_1{y}^{\prime }$=$Dy$

• 将上述三式代入方程(1)等号左端,再由式(2)替换方程(1)等号右边

• 现在方程(1)可以改写为$D(D-1)(D-2)y+D(D-1)y-4Dy$=$3e^{2t}$;

• 为了便于后续计算,将其展开整理,得$(D^3-2D^2-3D)y$=$3e^{2t}$

• 即$D^{3}y-2D^{2}y-3Dy$=$3e^{2t}$(3),这是一个求函数$y$(关于自变量$t$)的三次常系数非齐次线性微分方程

  • 方程(3)可以写作$y_t^{\prime \prime \prime }-2y_t^{\prime \prime }-3y^{\prime }$=$3e^{2t}$(3-1)

解高次常系数线性微分方程

• 其特征方程为$r^3-2r^2-3r=0$(4),其容易求解

  • 当$r=0$时,是(4)的根,令$r_0=0$
  • 当$r\ne 0$,(4)退化为$r^2-2r-3=0$;可以得出另外两个根:$r_1=-1$,$r_2=3$

• 由$n$阶常系数线性微分方程的通解公式求解

• 非齐次方程(3)对应的齐次方程的通解为$Y=C_1{e}^{r_{0}t}+C_2{e}^{r_{1}t}+C_3{e}^{r_{3}t}$=$C_1+C_2{e}^{-t}+C_3{e}^{3t}$(5),代回$t=\ln x$(6),得$Y=C_1+C_2/x+C_3{x}^3$(7)

• 方程(3)的自由项$3e^{2t}$可以看作经典类型1:即:多项式$P_0=3$($m=0$次多项式)和指数函数$e^{2t}$的乘积类型

• $\lambda =2$不是(4)的根,从而根据$n$阶常系数非齐次线性微分方程类型1结论,待定系数特解可以设为$y^{\ast }$=$t^0{e}^{2t}b$=$b{e}^{2t}$(8),(Note:这里自变量是$t$而不是$x$)

• 将变量$t=\ln x$回代(8):$y^{\ast }$=$b{x}^2$(9),对特解的待定系数式(9)分别求其$1,2,3$阶导数(以便将通解代入原方程:$x^3{y}^{\prime \prime \prime }+x^2{y}^{\prime \prime }-4x{y}^{\prime }=3x^2$)

  1. $y^{{\ast }^{\prime }}$=$2bx$
  2. $y^{{\ast }^{\prime \prime }}$=$2b$
  3. $y^{{\ast }^{\prime \prime \prime }}$=$0$

• 将三个导数分别代入原方程(1),得$0+2b{x}^2-4x2bx$=$3x^2$(10),即$(-6b)x^2=3x^2$,从而$-6b=3$,即$b=-\frac{1}{2}$;从而$y^{\ast }=-\frac{x^2}{2}$

• 所以方程(1)的通解为$y=Y+y^{\ast }$=$C_1+\frac{C_2}{x}+C_3{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2$(11)

• Note:上面只讨论了$x>0$的情形

  • 可以验证,当$x<0$时,通解也是式(11)

例

• $x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+y=2x$(1)的通解
• 解
  • 该方程式二阶欧拉方程
  • 作变量代换$|x|=e^t$,即$t=\ln |x|$(2)
  • 常数化:代换式组(3)
    1. $x^2{y}^{\prime \prime }$=$D(D-1)y$
    2. $x{y}^{\prime }$=$Dy$
  • 先讨论$x>0$的情形
    • (3),(2)分别代入方程(1),得$D(D-1)y+Dy+y$=$2e^t$,即$D^{2}y+y=2e^t$(4)
    • 这是一个二阶常系数非齐次线性方程,先求其齐次方程$D^{2}y+y=0$(4-1)通解
      • 考察(4-1)的特征方程:$r^2+1=0$(4-2)其根为$r=\pm i$,另$a=0$,$b=1$
      • $Y$=$e^{0t}(C_1\cos 1\cdot t+C_2\sin 1\cdot t)$=$C_1\cos t+C_2\sin t$(5)
      • 回代式(2),得$Y$=$C_1\cos \ln |x|+C_2\sin \ln |x|$(5-1)
    • 再求(4)的一个特解
      • 考虑到式(4)右边复合模型$P_m(t)e^{at}$且$m=0$,$P_{m=0}(t)=2$,$a=1$特征方程(4-2)的根,从而$k=0$
      • 令特解的待定系数式$y^{\ast }$=$t^0\cdot b\cdot e^t$=$bx$(6),这设待定$t$的零次多项式$Q(t)$为常数$b$
        • $y^{{\ast }^{\prime }}=b$
        • $y^{*‘’}=$0
      • 分别代入方程(1),得$0+bx+bx=2x$,解得$b=1$
      • 从而特解(6)为$y^{\ast }=x$
    • 综上原方程在$x>0$时的的通解为$Y+y^{\ast }$=$C_1\cos (\ln |x|)+C_2\sin (\ln |x|)+x$(7)
  • 可以验证,$x<0$时通解仍为(7)