AM@二元函数和多元函数
abstract
- 二元函数和多元函数的定义
- 二元函数的基本问题和几何意义
多元函数的定义
2元函数
- 设
D
D
D是平面上的一个点集,若
∀
(
x
,
y
)
∈
D
\forall{(x,y)}\in{D}
∀(x,y)∈D,按照某个确定的规则
f
f
f,变量
z
z
z总有唯一值与之对应,则称变量
z
z
z是变量
x
,
y
x,y
x,y的二元函数,记为
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y),
(
x
,
y
)
∈
D
(x,y)\in{D}
(x,y)∈D
- 其中 x , y x,y x,y是自变量,而 z z z是因变量
- 平面点集 D D D称为该函数的定义域,
- 数集 { z ∣ z = f ( x ) , ( x , y ) ∈ D } \set{z|z=f(x),(x,y)\in{D}} {z∣z=f(x),(x,y)∈D}称为该函数的值域
n n n元函数
-
和二元函数类似的定义
-
设 D D D是 n n n维空间 R n \bold{R}^{n} Rn内的一个点集,若 ∀ ( x 1 , ⋯ , x n ) ∈ D \forall{(x_1,\cdots,x_n)}\in{D} ∀(x1,⋯,xn)∈D,按照某个确定的规则 f f f,变量 u u u总有唯一值与之对应,则称变量 u u u是变量 x 1 , ⋯ , x n x_1,\cdots,x_n x1,⋯,xn的** n n n元函数**,记为 u = f ( x 1 , ⋯ , x n ) u=f(x_1,\cdots,x_n) u=f(x1,⋯,xn), ( x 1 , ⋯ , x n ) ∈ D (x_1,\cdots,x_n)\in{D} (x1,⋯,xn)∈D
- 其中 x 1 , ⋯ , x n x_1,\cdots,x_n x1,⋯,xn是自变量,而 u u u是因变量
- 点集 D D D称为该函数的定义域,
- 数集 { u ∣ u = f ( x 1 , ⋯ , x n ) , ( x 1 , ⋯ , x n ) ∈ D } \set{u|u=f(x_1,\cdots,x_n),(x_1,\cdots,x_n)\in{D}} {u∣u=f(x1,⋯,xn),(x1,⋯,xn)∈D}称为该函数的值域
-
n ⩾ 2 n\geqslant{2} n⩾2时称 f f f为多元函数
多元函数定义域
- 一般地仅给出函数的式子的函数,其定义域为自然定义域,由表达函数的式子本身决定的
- 而实际问题中,需要根据实际问题的意义确定定义域
- 例如: z = arcsin ( x + y ) z=\arcsin{(x+y)} z=arcsin(x+y)的定义域, x + y ∈ [ − 1 , 1 ] x+y\in[-1,1] x+y∈[−1,1],并且这个定义域(区域)是一个无界闭区域(由两条直线 x + y = − 1 , x + y = 1 x+y=-1,x+y=1 x+y=−1,x+y=1所夹成)
多元抽象函数和多元代换
- 在多元抽象函数中,以二元为例,对于
f
(
ϕ
1
(
x
1
,
x
2
)
,
ϕ
2
(
x
1
,
x
2
)
)
f(\phi_1(x_1,x_2),\phi_2(x_1,x_2))
f(ϕ1(x1,x2),ϕ2(x1,x2))=
G
(
x
1
,
x
2
)
G(x_1,x_2)
G(x1,x2)
(0)得到 f ( x 1 , x 2 ) f(x_1,x_2) f(x1,x2)的方法通常采用换元法(变量代换法) - 即,令
u
i
=
ϕ
i
(
x
,
y
)
u_i=\phi_i(x,y)
ui=ϕi(x,y)
(1),并将 x i x_i xi表示为 u i u_i ui, ( i = 1 , 2 ) (i=1,2) (i=1,2)的式子,可分别设为 x i = ψ i ( u 1 , u 2 ) x_i=\psi_i(u_1,u_2) xi=ψi(u1,u2), i = 1 , 2 i=1,2 i=1,2(2) - 再把等式组(1)代入(0)的等号左端;而把等式组(2)代入(0)的等号右端,得
f
(
u
1
,
v
1
)
f(u_1,v_1)
f(u1,v1)=
G
(
ψ
1
(
u
1
,
u
1
)
,
ψ
2
(
u
1
,
u
2
)
)
G(\psi_1(u_1,u_1),\psi_2(u_1,u_2))
G(ψ1(u1,u1),ψ2(u1,u2));
(3) - 式(3)已经给出了函数
f
f
f的解析式;更进一步,可根据函数的定义,替换函数的自变量的字母不该不改变函数,式(3)可以写作
f
(
x
1
,
x
2
)
f(x_1,x_2)
f(x1,x2)=
G
(
ψ
1
(
x
1
,
x
2
)
,
ψ
2
(
x
1
,
x
2
)
)
G(\psi_1(x_1,x_2),\psi_2(x_1,x_2))
G(ψ1(x1,x2),ψ2(x1,x2))
(3-1)这和(3)表示的是相同的函数,也是问题的解
例
- 例:
f
(
x
+
y
,
y
x
)
f(x+y,\frac{y}{x})
f(x+y,xy)=
x
2
−
y
2
x^2-y^2
x2−y2
(0),求 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)- 令
u
=
x
+
y
u=x+y
u=x+y;
(1)v = y x v=\frac{y}{x} v=xy(2) - 则
x
=
u
−
y
x=u-y
x=u−y
(3),代入到(2),得 v = y u − y v=\frac{y}{u-y} v=u−yy,整理得 y y y= v u 1 + v \frac{vu}{1+v} 1+vvu(4);代入(3),得 x = u − v u 1 + v x=u-\frac{vu}{1+v} x=u−1+vvu= u 1 + v \frac{u}{1+v} 1+vu(5) - 由(1,2,4,5)代入(0),从而 f ( u , v ) f(u,v) f(u,v)= ( v u 1 + v ) 2 (\frac{vu}{1+v})^2 (1+vvu)2- ( u 1 + v ) 2 (\frac{u}{1+v})^2 (1+vu)2= ( v 2 − 1 ) u 2 ( 1 + v ) 2 \frac{(v^2-1)u^2}{(1+v)^2} (1+v)2(v2−1)u2= u 2 ( v − 1 ) v + 1 \frac{u^2(v-1)}{v+1} v+1u2(v−1)
- 所以 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)= x 2 ( y − 1 ) y + 1 \frac{x^2(y-1)}{y+1} y+1x2(y−1)
- 令
u
=
x
+
y
u=x+y
u=x+y;
二元函数的几何意义
空间直角坐标系
- 讨论二元函数的几何意义时,通常选定一个空间直角坐标系 O x y z Oxyz Oxyz
二元函数的几何图形
-
和一元函数的图形类似,二元函数的图形也是由点构成的点集合(更多元的情形下则是高维点)
-
设给定一个二元函数 z = f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D z=f(x,y),(x,y)\in{D} z=f(x,y),(x,y)∈D
- 任取一个空间直角坐标系 O x y z Oxyz Oxyz,在 x O y xOy xOy平面上画出函数 f f f的定义域 D D D的平面图形
- 在 D D D内任意取点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y),按照 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)就有空间中的一个点 M ( x , y , z ) M(x,y,z) M(x,y,z)与之对应
- 当点 P P P在 D D D中变化时,相应的点 M M M就在空间中变动;
- 而当 P P P取遍整个定义域 D D D内的值时,点 M M M的全体就是函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的图形
-
一般地,二元函数 y = f ( x , y ) y=f(x,y) y=f(x,y)的图形是空间的一张曲面,该曲面在 x O y xOy xOy平面上的投影区域就是函数 f f f得到定义域 D D D
例
-
z
=
1
−
x
2
−
(
y
−
1
)
2
z=\sqrt{1-x^2-(y-1)^2}
z=1−x2−(y−1)2
(0)的几何意义?- 对其两边平方变形,便于观察:
z
2
z^2
z2=
1
−
x
2
−
(
y
−
1
)
2
1-x^2-(y-1)^2
1−x2−(y−1)2
(1),即 x 2 + ( y − 1 ) 2 + z 2 = 1 x^2+(y-1)^2+z^2=1 x2+(y−1)2+z2=1(2) - 而方程(2)表示的是一个以 ( 0 , 1 , 0 ) (0,1,0) (0,1,0)为球心,半径为1的球面S
- 所以函数 z z z其值域为 [ 0 , + ∞ ] [0,+\infin] [0,+∞]为该球面 S S S的上半球面
- 对其两边平方变形,便于观察:
z
2
z^2
z2=
1
−
x
2
−
(
y
−
1
)
2
1-x^2-(y-1)^2
1−x2−(y−1)2
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