平面解析几何@平面直线间位置关系及其判定

文章目录

• • abstract
  • 两直线的位置关系
  • • 用初等代数的知识推导
    • 从线性方程组的解的结构推导
    • 比值式判定两直线平行
    • 重合判定
  • 总结
  • • 判断位置关系的算法
    • 直线平行对应的方程关系👺
  • 特殊相交关系
  • • 两条直线垂直
    • 直线垂直对应的斜率关系
    • 直线垂直判断算法
    • 直线垂直对应的方程关系

abstract

• 平面直线间位置关系
  • 讨论直线的相交@重合@平行三种基本关系及其条件
  • 直线垂直关系及其条件

两直线的位置关系

• 讨论直线的相交/重合/平行三种基本关系及其条件
• 设两条直线分别为$l_1$:$A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$;$l_2$:$A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$,联立两个方程为方程组(1)

用初等代数的知识推导

• 使用高斯消元法,若先消去$x$,则

  • $A_1{A}_{2}x+B_1{A}_{2}y+A_2{C}_1=0$
  • $A_1{A}_{2}x+A_1{B}_{2}y+A_1{C}_2=0$
  • 两式相减,$(B_1{A}_2-A_1{B}_2)y+A_2{C}_1-A_1{C}_2=0$(2-1)

• 类似的,若先消去$y$

  • $A_1{B}_{2}x+B_1{B}_{2}y+B_2{C}_1=0$
  • $A_2{B}_{1}x+B_1{B}_{2}y+B_1{C}_2=0$
  • 可得:$(A_1{B}_2-A_2{B}_1)x+B_2{C}_1-B_1{C}_2=0$,(2-2)

• 由(2-1)或(2-2),(下面以(2-2)为主讨论)当$A_1{B}_2-A_2{B}_1\ne 0$,(3)

  • 有:$x=\frac{B_1{C}_2-C_1{B}_2}{A_1{B}_2-A_2{B}_1}$

  • 类似的可得$y=\frac{A_2{C}_1-A_1{C}_2}{A_1{B}_2-A_2{B}_1}$

  • 因此$A_1{B}_2-A_2{B}_1\ne 0$时,方程组有唯一解;这是两条直线相交,交点为坐标$(x,y)$

• 当$A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$(3-0)时,且$A_2{C}_1-A_1{C}_2\ne 0$(3-1)或$B_1{C}_2-C_1{B}_2\ne 0$(3-2)时,方程组(1)无解,此时两直线没有公共交点,两直线平行(不重合)

  • 这一点可以从式(2-2)看出,当$A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$时,方程(2)写成$B_2{C}_1-B_1{C}_2=0$,若$B_2{C}_1-B_1{C}_2\ne 0$,则可使得(2)不成立,也就是方程(1)无解
  • 从而(3-0),(3-2)是无解的条件;对于(3-0),(3-1)也是类似的原因

从线性方程组的解的结构推导

• 方程组(1)可以写作:

  • $$\begin{gathered} A_{1}x+B_{1}y=-C_1 \\ {A}_{2}x+B_{2}y=-C_2 \end{gathered}$$

  • 该线性方程组的系数矩阵

    • $$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right)$$

  • 由于方程组的未知数个数和方程个数相等,考虑使用Cramer法则给出唯一解的条件:$|A|\ne 0$时方程组(1)有唯一解;即$|A|=\left|\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ A_2& B_2\end{array}\right|$=$A_1{B}_2-A_2{B}_1\ne 0$

  • 或者更一般的,使用初等变换法,以及线性方程组解的情况的秩判别法

    • $$\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& B_1& -C_1\\ A_2& B_2& -C_2\end{array}\right)\stackrel{r_2-\frac{A_2}{A_1}r1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}{A}_1& B_1& -C_1\\ 0& B_2-\frac{A_2}{A_1}{B}_1& -C_2+\frac{A_2}{A_1}{C}_1\end{array}\right)$$

      • 这里假设$A_1\ne 0$

    • 当$B_2-\frac{A_2}{A_1}{B}_1\ne 0$,两边乘以$A_1$,得式(3),这就是有解的条件

    • 无解的条件是$B_2-\frac{A_2}{A_1}{B}_1=0$,且$-C_2+\frac{A_2}{A_1}{C}_1\ne 0$,这就是无解的条件,即式(3-0),(3-1)

比值式判定两直线平行

• 若$A_2,B_2,C_2\ne 0$,则两条直线平行的条件可以改写为比值形式:$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\ne \frac{C_1}{C_2}$

重合判定

• 对于$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$,的情形(此时两直线相交),令这个比值为非零常数$\lambda$,则$A_1=\lambda A_2$,$B_1=\lambda B_2$,$C_1=\lambda C_2$,($\lambda \ne 0$)(4)

• 在条件(4)下,两个直线方程中未知数的对应系数成比例,$l_1$方程可以写成$\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_2)=0$(5)

  • 显然,$l_1,l_2$方程的解集相同,此时两直线重合

总结

• $l_1,l_2$的位置关系有3种,相交,平行,重合
  • 此处的3种关系,具体的说,相交是相交于一点,(两直线方程的解集的交集仅有一个元素)
  • 平行是没有交点(两直线方程解集的交集为空集)
  • 重合是其他两种情况以外的情形(两直线方程的解集相同)
• (单点)相交,则$A_1{B}_2-A_2{B}_1\ne 0$或$\frac{A_1}{A_2}\ne \frac{B_1}{B_2}$
• 平行:
  1. $A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$且$A_2{C}_1-A_1{C}_2\ne 0$或$B_1{C}_2-C_1{B}_2\ne 0$中的一个成立
  2. 或$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\ne \frac{C_1}{C_2}$
• 重合:$A_1=\lambda A_2$,$B_1=\lambda B_2$,$C_1=\lambda C_2$,$(\lambda \ne 0)$或$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

用表格表示:

	条件$A_i,B_i$不全为0($i=1,2$)	比值式条件
相交于一点	$A_1{B}_2-A_2{B}_1\ne 0$	$\frac{A_1}{A_2}\ne \frac{B_1}{B_2}$
平行不重合	$A_1{B}_2-A_2{B}_1=0$且$B_1{C}_2-C_1{B}_2\ne 0$	$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\ne \frac{C_1}{C_2}$
重合	$A_1=\lambda A_2$,$B_1=\lambda B_2$,$C_1=\lambda C_2$,$(\lambda \ne 0)$	$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

判断位置关系的算法

• 由两直线的一般方程为$A_i,B_i,C_i$,$(i=1,2)$赋值($A_i,B_i$不同时为0)
• 计算$D_1=A_1{B}_2-A_2{B}_1$,$D_2=B_1{C}_2-C_1{B}_2$或$A_1{C}_2-A_2{C}_1$
• 若$D_1\ne 0$,则$l_1,l_2$相交
• 若$D_1=0$,$D_2\ne 0$,则$l_1,l_2$平行
• 若$D_1=0$,$D_2=0$,则$l_1,l_2$重合

直线平行对应的方程关系👺

• 若$A_1=A_2=A$,$B_1=B_2=B$,$C_1\ne C_2$,则两直线平行

• 证明:$D_1=A_1{B}_2-A_2{B}_1$=$AB-AB=0$;$D_2=B_1{C}_2-B_2{C}_1$=$B(C_2-C_1)$或$A_1{C}_2-A_2{C}_1$=$A(C_2-C_1)$

  • 当$B\ne 0$时,$D_2\ne 0$,两直线平行
  • 当$B=0$时,由直线的定义,$A,B$不同时为0,从而$B=0$时,$A\ne 0$,
    • 方法1:$B(C_2-C_1)$=0,但$A(C_2-C_1)\ne 0$,所以$D_2\ne 0$,两直线平行
    • 方法2:从直线本身特点判断
      • 两直线分别为$Ax-C_1=0$,$Ax-C_2=0$,即分别为$x=-\frac{C_1}{A}$,$x=-\frac{C_2}{A}$,这两条直线都与$x$轴垂直,那么两直线要么平行,要么重合
      • 由于$C_1\ne C_2$,从而两直线平行而不重合

• 一般地,我们可以把与直线$Ax+By+C=0$平行(不重合)的直线设为$Ax+By+D=0$,$(D\ne C)$

特殊相交关系

两条直线垂直

• 设两条直线分别为$l_1$:$A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$;$l_2$:$A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$

• 在平面内,两条直线垂直则一点相交,即,垂直是相交的一种特殊情况

• 由直线平行对应的方程关系可知,$l_1$和$l_1^{\prime }$:$A_{1}x+B_{1}y+0=0$平行,$l_2$和$l_2^{\prime }$:$A_{2}x+B_{2}y+0=0$平行,从而研究$l_1,l_2$的垂直条件时,可以转换为研究$l_1^{\prime },l_2^{\prime }$的垂直条件

• 显然,$l_1^{\prime },l_2^{\prime }$是通过坐标原点$(0,0)$的直线,在直线$l_1^{\prime },l_2^{\prime }$上分别取原点外的点,分别设为$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,并且$x_1{x}_2\ne 0$

• 设$l_1^{\prime },l_2^{\prime }$斜率存在且非0(不与坐标轴平行或垂直),即$B_1,B_2\ne 0$,直线可以分别表示为$y_1=-\frac{A_1}{B_1}{x}_1$(0-1),$y_2=-\frac{A_2}{B_2}{x}_2$(0-2),即"$y=kx$"的形式

  • 由两点间距离公式:$|AB{|}^2=(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2$
  • 勾股定理$|OA{|}^2+|OB{|}^2=|AB{|}^2$,$x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$=$(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2$
  • 化简后可得$x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$(1),代入(0-1),(0-2),得$x_1{x}_2(1+\frac{A_1{A}_2}{B_1{B}_2})=0$(2)
  • 因为$x_1{x}_2\ne 0$,所以$1+\frac{A_1{A}_2}{B_1{B}_2}=0$(2-1)
  • 对(2-1)两边同乘$B_1{B}_2$,得$A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$(2-2)
  • 逆向推导可知,$l_1^{\prime },l_2^{\prime }$相互垂直,也就有$l_1,l_2$相互垂直

• 若$l_1^{\prime },l_2^{\prime }$中有一条斜率不存在或为0,(与坐标轴平行或重合)

  • 当$l_1\perp l_2$时,可知另一条也与坐标轴重合或平行

  • 不妨设$l_1^{\prime }:x=0$,$l_2^{\prime }:y=0$,此时$A_1=1,B_1=0$,$A_2=0,B_2=1$

  • 这同样有(2-2)成立,反之,由式(2-2),也可推出$l_1\perp l_2$

• 综上,平面内任意两条直线$l_1,l_2$垂直的条件是$A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$,即式(2-2)

直线垂直对应的斜率关系

• 设$l_1,l_2$的斜率存在且分别为$k_1,k_2$,则$k_1=-\frac{A_1}{B_1}$,$k_2=-\frac{A_2}{B_2}$,则$k_1{k}_2=\frac{A_1{A}_2}{B_1{B}_2}$,
• 由式(2-2),$A_1{A}_2=-B_1{B}_2$,从而$k_1{k}_2=-1$(3)
• 这就是说,两条斜率存在的直线$l_1,l_2$垂直的条件是$k_1{k}_2=-1$

直线垂直判断算法

• 由两直线的一般方程为$A_i,B_i$,$(i=1,2)$赋值($A_i,B_i$不同时为0)

• 计算$M=A_1{A}_2+B_1{B}_2$

• 若$M=0$,则$l_1\perp l_2$,否则不垂直

• 例:

  • $2x-4y-7=0$和$2x+y-5=0$;M=$2\times 2+(-4)\times 1=0$,可知两直线垂直

直线垂直对应的方程关系

• $Ax+By+C_1=0$,与直线$Bx-Ay+C_2=0$垂直
• 证明:
  • 因为$M=AB+B(-A)$=0,因此两直线垂直
• 一般的,直线$Ax+By+C=0$垂直的直线可以设为$Bx-Ay+D=0$