AM@变限积分求导公式

文章目录

• • abstract
  • 变限积分求导公式
  • • 例

abstract

• 利用微积分第一基本定理(变上限积分函数的导数性质)以及复合函数求导准则,定积分的分段积分性质,可以得到变限积分求导公式
• 公式的应用规则

变限积分求导公式

• 由变上限积分函数的导数性质:$({\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t{)}_x^{\prime }$=$f(x)$(1)

  • 根据复合函数求导公式:$({\int }_a^{\varphi (x)}f(t)\mathrm{d}t{)}_x^{\prime }$=$({\int }_a^{\varphi (x)}f(t)\mathrm{d}t{)}_{\varphi (x)}^{\prime }\cdot (\varphi (x){)}_x^{\prime }$

  • 再由公式(1),得$({\int }_a^{\varphi (x)}f(t)\mathrm{d}t{)}_x^{\prime }$=$f(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)$(2),也可以写作$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{\varphi (x)}f(t)\mathrm{d}t$=$f(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)$(2-1)

• 设$F(x)={\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(t)\mathrm{d}t$(3)

  • 其中$f(x)在[a,b]$上连续
  • 可导函数${\varphi }_1(x)和{\varphi }_2(x)$的值域在$[a,b]$上

• 则函数${\varphi }_1(x)$和${\varphi }_2(x)$的公共定义域上,式(1)的导数为:

  • $F^{\prime }(x)$=$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[{\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(t)\mathrm{d}t]$=$f({\varphi }_2(x)){\varphi }_2^{\prime }(x)-f({\varphi }_1(x)){\varphi }_1^{\prime }(x)$(4)

    • =${\sum }_{i=1}^2(-1{)}^{i}f({\varphi }_i(x)){\varphi }_i^{\prime }(x)$

  • 称$x$求导变量

  • 称$t$为积分变量

  • $f(t)$为被积函数

  • 公式(4)要求被积函数是仅包含$t$而不含$x$,否则应当将$x$提出积分号之外($x$相对于$f(t)$是常数)

• 推导:由定积分分段积分性质:${\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(t)\mathrm{d}t$=${\int }_{{\varphi }_1(x)}^{\xi }f(t)\mathrm{d}t+{\int }_{\xi }^{{\varphi }_2(x)}f(t)\mathrm{d}t$=$-{\int }_{\xi }^{{\varphi }_1(x)}f(t)\mathrm{d}t$+${\int }_{\xi }^{{\varphi }_2(x)}f(t)\mathrm{d}t$,$(\xi \in [a,b])$

  • 由公式(2),得${\int }_{{\varphi }_1(x)}^{{\varphi }_2(x)}f(t)\mathrm{d}t$=$-(f({\varphi }_1(x))){\varphi }_1^{\prime }(x)+f({\varphi }_2(x)){\varphi }_2^{\prime }(x)$,即得公式(4)

例

• 设$f(x)$具有连续导数,求$S=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^x(x-t)f^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

  • 首先将求导变量$x$移出被积函数$G(t)$=$(x-t)f^{\prime }(t)$=$x{f}^{\prime }(t)-t{f}^{\prime }(t)$,对于式$G(t)$,$x$是一个常数,因此${\int }_a^{x}x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$=$x{\int }_a^x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

  • ${\int }_a^x(x-t)f^{\prime }(t)\mathrm{d}t$=${\int }_a^{x}x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$-${\int }_a^{x}t{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$=$x{\int }_a^x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$-${\int }_a^{x}t{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$

    • 注意到,我们将${\int }_a^{x}x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t=x{\int }_a^x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t$
    • 因为求导变量对于积分变量t可以视为常数,因此利用定积分的性质,将其提取到积分号之外

  • 对两边求导得到$S={\int }_a^x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t+x{f}^{\prime }(x)-x{f}^{\prime }(x)$=$f(x){|}_a^x$=$f(x)-f(a)$