AM@向量代数@数量积@内积

文章目录

• • abstract
  • 数学概念和运算的定义
  • 数量积(内积@点积)
  • • 代数表示
    • • 从ji'he
    • 几何表示
    • • 余弦定理和向量数量积
    • 向量点积运算律
    • • 交换律
      • 分配律👺
      • 结合律
  • 数量积和恒力做功模型
  • • 利用内积判断向量间的关系
    • 小结

abstract

• 两个向量间的乘法:
  • 数量积
  • 向量积
• 两种向量的乘法都有对应的物理问题,相关的计算规则抽象自物理模型
  • 数量积与恒力做功
  • 向量积与力矩
• 将物理问题模型抽象成数量关系模型,从代数运算的角度研究向量某些方面的性质,并应用这些运算的特点可以直观的解决某些数学问题,例如向量(直线)位置关系,平行四边形的面积等
• 另一方面将向量利用坐标系来表示和研究,可以给出向量乘积的几何表示对应的纯代数运算表示
• 因此,有时也利用向量的坐标,定义向量乘积,并且给出的定义恰好对应几何定义
• 本文介绍数量积,向量积另见它文

数学概念和运算的定义

• 向量的数量积和向量积的运算规则,我想顺带讨论以下数学中一个概念的引入的动机

• 在数学中定义某个概念或规则,或者因为这个概念能够描述某些问题,或者因为这个规则能够对应或者解决某一类问题

• 例如行列式的定义及其计算规则(以下用此种定义代指),因为行列式的此种定义能够描述(或源于相关研究)某些重要问题(可能是数学以外的相关学科问题,比如物理问题):

  • 方阵是否可逆的判断公式可以用行列式简洁的描述
  • $n$个含有$n$个未知数的线性方程组的解情况,由Cramer法则可知,当系数行列式非0时,方程组由唯一解,并且唯一解的公式可以用行列式辅助描述,可以使得公式表示地简洁;
  • 总之行列式的此种定义确实有用,这也是行列式如此定义的理由,而不是毫无根据的给出一个定义和计算规则

• 线性代数主要问题是为了研究线性方程组的解,在研究这个问题的过程问题被分解为许多小的问题,并中定义了许多相关概念,然后利用这些概念辅助描述子问题和结论

• 总之,某些资料在教授过程中会直接抛出一个特定的计算公式或规则,但没有告诉读者为什么这么定义,其必然存在某个源问题的研究

数量积(内积@点积)

• 向量数量积,在更加抽象的讨论中,数量积的推广是向量内积可以表示$(\mathbf{a},\mathbf{b})$
• 此处给出一个内积的具体的实现,两个向量的数量积
• 数量积的定义满足:交换律,分配律,结合律

代数表示

• 设两个向量$\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z),\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)$,它们的数量积定义为:$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$
• 这个定义满足许多基本的运算规律

从ji’he

• 设$\mathbf{a}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}$;$\mathbf{b}=b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k}$

• 根据向量的数量积对加法的分配律:

  • 将坐标解析式带入到$\mathbf{a},\mathbf{b}$,并根据分配律展开

    • $$\begin{array}{rl}\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=& (a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k})\cdot (b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k})\\ =& a_x\mathbf{i}\cdot (b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k})\\ & +a_y\mathbf{j}\cdot (b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k})\\ & +a_z\mathbf{k}\cdot (b_x\mathbf{i}+b_y\mathbf{j}+b_z\mathbf{k})\\ =& a_x{b}_x\mathbf{i}\cdot \mathbf{i}+0+0\\ & +0+a_y{b}_y\mathbf{j}\cdot \mathbf{j}+0\\ & +0+0+a_z{b}_z\mathbf{k}\cdot \mathbf{k}\\ =& a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z\end{array}$$

      • 其中由于$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$,所以$\mathbf{i}\cdot \mathbf{j}=\mathbf{j}\cdot \mathbf{k}=\mathbf{i}\cdot \mathbf{k}=0$
      • $\mathbf{i}\cdot \mathbf{i}=\mathbf{j}\cdot \mathbf{j}=\mathbf{k}\cdot \mathbf{k}=1$

几何表示

• $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$=$|a||b|\cos \theta$

余弦定理和向量数量积

• 由向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$为三角形的两边构造三角形,并设两边的夹角为$\theta$,第三条边对应的向量可设为$\mathbf{a}-\mathbf{b}$(或$\mathbf{a}-\mathbf{b}$)
  • 可以是空间中的三角形,而未必是坐标面上的三角形,但三角形有单个点,它们一定共面,三角形也一定是平面图形
• 由余弦定理,$|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2$=$|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2-2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$;(1)
  • 另一方面由向量模长公式可知$|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2$=$(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})$
  • 再由分配律(见下一节)可知$|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2$=$\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$=$|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$(2)
  • 比较(1),(2)可知$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$=$|\mathbf{a}|||\mathbf{b}|\cos \theta$(3)

向量点积运算律

交换律

• $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$
  • 特别的,$\mathbf{b}=\mathbf{a}$时,$\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|a{|}^2=a_x^2+a_y^2+a_z^2$
  • 当$\mathbf{b}$为单位向量时:$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta =|\mathbf{a}|\cos \theta ,(|\mathbf{b}|=1)$

分配律👺

• $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}+\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}$
  • $LHS=|c|{\text{Prj}}_{\mathbf{c}}(a+b)=|c|{\text{Prj}}_{\mathbf{c}}\mathbf{a}+|c|{\text{Prj}}_{\mathbf{c}}\mathbf{b}$
    • 根据投影的分配律以及实数加法的分配律
  • RHS=$|c|Pr{j}_{c}a+|c|Pr{j}_{c}b$
  • 因此LHS=RHS
• 向量分配律

结合律

• $(\lambda \mathbf{a})\cdot \mathbf{b}=\lambda (\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$
• 根据数量的定义:

  • $\mathbf{b}=0$时,上式两边均为0

  • $\mathbf{b}\ne 0$时

    • 方法1:
      • $LHS=|\lambda \mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta =\lambda ||\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$
      • $RHS=\lambda |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \mathbf{\theta }$
      • 所以LHS=RHS,证毕
    • 方法2:
      • $LHS=|\lambda \mathbf{a}|{\text{Prj}}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=\lambda |\mathbf{a}|{\text{Prj}}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}$
      • $RHS=\lambda (|\mathbf{a}|{\text{Prj}}_{\mathbf{b}}\mathbf{a})$
      • 所以$LHS=RHS$

  • $\mathbf{a}\cdot (\lambda \mathbf{b})=\lambda (\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$

  • $(\lambda \mathbf{a})\cdot (\mu \mathbf{b})=\lambda \mu (\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$

数量积和恒力做功模型

• 数量积的定义来自于物理学中,恒力$\mathbf{F}$作用于物体从$M_1$直线地移动到$M_2$所作的功的计算,记$\overrightarrow{M_1{M}_2}=\mathbf{s}$,$\theta =<\mathbf{F},\mathbf{s}>$

  • $W=|\mathbf{F}||\mathbf{s}|\cos \theta$

利用内积判断向量间的关系

• 向量间相互垂直(正交)的可以用向量的数量乘表示:$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$,充要条件是$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$=0

小结

• 几何表示:$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|a||b|\cos \theta$,其中$\theta =<\mathbf{a},\mathbf{b}>$

  • 根据给定的2个向量计算他们夹角的余弦$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|a||b|}$

• 代数表示:$\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z),\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)$,则$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$

• 数量积可以看作是向量$\mathbf{a}$的模乘以向量$\mathbf{b}$在向量$\mathbf{a}$上的投影(数值)