AM@隐函数存在定理@多元隐函数偏导
abstract
- 隐函数存在定理
- 多元隐函数求导@偏导
隐函数存在定理1
-
设函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)在点 P ( x 0 , y 0 ) P(x_0,y_0) P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数
(P0),且- F ( x 0 , y 0 ) F(x_0,y_0) F(x0,y0)= 0 0 0,
-
F
y
(
x
0
,
y
0
)
≠
0
F_y(x_0,y_0)\neq{0}
Fy(x0,y0)=0,
- F y F_y Fy为 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)对 y y y的偏导数,
- 类似的, F x F_x Fx表示的是 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)对 x x x的偏导数
-
则方程 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0
(0)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)(1),它满足 y 0 = f ( x 0 ) y_0=f(x_0) y0=f(x0),且 d y d x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} dxdy= − F x F y -\frac{F_{x}}{F_y} −FyFx(2) -
公式(2)就是隐函数求导公式
-
本定理解决:由一个二元方程式确定的一元隐函数求导法
部分推导
- 隐函数存在定理1的唯一存在性的推导需要专业知识,略过
- 在已知
F
(
x
,
y
)
=
0
F(x,y)=0
F(x,y)=0能确定函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)(即式(1))前提下,推导公式(2)
- 将式(1)代入到式(0),得恒等式
F
(
x
,
f
(
x
)
)
≡
0
F(x,f(x))\equiv0
F(x,f(x))≡0
(3),其左端可以看作是 x x x的一个复合函数 - 因此,对(3)或(0)两边求全导数:
F
x
+
F
y
d
y
d
x
F_{x}+F_{y}\frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}x}
Fx+Fydxdy=0
(4) - 由条件(P0),
F
y
F_y
Fy连续,且
F
y
(
x
0
,
y
0
)
≠
0
F_{y}(x_0,y_0)\neq{0}
Fy(x0,y0)=0,所以存在
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
(x0,y0)的一个邻域,在该邻域内
F
y
≠
0
F_{y}\neq{0}
Fy=0
(5)(由连续可知, ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) (x,y)\to{(x_0,y_0)} (x,y)→(x0,y0)时 F y ↛ 0 F_{y}\not\to{0} Fy→0而是 F y F_y Fy趋于一个非0数,因此在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的某个邻域内, F y ≠ 0 F_y\neq{0} Fy=0) - 从而可以将是(4)变形为 d y d x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} dxdy= − F x F y -\frac{F_{x}}{F_{y}} −FyFx
- 将式(1)代入到式(0),得恒等式
F
(
x
,
f
(
x
)
)
≡
0
F(x,f(x))\equiv0
F(x,f(x))≡0
Note
- 定理中条件 F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F_{y}(x_0,y_0)\neq{0} Fy(x0,y0)=0下,方程确定的是 y y y关于 x x x的函数
- 若定理中的条件 F y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F_{y}(x_0,y_0)\neq{0} Fy(x0,y0)=0改为 F x ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 F_{x}(x_0,y_0)\neq{0} Fx(x0,y0)=0,那么方程确定的函数是 x x x关于 y y y的函数
例
- 已知二元方程
sin
y
+
e
x
−
x
y
=
1
\sin{y}+e^{x}-xy=1
siny+ex−xy=1,求
y
′
y'
y′
- 设 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)= sin y + e x − x y − 1 \sin{y}+e^{x}-xy-1 siny+ex−xy−1
- 则 F x F_{x} Fx= e x − y e^{x}-y ex−y; F y = cos y − x F_y=\cos{y}-x Fy=cosy−x;代入公式(2)得: y ′ = − e x − y cos y − x y'=-\frac{e^{x}-y}{\cos{y}-x} y′=−cosy−xex−y
推广
- 本定理可以推广到多元函数
- 一个二元方程 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0可以确定一个一元隐函数
- 一个三元方程 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0可以确定一个二元隐函数
隐函数存在定理2
- 设函数
F
(
x
,
y
,
z
)
F(x,y,z)
F(x,y,z)在点
P
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
P(x_0,y_0,z_0)
P(x0,y0,z0)的某一邻域内有连续偏导数,且
F
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
=
0
F(x_0,y_0,z_0)=0
F(x0,y0,z0)=0
(1), F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) ≠ 0 F_y(x_0,y_0,z_0)\neq 0 Fy(x0,y0,z0)=0 - 则方程
F
(
x
,
y
,
z
)
=
0
F(x,y,z)=0
F(x,y,z)=0
(2)在点 P P P的某个邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)(3),它满足 z 0 = f ( x 0 , y 0 ) z_0=f(x_0,y_0) z0=f(x0,y0),且-
∂
z
∂
x
=
−
F
x
F
z
\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=-\frac{F_x}{F_z}
∂x∂z=−FzFx
(3-1) -
∂
z
∂
y
=
−
F
y
F
z
\frac{\partial{z}}{\partial{y}}=-\frac{F_y}{F_z}
∂y∂z=−FzFy
(3-2)
-
∂
z
∂
x
=
−
F
x
F
z
\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=-\frac{F_x}{F_z}
∂x∂z=−FzFx
- 本定理解决:由一个三元方程式确定的二元隐函数求导法
- 公式中计算 F x , F y , F z F_{x},F_y,F_z Fx,Fy,Fz都是多元函数偏导问题,不涉及复合函数偏导
部分推导
- 将式(3)代入(2),得
F
(
x
,
y
,
f
(
x
,
y
)
)
=
0
F(x,y,f(x,y))=0
F(x,y,f(x,y))=0;分别对边求
x
,
y
x,y
x,y的偏导
- F x + F z ∂ z ∂ x = 0 F_{x}+F_{z}\frac{\partial{z}}{\partial{x}}=0 Fx+Fz∂x∂z=0; F y + F z ∂ z ∂ y = 0 F_y+F_{z}\frac{\partial{z}}{\partial{y}}=0 Fy+Fz∂y∂z=0
- 由条件, F z ≠ 0 F_{z}\neq{0} Fz=0将上述两式变形得(3-1,3-2)
隐函数存在定理3
- 本定理解决方程组(2个四元方程)所确定的二元函数的导数求法,本定理和线性方程组的解问题相关
- 设
F
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
F(x,y,u,v)=0
F(x,y,u,v)=0,
G
(
x
,
y
,
u
,
v
)
=
0
G(x,y,u,v)=0
G(x,y,u,v)=0
(1)在点 P ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) P(x_0,y_0,u_0,v_0) P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数,又 F ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) = 0 F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0 F(x0,y0,u0,v0)=0, G ( x 0 , y 0 , u 0 , v 0 ) = 0 G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0 G(x0,y0,u0,v0)=0(2)且偏导数所组成的函数行列式(可称为雅可比(Jacobi)式)-
J
=
∂
(
F
,
G
)
∂
(
u
,
v
)
J=\frac{\partial{(F,G)}}{\partial(u,v)}
J=∂(u,v)∂(F,G)=
∣
∂
F
∂
u
∂
F
∂
v
∂
G
∂
u
∂
G
∂
v
∣
\begin{vmatrix}\frac{\partial{F}}{\partial{u}}&\frac{\partial{F}}{\partial{v}}\\\frac{\partial{G}}{\partial{u}}&\frac{\partial{G}}{\partial{v}}\\\end{vmatrix}
∂u∂F∂u∂G∂v∂F∂v∂G
=
∣
F
u
F
v
G
u
G
v
∣
\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}
FuGuFvGv
(3)
-
J
=
∂
(
F
,
G
)
∂
(
u
,
v
)
J=\frac{\partial{(F,G)}}{\partial(u,v)}
J=∂(u,v)∂(F,G)=
∣
∂
F
∂
u
∂
F
∂
v
∂
G
∂
u
∂
G
∂
v
∣
\begin{vmatrix}\frac{\partial{F}}{\partial{u}}&\frac{\partial{F}}{\partial{v}}\\\frac{\partial{G}}{\partial{u}}&\frac{\partial{G}}{\partial{v}}\\\end{vmatrix}
∂u∂F∂u∂G∂v∂F∂v∂G
=
∣
F
u
F
v
G
u
G
v
∣
\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}
FuGuFvGv
- 在点
P
(
x
0
,
y
0
,
u
0
,
v
0
)
P(x_0,y_0,u_0,v_0)
P(x0,y0,u0,v0)不等于0,则方程组(2)在点
P
P
P的某一邻域内能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数
u
=
u
(
x
,
y
)
u=u(x,y)
u=u(x,y);
v
=
v
(
x
,
y
)
v=v(x,y)
v=v(x,y),它们满足
u
0
=
u
(
x
0
,
y
0
)
u_0=u(x_0,y_0)
u0=u(x0,y0);
v
0
=
v
(
x
0
,
y
0
)
v_0=v(x_0,y_0)
v0=v(x0,y0),且有公式组
(4):(4-1,4-2,4-3,4-4)- ∂ u ∂ x \frac{\partial{u}}{\partial{x}} ∂x∂u= u x u_x ux= − 1 J ∂ ( F , G ) ∂ ( x , v ) -\frac{1}{J} \frac{\partial{(F,G)}}{\partial(x,v)} −J1∂(x,v)∂(F,G)
- ∂ v ∂ x \frac{\partial{v}}{\partial{x}} ∂x∂v= v x v_{x} vx= − 1 J ∂ ( F , G ) ∂ ( u , x ) -\frac{1}{J} \frac{\partial{(F,G)}}{\partial(u,x)} −J1∂(u,x)∂(F,G)
- ∂ u ∂ y \frac{\partial{u}}{\partial{y}} ∂y∂u= u y u_{y} uy= − 1 J ∂ ( F , G ) ∂ ( y , v ) -\frac{1}{J} \frac{\partial{(F,G)}}{\partial(y,v)} −J1∂(y,v)∂(F,G)
- ∂ v ∂ y \frac{\partial{v}}{\partial{y}} ∂y∂v= v y v_{y} vy= − 1 J ∂ ( F , G ) ∂ ( y , v ) -\frac{1}{J} \frac{\partial{(F,G)}}{\partial(y,v)} −J1∂(y,v)∂(F,G)
公式的应用
- 从公式组(3),(4)可以看出,为了是用公式需要计算出 F u , F v , G u , G v F_{u},F_{v},G_{u},G_{v} Fu,Fv,Gu,Gv,再根据需要计算的自变量 x , y x,y x,y的偏导数来计算 F x , G x F_{x},G_{x} Fx,Gx或 F y , G y F_{y},G_{y} Fy,Gy中的一组
- Note
- 计算 F x F_{x} Fx或 G x G_{x} Gx时,要注意 F , G F,G F,G是4元函数,自变量为 x , y , u , v x,y,u,v x,y,u,v,当对 F , G F,G F,G求关于 x x x的偏导数时, y , u , v y,u,v y,u,v要当作常数,特别是 u , v u,v u,v,这里不应视为关于 x , y x,y x,y的函数;即,要明确对 F ( x , y , u , v ) F(x,y,u,v) F(x,y,u,v)求 x x x的偏导和对 H ( x , y ) = F ( x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ) H(x,y)=F(x,y,u(x,y),v(x,y)) H(x,y)=F(x,y,u(x,y),v(x,y))这个复合函数求 x x x的偏导是不同的,前者的 u , v u,v u,v是自变量,后者的 u , v u,v u,v是中间变量,需要以复合函数求导的方式计算( H x = F x + F u u x + F v v x H_{x}=F_{x}+F_{u}u_{x}+F_{v}v_{x} Hx=Fx+Fuux+Fvvx
- 计算 F y , G y F_{y},G_{y} Fy,Gy时类似
部分推导
-
由于 F ( x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ) = 0 F(x,y,u(x,y),v(x,y))=0 F(x,y,u(x,y),v(x,y))=0; G ( x , y , u ( x , y ) , v ( x , y ) ) = 0 G(x,y,u(x,y),v(x,y))=0 G(x,y,u(x,y),v(x,y))=0
-
将恒等式两边分别对 x x x求导,得方程组(5)
-
F
x
+
F
u
u
x
+
F
v
v
x
=
0
F_{x}+F_uu_{x}+F_{v}v_{x}=0
Fx+Fuux+Fvvx=0
(5-1) -
G
x
+
G
u
u
x
+
G
v
v
x
=
0
G_{x}+G_{u}u_x+G_{v}v_{x}=0
Gx+Guux+Gvvx=0
(5-2)
-
F
x
+
F
u
u
x
+
F
v
v
x
=
0
F_{x}+F_uu_{x}+F_{v}v_{x}=0
Fx+Fuux+Fvvx=0
-
方程组(5)是关于 u x , v x u_x,v_x ux,vx线性方程,(可以分别将(5-1,5-2)变形为(6)
-
F u u x + F v v x F_{u}u_{x}+F_{v}v_{x} Fuux+Fvvx= − F x -F_{x} −Fx
(6-1) -
G u u x + G v v x G_{u}u_x+G_{v}v_{x} Guux+Gvvx= − G x -G_{x} −Gx
(6-2) -
这是更加标准的线性方程组形式,方程组右端分别为 − F x , − G x -F_{x},-G_x −Fx,−Gx而不是 F x , G x F_x,G_{x} Fx,Gx
-
-
由Cramer法则,当线性方程组(6)的系数行列式 J = ∣ F u F v G u G v ∣ ≠ 0 J=\begin{vmatrix}F_u&F_v\\G_u&G_v\end{vmatrix}\neq{0} J= FuGuFvGv =0时方程组(6)有唯一解,即(4-1,4-2)
- u x u_x ux= 1 J ∣ − F x F v − G x G v ∣ \frac{1}{J} \begin{vmatrix}-F_x&F_v\\-G_x&G_v\end{vmatrix} J1 −Fx−GxFvGv = − 1 J ∣ F x F v G x G v ∣ -\frac{1}{J} \begin{vmatrix}F_x&F_v\\G_x&G_v\end{vmatrix} −J1 FxGxFvGv = − 1 J ∂ ( F , G ) ∂ ( x , v ) -\frac{1}{J} \frac{\partial{(F,G)}}{\partial(x,v)} −J1∂(x,v)∂(F,G)
- v x v_x vx= 1 J ∣ F u − F x G u − G x ∣ \frac{1}{J} \begin{vmatrix}F_u&-F_x\\G_u&-G_x\end{vmatrix} J1 FuGu−Fx−Gx = − 1 J ∣ F u F x G u G x ∣ -\frac{1}{J} \begin{vmatrix}F_u&F_x\\G_u&G_x\end{vmatrix} −J1 FuGuFxGx = − 1 J ∂ ( F , G ) ∂ ( u , x ) -\frac{1}{J} \frac{\partial{(F,G)}}{\partial(u,x)} −J1∂(u,x)∂(F,G)
-
类似的可以得到(4-3,4-4)
-
公式组可以不记忆,掌握推导过程,可以直接对具体的应用推导出结果
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