AM@向量积@外积

文章目录

• • abstract
  • 向量积@叉乘积@叉积🎈
  • • 代数表示
    • 几何表示
    • 向量积的模
    • 向量积应用
    • 向量积和力矩
    • 向量积的性质👺
    • 向量积的坐标表示公式
    • 同时垂直与不同线的两个向量
  • 向量的外积在物理学中的应用
  • • 向量外积和刚体旋转线速度问题
    • 角速度和向量积

abstract

• 向量的外积(即向量积)的定义和性质
• 角速度和向量积

向量积@叉乘积@叉积🎈

• 向量积的坐标代数运算比数量积的运算要明显复杂,可以利用行列式表示

• 但其几何表示和运算和数量积的几何表示运算结构类似,较为简单

• 向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$的向量积(也称外积)表示为$\mathbf{a}\times \mathbf{b}$

代数表示

• $$\begin{array}{rl}\mathbf{a}\times \mathbf{b}& =\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}{a}_y& a_z\\ b_y& b_z\end{array}\right|\mathbf{i}-\left|\begin{array}{cc}{a}_x& a_z\\ b_x& b_z\end{array}\right|\mathbf{j}+\left|\begin{array}{cc}{a}_x& a_y\\ b_x& b_y\end{array}\right|\mathbf{k}\\ & =+(a_y{b}_z-b_y{a}_z)\mathbf{i}-(a_x{b}_z-b_x{a}_z)\mathbf{j}+(a_x{b}_y-b_x{a}_y)\mathbf{k}\\ & =(a_y{b}_z-b_y{a}_z,-(a_x{b}_z-b_x{a}_z),(a_x{b}_y-b_x{a}_y))\\ & =(a_y{b}_z-b_y{a}_z,b_x{a}_z-a_x{b}_z,a_x{b}_y-b_x{a}_y)\end{array}$$

  • 传统的方法是按照行列式降阶展开;也可以按照三阶对角线规则
  • 注意一般标量矩阵构成的行列式的计算结果是一个标量,而本例中行列式的第一行$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$均为向量,其计算结果也是向量

几何表示

• $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$的结果是一个向量(比数量积的几何表示抽象得多)
• 向量$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}$同时垂直于$\mathbf{a},\mathbf{b}$,且符合右手法则

向量积的模

• 模:$|a\times \mathbf{b}|$=$|a||b|\sin \theta$其中$\theta =<\mathbf{a},\mathbf{b}>$,

  • 由于$\theta \in [0,2\pi ]$,所以$|\sin \theta |$=$\sin \theta ⩾0$,公式中$\sin \theta$不用加绝对值
  • 此公式不是向量积的几何表示,而是取模

• 和数量积不同

  • $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$=$|a||b|\cos \theta$,是数量积的几何表示,并且结果这是一个数值
  • $|\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}|$取一个数$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$的绝对值,
  • 而$|a\times \mathbf{b}|$是取向量的模

• 该公式的推导可以由代数表示计算得到

向量积应用

• 求法向量:由于$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}$,其中$\mathbf{c}$垂直于$\mathbf{a},\mathbf{b}$所在平面,反之,若已知平面$\Pi$上有两个向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$,则$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}$就是$\Pi$的一个法向量
  • 这在求平面的方程(尤其是点法式方程)时很有用,只要找到平面上的两条不平行向量,应用向量外积即可求得平面法向量
  • 更一般的,平行或属于于平面的两条夹角非零向量,同样可以应用外积求平面的法向量
• 求面积,以$\mathbf{a},\mathbf{b}$为棱的平行四边形面积为$\mathbf{a},\mathbf{b}$向量积的模:$|a\times \mathbf{b}|$=$|a||b|\sin \theta$其中$\theta =<\mathbf{a},\mathbf{b}>$
• 判平行:$\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$ $\iff$ $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=0$

向量积和力矩

• 研究物体转动问题时,除了考虑物体所受的力,还要分析力所产生的力矩

• 设$O$为一根杠杆L的支点,有一个力$\mathbf{F}$作用在杠杆上$P$点处,$\mathbf{F}$与$\overrightarrow{OP}$的夹角为$\theta$,构成的平面记为$\Pi$

• 由力学规定,力$\mathbf{F}$对支点$O$的力矩是向量$\mathbf{M}$,$|\mathbf{M}|=|OQ||\mathbf{F}|=|\overrightarrow{OP}||\mathbf{F}|\sin \theta$

• 

• $\mathbf{M}\perp \Pi$,$\mathbf{M}$的方向按右手规则从$\overrightarrow{OP}$以不超过$\pi$的角度旋转向$\mathbf{F}$来确定

• 当右手的4个手指从$\overrightarrow{OP}$以不超过$\pi$的角度转向$\mathbf{F}$握拳时,大拇指的方向就是$\mathbf{M}$的指向

• 从力矩抽象出两个向量的向量积的概念

• 向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$的向量积表示为$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}$,设$\theta$为$\mathbf{a},\mathbf{b}$的夹角,$\Pi$为$\mathbf{a},\mathbf{b}$所在(决定)的平面

• 模:$|c|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$;

• 方向:按右手规则,右手从$\mathbf{a}$向着不超过$\pi$的一侧夹角转向$\mathbf{b}$时拇指的方向来确定

向量积的性质👺

• 由行列式的性质,容易验证向量积的运算性质

  1. $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-\mathbf{b}\times \mathbf{a}$
  2. $\mathbf{a}\times (\mathbf{b}+\mathbf{c})$=$\mathbf{a}\times \mathbf{b}+\mathbf{a}\times \mathbf{c}$
  3. $(\lambda \mathbf{a})\times \mathbf{b}$=$\mathbf{a}\times (\lambda \mathbf{b})$=$\lambda (\mathbf{a}\times \mathbf{b})$

• $\mathbf{a}\times \mathbf{a}$=$-\mathbf{a}\times \mathbf{a}$,可知$\mathbf{a}\times \mathbf{a}=0$

向量积的坐标表示公式

• 利用结合律和分配律,带入坐标解析式:

  • $$\begin{array}{rl}\mathbf{a}\times \mathbf{b}=& (a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k})\times (b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k})\\ =& a_x\mathbf{i}\times (b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k})\\ & +a_y\mathbf{j}\times (b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k})\\ & +a_z\mathbf{k}\times (b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k})\\ =& a_x{b}_x(\mathbf{i}\times \mathbf{i})+a_x{b}_y(\mathbf{i}\times \mathbf{j})+a_x{b}_z(\mathbf{i}\times \mathbf{k})\\ & +a_y{b}_x(\mathbf{j}\times \mathbf{i})+a_y{b}_y(\mathbf{j}\times \mathbf{j})+a_y{b}_z(\mathbf{j}\times \mathbf{k})\\ & +a_z{b}_x(\mathbf{k}\times \mathbf{i})+a_z{b}_y(\mathbf{k}\times \mathbf{j})+a_z{b}_z(\mathbf{k}\times \mathbf{k})\\ =& (a_y{b}_z-a_z{b}_y)\mathbf{i}+(a_z{b}_x-a_x{b}_z)\mathbf{j}+(a_x{b}_y-a_y{b}_x)\mathbf{k}\end{array}$$

  • 其中:

    • $\mathbf{i}\times \mathbf{i}=\mathbf{j}\times \mathbf{j}=\mathbf{k}\times \mathbf{k}=0$
    • $\mathbf{i}\times \mathbf{j}=\mathbf{k}$,$\mathbf{j}\times \mathbf{k}=\mathbf{i}$,$\mathbf{i}\times \mathbf{k}=\mathbf{j}$
    • $\mathbf{j}\times \mathbf{i}=-\mathbf{k}$,$\mathbf{k}\times \mathbf{j}=-\mathbf{i}$,$\mathbf{k}\times \mathbf{i}=-\mathbf{j}$

同时垂直与不同线的两个向量

• 同时垂直于不共线的2个向量的第3个向量一定不共面
  • 假设$\theta =<\mathbf{a},\mathbf{b}>\in (0,\pi )$
  • $\alpha =<\mathbf{b},\mathbf{c}>=\frac{\pi }{2}$
  • $\beta =<\mathbf{a},\mathbf{c}>=\theta +\alpha >\frac{\pi }{2}$
  • 从而$\mathbf{c}$和$\mathbf{a},\mathbf{b}$不共面
• 通常要找到垂直于给定的不共面的2个向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$所在平面的法向量$\mathbf{d}$,可以使用$\mathbf{d}=\pm \mathbf{a}\times \mathbf{b}$来获得
• 根据需要可以将$\mathbf{d}$进行单位化${\mathbf{c}}^0=\frac{1}{|\mathbf{d}|}\mathbf{d}$

向量的外积在物理学中的应用

向量外积和刚体旋转线速度问题

• 设刚体以等角速度$\mathbf{\omega }$绕$l$轴旋转,计算刚体上一点$M$的线速度$\mathbf{v}$的大小
• 设点$M$到$l$的距离为$a$,再在$l$上任取一点$O$作向量$\mathbf{m}=\overrightarrow{OM}$,并以$\theta$表示$\mathbf{\omega }$与$\mathbf{m}$的夹角,则$a=|\mathbf{m}|\sin \theta$,刚体旋转半径为$a$
• 根据物理学中线速度和角速度的关系:$v=\omega a$可知:$|\mathbf{v}|=|\mathbf{w}||\mathbf{m}|\sin \theta$
  • 其中$\mathbf{v}$的方向垂直于同时过点$M$与轴$l$的平面,即向量$\mathbf{\omega },\mathbf{m}$所在的平面(描述空间中的直线的方向需要足够精准)
  • 因此,$\mathbf{v}=\mathbf{\omega }\times \mathbf{m}$

角速度和向量积

• 角速度（Angular velocity）是在物理学中定义为角位移的变化率，描述物体转动时，在单位时间内转过多少角度以及转动方向的向量,（更准确地说，是赝向量），通常用希腊字母($\Omega$)或($\omega$)来表示。

• 在国际单位制中，单位是弧度每秒（rad/s）。在日常生活，通常量度单位时间内的转动周数，即是每分钟转速（rpm），电脑机械硬盘和汽车引擎转数就是以rpm来量度，物理学则以rev/min表示每分钟转动周数。
  角速度的方向垂直于转动平面，可通过右手定则来确定，物体以逆时针方向转动其角速度为正值，物体以顺时针方向转动其角速度为负值。

• 角速度量值的大小称作角速率，通常也是用$\omega$来表示。

• In physics, angular velocity (ω or Ω), also known as angular frequency vector,is a pseudovector representation of how fast the angular position or orientation of an object changes with time (i.e. how quickly an object rotates or revolves relative to a point or axis).

• The magnitude of the pseudovector represents" the angular speed", the rate at which the object rotates or revolves, and its direction is normal(垂直) to the instantaneous plane(瞬时平面) of rotation or “angular displacement(角位移)”.

• The orientation of angular velocity is conventionally specified by the right-hand rule.

• “orientation”指的是角速度的方向，而“direction”指的是伪矢量的方向，两者在描述物体旋转和伪矢量时所关注的角度略有不同;在描述伪矢量的方向时，我们考虑的是伪矢量与旋转或角位移的瞬时平面之间的垂直关系。它的方向与瞬时平面的法向量是一致的，表示了伪矢量的方向是垂直于旋转或角位移的平面的。

• There are two types of angular velocity.

  • Orbital angular velocity refers to how fast a point object revolves about a fixed origin, i.e. the time rate of change of its angular position relative to the origin.

  • Spin angular velocity refers to how fast a rigid body(刚体) rotates with respect to its center of rotation and is independent of the choice of origin, in contrast to orbital angular velocity.自旋角速度是指刚体相对于其自旋中心的旋转速度，与选择的坐标原点无关，与轨道角速度相对立。

  • In general, angular velocity has dimension of angle per unit time (angle replacing distance from linear velocity with time in common).

  • The SI unit of angular velocity is radians per second, with the radian(弧度) being a dimensionless quantity, thus the SI units of angular velocity may be listed as $s^{-1}$. 通常情况下，角速度的量纲为角度每单位时间（用时间取代线性速度中的距离）。角速度的国际单位制单位为弧度每秒，弧度是一个无量纲的量，因此角速度的国际单位制单位可以列为 $s^{-1}$。

    角速度通常用符号 omega (ω，有时为 Ω)表示。按照惯例，正的角速度表示逆时针旋转，而负的角速度表示顺时针旋转。

  • Angular velocity is usually represented by the symbol omega (ω, sometimes Ω). By convention, positive angular velocity indicates counter-clockwise rotation, while negative is clockwise.