AM@二阶线性微分方程 @二阶常系数齐次线性微分方程的解@n阶推广
abstract
- 二阶线性微分方程
- 二阶常系数齐次线性微分方程的解
- 推广: n n n阶常系数齐次线性微分方程的解
引言
- 一般的二阶线性微分方程中 P ( x ) , Q ( x ) , f ( x ) P(x),Q(x),f(x) P(x),Q(x),f(x)的多样性和复杂性,没有通用的公式表达 y 1 , y 2 , y ∗ y_1,y_2,y^* y1,y2,y∗
- 而当 P ( x ) , Q ( x ) P(x),Q(x) P(x),Q(x)都是常数时,边可以讨论和确定一般解法
二阶线性微分方程
- 形如
d
2
y
d
x
2
\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}
dx2d2y+
P
(
x
)
d
y
d
x
P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}
P(x)dxdy+
Q
(
x
)
y
Q(x)y
Q(x)y=
f
(
x
)
f(x)
f(x)
(1)的方程称为二阶线性微分方程 - 当方程右端
f
(
x
)
≡
0
f(x)\equiv{0}
f(x)≡0时,称为方程为齐次的;当
f
(
x
)
≢
0
f(x)\not\equiv{0}
f(x)≡0时,方程叫做非齐次的
-
y
′
′
+
P
(
x
)
y
′
+
Q
(
x
)
y
=
0
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
y′′+P(x)y′+Q(x)y=0
(2)二阶齐次线性微分方程
-
y
′
′
+
P
(
x
)
y
′
+
Q
(
x
)
y
=
0
y''+P(x)y'+Q(x)y=0
y′′+P(x)y′+Q(x)y=0
二阶常系数齐次线性微分方程
- 方程(2)中,若
P
(
x
)
,
Q
(
x
)
P(x),Q(x)
P(x),Q(x)都为常数,则可分别记为
p
,
q
p,q
p,q,方程(2)改写为
y
′
′
+
p
y
′
+
q
y
=
0
y''+py'+qy=0
y′′+py′+qy=0
(3)- 则方程称为二阶常系数齐次线性微分方程
解的结构
- 为了得到(3)的通解,需要求得(3)的两个线性无关解 y 1 , y 2 y_1,y_2 y1,y2,则 y = C 1 y 1 + C 2 y 2 y=C_1y_1+C_2y_2 y=C1y1+C2y2为(3)的通解
指数函数导数性质和二阶常系数齐次线性方程的解
- 观察方程(3),如果能够引入一个函数使其能够因式分解,可以简化问题
- 由于指数型函数
y
=
e
r
x
y=e^{rx}
y=erx
(4), r r r是常数的 n n n阶导数为 r n e r x r^{n}e^{rx} rnerx,因此: y ′ = r e r x y'=re^{rx} y′=rerx(4-1), y ′ ′ = r 2 e r x y''=r^2e^{rx} y′′=r2erx(4-2)- 即 y , y ′ , y ′ ′ y,y',y'' y,y′,y′′仅相差一个常数因子 r r r的幂
- 将(4),(4-1),(4-2)代入到(3),得
r
2
e
r
x
+
p
r
e
r
x
+
q
e
r
x
=
0
r^2e^{rx}+pre^{rx}+qe^{rx}=0
r2erx+prerx+qerx=0,整理得
(
r
2
+
p
r
+
q
)
e
r
x
=
0
(r^2+pr+q)e^{rx}=0
(r2+pr+q)erx=0
(5) - 因为
e
r
x
≠
0
e^{rx}\neq{0}
erx=0,所以
r
2
+
p
r
+
q
=
0
r^2+pr+q=0
r2+pr+q=0
(6),可见,只要 r r r满足方程(6),则函数(4)就是(3)的解
- Note:若(4)中
r
=
1
r=1
r=1,则(6)就退化为
1
+
p
+
q
=
0
1+p+q=0
1+p+q=0
(6-0),然而这个方程并不能够帮我们求解方程(3),因为 p , q p,q p,q已经有方程(3)给出,(6-1)不含有未知数,其是否成立只能用来判断 e x e^{x} ex是否为(3)的解
微分方程的特征方程
-
二次代数方程(6)称为(3)的特征方程
-
比较(6),(3)可知,方程(6)中 r 2 , r r^2,r r2,r的系数 1 , p 1,p 1,p和常数项 q q q恰好是方程(3)中的 y ′ ′ , y ′ , y y'',y',y y′′,y′,y的系数
-
方程(6)的解可以代入一元二次方程的求根公式得到: r = − p ± p 2 − 4 q 2 r=\frac{-p\pm{\sqrt{p^2-4q}}}{2} r=2−p±p2−4q
(6-1);既然是二次方程,就需要讨论根的情况;设方程(6)的判别式 Δ = p 2 − 4 q \Delta=p^2-4q Δ=p2−4q -
当 Δ > 0 \Delta>0 Δ>0时,
- 方程有2个互异实根,
r
1
=
−
p
−
p
2
−
4
q
2
r_1=\frac{-p-{\sqrt{p^2-4q}}}{2}
r1=2−p−p2−4q
(6-2); r 2 = − p + p 2 − 4 q 2 r_2=\frac{-p+{\sqrt{p^2-4q}}}{2} r2=2−p+p2−4q(6-3),此时 y 1 = e r 1 x y_1=e^{r_1x} y1=er1x, y 2 = e r 2 x y_2=e^{r_2x} y2=er2x都是方程(3)的解; - 并且,
y
1
y
2
\frac{y_1}{y_2}
y2y1=
e
(
r
1
−
r
2
)
x
e^{(r_1-r_2)x}
e(r1−r2)x
(7),由于 r 1 ≠ r 2 r_1\neq{r_2} r1=r2,即 r 1 − r 2 ≠ 0 r_1-r_2\neq{0} r1−r2=0,所以(7)不是常数,从而 y 1 , y 2 y_1,y_2 y1,y2线性无关,因此构造 y = C 1 y 1 + C 2 y 2 y=C_1y_1+C_2y_2 y=C1y1+C2y2= C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} C1er1x+C2er2x就是(3)的通解
- 方程有2个互异实根,
r
1
=
−
p
−
p
2
−
4
q
2
r_1=\frac{-p-{\sqrt{p^2-4q}}}{2}
r1=2−p−p2−4q
-
当 Δ = 0 \Delta=0 Δ=0时
- 方程有两个相等实根,则 r 1 = r 2 = − p 2 r_1=r_2=-\frac{p}{2} r1=r2=−2p
- 这时我们仅得到方程(3)的一个特解 y = e − p 2 x y=e^{-\frac{p}{2}x} y=e−2px,简记为 y 1 = e r 1 x y_1=e^{r_1{x}} y1=er1x
- 显然,不足以构造通解(共需要2个线性无关解,因此我们还需要再求出一个解 y 2 y_2 y2,且 y 2 y 1 \frac{y_2}{y_1} y1y2不为常数)
- 设
u
(
x
)
=
y
2
y
1
u(x)=\frac{y_2}{y_1}
u(x)=y1y2,即
y
2
=
u
(
x
)
y
1
=
u
e
r
1
x
y_2=u(x)y_1=ue^{r_1{x}}
y2=u(x)y1=uer1x
(8);其中 u ( x ) u(x) u(x)为待定函数- 对(8)求导:
y
′
=
u
′
e
r
1
x
+
u
r
1
e
r
1
x
y'=u'e^{r_1x}+ur_1e^{r_1x}
y′=u′er1x+ur1er1x=
e
r
1
x
(
u
′
+
r
1
u
)
e^{r_1x}(u'+r_1u)
er1x(u′+r1u)
(8-1)-
y
′
′
y''
y′′=
r
1
e
r
1
x
(
u
′
+
r
1
u
)
+
e
r
1
x
(
u
′
′
+
u
+
r
1
u
′
)
r_1e^{r_1x}(u'+r_1u)+e^{r_1x}(u''+u+r_1u')
r1er1x(u′+r1u)+er1x(u′′+u+r1u′)=
e
r
1
x
(
u
′
′
+
2
r
1
u
′
+
r
1
2
u
)
e^{r_1x}(u''+2r_1u'+r_1^2u)
er1x(u′′+2r1u′+r12u)
(8-2)
-
y
′
′
y''
y′′=
r
1
e
r
1
x
(
u
′
+
r
1
u
)
+
e
r
1
x
(
u
′
′
+
u
+
r
1
u
′
)
r_1e^{r_1x}(u'+r_1u)+e^{r_1x}(u''+u+r_1u')
r1er1x(u′+r1u)+er1x(u′′+u+r1u′)=
e
r
1
x
(
u
′
′
+
2
r
1
u
′
+
r
1
2
u
)
e^{r_1x}(u''+2r_1u'+r_1^2u)
er1x(u′′+2r1u′+r12u)
- 将(8,8-1,8-2)代入方程(3),并整理得
e
r
1
x
(
u
′
′
+
(
2
r
1
+
p
)
u
′
+
(
r
1
2
+
p
r
1
+
q
)
u
)
=
0
e^{r_1x}(u''+(2r_1+p)u'+(r_1^2+pr_1+q)u)=0
er1x(u′′+(2r1+p)u′+(r12+pr1+q)u)=0;由于
e
r
1
x
≠
0
e^{r_1x}\neq{0}
er1x=0,所以
u
′
′
+
(
2
r
1
+
p
)
u
′
+
(
r
1
2
+
p
r
1
+
q
)
u
=
0
u''+(2r_1+p)u'+(r_1^2+pr_1+q)u=0
u′′+(2r1+p)u′+(r12+pr1+q)u=0
(9)- 而 r 1 r_1 r1是(6)的二重根,从而 r 1 2 + p r 1 + q = 0 r_1^2+pr_1+q=0 r12+pr1+q=0;且 2 r 1 = − p 2r_1=-p 2r1=−p(二重根韦达定理),变形为 2 r 1 + p = 0 2r_1+p=0 2r1+p=0
- 从而式(9)改写成
u
′
′
=
0
u''=0
u′′=0
(10),这是一个最简单的二阶微分方程 - 我们的目的是找到满足条件的非常数的函数
u
(
x
)
u(x)
u(x)即可,为简单和方便起见,不妨取
u
(
x
)
=
x
u(x)=x
u(x)=x,
(11),该式满足(10) - 从而可取 y 2 = u y 1 = x e r 1 x y_2=uy_1=xe^{r_1x} y2=uy1=xer1x
- Note:
- 对(10)两边积分,的 u ′ = k + C u'=k+C u′=k+C,( k , C k,C k,C为任意常数),再次积分得 u = k x + C u=kx+C u=kx+C,( k , C k,C k,C为任意常数)
- 或则 ∫ ( ∫ u ′ ′ d x ) d x \int(\int{u''}\mathrm{d}x)\mathrm{d}x ∫(∫u′′dx)dx= k x + C kx+C kx+C,( k , C k,C k,C为任意常数)
- 简单起见,取 k = 1 , C = 0 k=1,C=0 k=1,C=0,即取得 u = x u=x u=x,即(11)式
- 对(8)求导:
y
′
=
u
′
e
r
1
x
+
u
r
1
e
r
1
x
y'=u'e^{r_1x}+ur_1e^{r_1x}
y′=u′er1x+ur1er1x=
e
r
1
x
(
u
′
+
r
1
u
)
e^{r_1x}(u'+r_1u)
er1x(u′+r1u)
-
当 Δ < 0 \Delta<0 Δ<0时, r 1 , r 2 r_1,r_2 r1,r2是一对共轭复根,根据(6-1)不妨记为 r 1 = α + i β r_1=\alpha+i\beta r1=α+iβ, r 2 = α − i β r_2=\alpha-i\beta r2=α−iβ
-
其中 α = − p 2 \alpha=-\frac{p}{2} α=−2p, β \beta β= p 2 − 4 q 2 \frac{\sqrt{p^2-4q}}{2} 2p2−4q
-
此时 y 1 = e r 1 x y_1=e^{r_1x} y1=er1x= e ( α + i β ) x e^{(\alpha+i\beta)x} e(α+iβ)x= e α e i β e^\alpha{e^{i\beta}} eαeiβ
(12-1)和 y 2 = e r 2 x = e ( α − i β ) x y_2=e^{r_2x}=e^{(\alpha-i\beta)x} y2=er2x=e(α−iβ)x= e α e − i β e^\alpha{e^{-i\beta}} eαe−iβ(12-2)是方程(3)的两个解(复值形式) -
但这个形式是复数形式,若要得出实值函数形式的解,需要借助欧拉公式 e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta eiθ=cosθ+isinθ
(13)作初步变形-
借助(13)式,将(12-1,12-2)分别化为
-
y
1
=
e
α
x
(
cos
β
x
+
i
sin
β
x
)
y_1=e^{\alpha{x}}(\cos\beta{x}+i\sin{\beta{x}})
y1=eαx(cosβx+isinβx)
(14-1) -
y
2
=
e
α
x
(
cos
β
x
−
i
sin
β
x
)
y_2=e^{\alpha{x}}(\cos\beta{x}-i\sin{\beta{x}})
y2=eαx(cosβx−isinβx)
(14-2)
-
y
1
=
e
α
x
(
cos
β
x
+
i
sin
β
x
)
y_1=e^{\alpha{x}}(\cos\beta{x}+i\sin{\beta{x}})
y1=eαx(cosβx+isinβx)
-
显然(14-1,14-2)是共轭复数,易得
- s 1 = 1 2 ( y 1 + y 2 ) s_1=\frac{1}{2}{(y_1+y_2)} s1=21(y1+y2)= e α x cos β x e^{\alpha{x}}\cos\beta{x} eαxcosβx
- s 2 s_2 s2= 1 2 i ( y 1 − y 2 ) \frac{1}{2i}{(y_1-y_2)} 2i1(y1−y2)= e α x sin β x e^{\alpha{x}}\sin\beta{x} eαxsinβx,(其中第一个等号右端出现的是 1 2 i \frac{1}{2i} 2i1,而不是 1 2 \frac{1}{2} 21)
-
由齐次线性方程解的性质,方程(3)得解符合线性叠加原理,所以, s 1 , s 2 s_1,s_2 s1,s2仍然是(3)的解,而 s 2 s 1 \frac{s_2}{s_1} s1s2= e α x sin β x e α x cos β x \frac{e^{\alpha{x}}\sin\beta{x}}{e^{\alpha{x}}\cos\beta{x}} eαxcosβxeαxsinβx= tan β x \tan{\beta{x}} tanβx,不是常数,从而 s 1 , s 2 s_1,s_2 s1,s2线性无关
-
-
从而 y = C 1 s 1 + C 2 s 2 y=C_1s_1+C_2s_2 y=C1s1+C2s2= e α x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) e^{\alpha{x}}(C_1\cos{\beta}x+C_2\sin\beta{x}) eαx(C1cosβx+C2sinβx)
(15)是方程(3)的通解(实值形式)
-
小结
-
二阶常数齐次线性微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y''+py'+qy=0 y′′+py′+qy=0
(1)的求解步骤-
写出方程(1)对应的特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^2+pr+q=0 r2+pr+q=0
(2)(直接由方程(1)的系数可构造出来) -
求出方程(2)的判别式 Δ = p 2 − 4 q \Delta=p^2-4q Δ=p2−4q,根据 Δ \Delta Δ的符号(2个根 r 1 , r 2 r_1,r_2 r1,r2的情形)的不同情形有不同的通解公式:
-
Δ \Delta Δ的3种情形 通解公式 特征方程根的情形 Δ > 0 \Delta>0 Δ>0 y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x} y=C1er1x+C2er2x 方程有2个相异实根 r 1 , r 2 r_1,r_2 r1,r2, r 1 ≠ r 2 r_1\neq{r_2} r1=r2 Δ = 0 \Delta=0 Δ=0 y = ( C 1 + C 2 x ) e r x y=(C_1+C_2x)e^{rx} y=(C1+C2x)erx 方程由2个相等实根(二重根) r = r 1 = r 2 r=r_1=r_2 r=r1=r2 Δ < 0 \Delta<0 Δ<0 y = e α x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) y=e^{\alpha{x}}(C_1\cos{\beta{x}}+C_2\sin\beta{x}) y=eαx(C1cosβx+C2sinβx) 方程有一对共轭复根: r 1 = α + i β r_1=\alpha+i\beta r1=α+iβ, r 2 = α − i β r_2=\alpha-i\beta r2=α−iβ - Note:特征方程(2)的求根公式为, r 1 = − p − p 2 − 4 q 2 r_1=\frac{-p-{\sqrt{p^2-4q}}}{2} r1=2−p−p2−4q; r 2 = − p + p 2 − 4 q 2 r_2=\frac{-p+{\sqrt{p^2-4q}}}{2} r2=2−p+p2−4q
- α = − p 2 \alpha=-\frac{p}{2} α=−2p, β \beta β= Δ 2 \frac{\sqrt{\Delta}}{2} 2Δ
-
推广
-
二阶常系数线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可以推广到 n n n阶的常系数线性微分方程 ( ∑ i = 0 n p i y ( i ) ) (\sum_{i=0}^{n}p_iy^{(i)}) (∑i=0npiy(i))= 0 0 0
(1); p 1 , ⋯ , p n p_1,\cdots,p_n p1,⋯,pn为常数- 该方程还可以表示为 ( ∑ i = 0 n p i D n y ) (\sum_{i=0}^{n}p_iD^{n}y) (∑i=0npiDny)= ( ∑ i = 0 n p i D n ) y = 0 (\sum_{i=0}^{n}p_iD^{n})y=0 (∑i=0npiDn)y=0,其中 D D D称为微分算子
- 表示对 x x x求导的运算 d d x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} dxd,因此可以把 d y d x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} dxdy记为 D y Dy Dy,类似的把 d n y d x 2 \frac{\mathrm{d}^n{y}}{\mathrm{d}x^2} dx2dny= D n y D^{n}y Dny
- 可见,微分算子 D D D(其实用 D \mathrm{D} D更加规范,不引起混淆时,这里用斜体 D D D)表示导数会更加简洁
-
方程(1)的特征方程可以表示为 ∑ i = 0 n p i r i \sum_{i=0}^{n}p_{i}r^{i} ∑i=0npiri= 0 0 0😭 p 0 = 1 p_0=1 p0=1)
-
根据特征方程的根,有结论如下:
-
特征方程的根 微分方程通解(给出项) 单实根 r r r 给出1项 C e r x Ce^{rx} Cerx 一对单复根 r 1 , 2 = α + β i r_{1,2}=\alpha+\beta{i} r1,2=α+βi 给出2项: e α x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) e^{\alpha{x}}(C_1\cos{\beta}{x}+C_2\sin\beta{x}) eαx(C1cosβx+C2sinβx) k k k重实根 r r r 给出 k k k项: e r x ( C 1 + C 2 x + ⋯ + C k x k − 1 ) e^{rx}(C_1+C_2x+\cdots+C_{k}x^{k-1}) erx(C1+C2x+⋯+Ckxk−1)= e r x ∑ i = 1 k C i x i − 1 e^{rx}\sum_{i=1}^{k}C_ix^{i-1} erx∑i=1kCixi−1 一对 k k k重复根 r 1 , 2 = α + β i r_{1,2}=\alpha+\beta{i} r1,2=α+βi 给出 2 k 2k 2k项 e α x [ ( ∑ i = 1 k C i x i − 1 ) cos β x + ( ∑ i = 1 k D i x i − 1 ) sin β x ] e^{\alpha{x}}[(\sum_{i=1}^{k}C_ix^{i-1})\cos\beta{x}+(\sum_{i=1}^{k}D_ix^{i-1})\sin\beta{x}] eαx[(∑i=1kCixi−1)cosβx+(∑i=1kDixi−1)sinβx]
-
-
n n n次代数方程有 n n n个根(代数学基本定理);而特征方程的每个根都对应着通解中的一项,每项各含一个任意常数,从而得到 n n n阶常系数齐次线性微分方程的通解 y = ∑ i = 1 n C i y i y=\sum_{i=1}^{n}C_iy_i y=∑i=1nCiyi
例
- 求方程
y
′
′
−
2
y
′
−
3
y
=
0
y''-2y'-3y=0
y′′−2y′−3y=0的通解
- 特征方程为 r 2 − 2 r − 3 = 0 r^2-2r-3=0 r2−2r−3=0; Δ = 4 + 12 = 16 > 0 \Delta=4+12=16>0 Δ=4+12=16>0,特征方程有2个不等实根: r 1 = − 1 , r 2 = 3 r_1=-1,r_2=3 r1=−1,r2=3
- 通解为 y = C 1 e − x + C 2 e 3 x y=C_{1}e^{-x}+C_2e^{3x} y=C1e−x+C2e3x
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2021-11-02 pwsh:Rename-Item: Cannot rename the specified target, because it represents a path or device name.