AM@多元函数复合函数偏导混合情形

文章目录

• • abstract
  • 基础复合情形
  • 多元函数复合函数偏导混合情形举例
  • • 中间变量和原变量混合
    • • 可靠的做法
  • 会造成混乱的写法
  • • $\frac{\partial z}{\partial x}$,$\frac{\partial f}{\partial x}$的比较
    • 例
  • 对称多项式和偏导
  • • 例
  • 多元复合函数高阶偏导和混合偏导

abstract

• 多元复合函数求导法则@混合情形

基础复合情形

• 另见:多元函数基础复合类型

多元函数复合函数偏导混合情形举例

• 例如$z=f(u(x,y),v(y))$,是第二类情形的特例

  • $$\begin{gathered} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}0 \\ =\boxed{\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}} \\ \frac{\partial z}{\partial y}=\boxed{\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dy}} \end{gathered}$$

    • 其中中间变量$v$是关于y的单元函数,因此将使用$\frac{dv}{dy}$的方式书写

中间变量和原变量混合

• $z=f(u(x,y),x,y)$

可靠的做法

• 可行且可靠的做法是补齐:$z=f(u(x,y),x(x),y(y))$,这就成为了前一种的特殊情况(第二类情况)

会造成混乱的写法

• 如果复合函数写为$z=z(u,x,y)$
  $$\begin{gathered} \bcancel{\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial x}} \\ \bcancel{\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial y}} \\ 除非您用x=x(x)区分中间变量x和自变量x \\ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x(x)}+\frac{\partial z}{\partial x} \end{gathered}$$

  • 上述公式中左右两侧同时出现了$\frac{\partial z}{\partial x}$;这就导致了混淆

$\frac{\partial z}{\partial x}$,$\frac{\partial f}{\partial x}$的比较

• 在求多元函数$z=f(x,y)$的偏导时,比如求其对$x$的偏导数时,可以表示为$\frac{\partial z}{\partial x}$,或$\frac{\partial f}{\partial x}$都可以,而且含义相同不会引起混淆

• 但是对于某些多元复合函数求偏导问题中,要注意区分两种写法

• 例如,设$u=\varphi (x,y)$(0),$z=f(u,x,y)$(1)求复合函数$z$=$f(\varphi (x,y),x,y)$(2)

  • 这里函数(1)的自变量为$u,x,y$,其因变量为$z$;
    • 函数(1)不是复合函数,只有代入函数(0),得到(2)才是复合函数,这时的复合关系为:函数$f$复合了函数$\varphi$
  • 复合函数(2)的自变量为$x,y$,因变量为$z$
  • 计算函数(2)的偏导:$\frac{\partial z}{\partial x}$,$\frac{\partial f}{\partial x}$含义有所不同($\frac{\partial z}{\partial y}$,$\frac{\partial f}{\partial y}$之间类似)
    • 计算前者时,将$y$视为常数再对自变量$x$求偏导
    • 而后者则把$u,y$看作常数对$x$的偏导

• 例如:$z=f(u,x,y)=xyu$(1),$u=u(x,y)=x^2+y^2$(2)

  • 方法1:$\frac{\partial z}{\partial x}$=$\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}$+$\frac{\partial f}{\partial x}$=$xy2x+yu$=$3x^{2}y+y^3$

    • $\frac{\partial z}{\partial y}$=$\frac{\partial f}{\partial y}$+$\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}$=$xu+xy2y$=$3x{y}^2+x^3$(也可以利用$u,v$的对称性,调换$\frac{\partial z}{\partial x}$结果中的$x,y$来直接得到答案)

    • $\frac{\partial z}{\partial x}$可以由下式简化得到:
      $$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}$$
      $\frac{\partial z}{\partial x}$=$\frac{\partial f}{\partial x}\cdot 1+\frac{\partial f}{\partial y}0+\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}$=$\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}=yu+xy\cdot 2x=3x^{2}y+y^3$

  • 方法2:扁平化(复合函数化为非复合函数)

    • 代入式(2)展开$z=z(x,y)=xy(x^2+y^2)$可求

  • 对比:

    • $\frac{\partial z}{\partial x}$=$y(3x^2+y^2)=3x^{2}y+y^3$
    • $\frac{\partial f}{\partial x}=yu$=$y(x^2+y^2)=y{x}^2+y^3$

例

• 设$z=f(xy+\frac{y}{x})$,$f$具有二阶连续导数,求$\frac{\partial z}{\partial x}$,$\frac{\partial z}{\partial y}$,$\frac{\partial z}{\partial x\partial y}$

  • 观察函数$f$,是个一元函数,令$u=u(x,y)=xy+\frac{y}{x}$,而$z=f(u)$

    • 不应该令$u=xy$,$v=\frac{y}{x}$,$z=f(u+v)$,这不同于$f(u,v)$,$f(u+v)$不是真的二元函数

  • $z_x$=$z_u^{\prime }{u}_x^{\prime }$=$f^{\prime }(y+y(-x^{-2}))$=$y(1-\frac{1}{x^2})f^{\prime }$,

    • 因为$f$是个一元函数,即$f(u)$它的导数$f^{\prime }(u)$可以直接写成$f^{\prime }$即可,不发生歧义
    • 也可以写作:$z_x=f_u^{\prime }{u}_x^{\prime }$=$f^{\prime }(u)u^{\prime }(x)$

  • $z_y$=$z_u^{\prime }{u}_y^{\prime }$=$f^{\prime }(x+\frac{1}{x})$

  • $z_{xy}$=$(y(1-\frac{1}{x^2})f^{\prime }{)}_y^{\prime }$=$(1-\frac{1}{x^2})(y{f}^{\prime }{)}_y^{\prime }$=$(1-\frac{1}{x^2})(f^{\prime }+y{f}^{\prime \prime }(x+\frac{1}{x}))$

    • 其中$f^{\prime }=f^{\prime }(u)$对$y$求偏导表示为$[f^{\prime }(u){]}_y^{\prime }$=$f^{\prime \prime }(u)u_y^{\prime }$=$f^{\prime \prime }(u)(x+\frac{1}{x})$=$f^{\prime \prime }(x+\frac{1}{x})$

对称多项式和偏导

• 对称多项式:如果将$f(x_1,\cdots ,x_n)$任意对换两个**文字(元)**的位置,结果不变,则$f(x_1,\cdots ,x_n)$是具有对称性的
• 对于二元函数$f(x,y)$若$f(x,y)=f(y,x)$,则$f$是对称多项式
  • 对称性有许多有用的性质,例如求出$\frac{\partial f}{\partial x}$后,只需要将该表达式对调$x,y,$即可得到$\frac{\partial f}{\partial y}$的结果

例

• $z=e^u\sin v$,$u=xy$,$v=x+y$
  $$\begin{gathered} \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\sin v{e}^{u}y+e^u\cos v \\ =e^u(\sin vy+\cos v)=e^{xy}(\sin (x+y)y+\cos (x+y)) \end{gathered}$$

• 利用对称性$\frac{\partial z}{\partial x}$=$e^{xy}(\sin (x+y)x+\cos (x+y))$

多元复合函数高阶偏导和混合偏导

• 另见相关章节:AM@多元函数高阶偏导数@复合函数高阶偏导数@全微分形式不变性