空间曲面@曲面分析方法@常见曲面方程@球面@柱面@二次曲面分类和汇总

文章目录

• • 曲面的基本问题
  • 特殊曲面@基础曲面
  • 平面曲线方程
  • • 坐标面平面曲线方程
    • 空间曲面方程
    • • 一次曲面
      • 二次曲面
  • 曲面分析方法
  • • 截痕法
    • 伸缩变形法
    • • 伸缩因子的确定
  • 球面方程
  • • 球的标准形方程
    • 一般形方程
    • • 例
  • 柱面
  • • 投影柱面
    • 柱面方程
    • 不同维度下同方程的图形
    • 例
  • 二次曲面分类和汇总👺
  • • 柱面
    • 非柱面

曲面的基本问题

1. 根据曲面(点的几何轨迹)建立对应的方程
   • 例如,更具点法式建立平面方程,就是本类问题
2. 根据方程研究对应的曲面形状

特殊曲面@基础曲面

• 最简单的曲面包括:平面和球面
• 在平面一节我们单独地讨论了相关的性质定理和应用

平面曲线方程

坐标面平面曲线方程

• 平面曲线的一般形式为$f(u_1,u_2)=0$;
• 例如$xOy$平面上的曲线可以一般地表示为$C:f(x,y)=0$(1);
  • 在空间直角坐标系$Oxyz$中,空间曲线方程来描述$C$,则再追加$z=0$这一平面方程,否则表示的就是曲面
• 例如
  • $y-x^2=0$,也表示为$y=x^2$或简写为$x^2$
  • $x{y}^2+y{e}^x=0$
  • $\frac{x^2}{a^2}\pm \frac{y^2}{b^2}=1$
  • $y^2=2px$

空间曲面方程

• 空间曲面方程的一般形式为$F(x,y,z)=0$(2)
  • 当方程(2)中的某1个或某2个字母缺失,仍然表示的是空间曲面
    • 例如$f(x,y)=0$表示的是坐标轴平行于$z$轴的柱面,例如$x^2+y^2=R^2$(平面理解为柱面的特殊情况)
    • 例如:$f(x)=0$表示的是垂直于坐标轴$x$的平面(同时平行于$y,z$两轴的平面),例如$x=a$,即$x-a=0$

一次曲面

• 平面被称为一次曲面
• 例如$x+y-z=0$是一次曲面;而$e^x+y-z=0$就不是一次曲面

二次曲面

• 平面解析几何中,二次方程可以表示抛物线,双曲线,椭圆,圆等
• 在空间解析几何中,二次方程(三元二次方程)表示的曲面称为二次曲面
• 二次曲面有9种

曲面分析方法

• 平面(例如$z=t$)与曲面$F(x,y,z)=0$的交线称为截痕

截痕法

• 通过综合截痕的变化来了解曲面的形状的方法称为截痕法

• 一般的,对于给定的曲面方程,可以考察:

  • 对称性
  • 图形范围

• 描绘一般曲线方程的图形有时比较困难,但是可以用一组平面取截曲面,得到一组交线(截痕),可以获得大体的曲面形状

• 常用截面为简单平面方程,例如$z=z_0$,$x=x_0$,$y=y_0$,以及三个坐标面

伸缩变形法

• 伸缩图形上的点坐标,得到对应新轨迹(图形),这种有时比截痕法更好的解释未知图形和已知图形之间的联系
• 利用旋转曲面的伸缩变换来得出椭圆化的曲面,是研究曲面的一种比较方便的方法
• 平面图形伸缩(这部分内容高中选修介绍过)
  • 以$xOy$平面上的伸缩变换为例
    • 在$xOy$平面上把点$M(x,y)$变为$M^{\prime }(x,\lambda y)$,那么点$M$的轨迹$C$就变为点$M^{\prime }$的轨迹$C^{\prime }$
    • 称为图形$C$沿$y$轴方向伸缩$\lambda$倍变成图形$C^{\prime }$
  • 若$C$的方程为$F(x,y)=0$,$M(x_1,y_1)\in C$;即$F(x_1,y_1)=0$(1)
    • 做变换:$M\to M^{\prime }(x_2,y_2)$;其中$x_2=x_1$;$y_2=\lambda y_1$;(2),得到轨迹$C$变换后的轨迹$C^{\prime }$
    • 将$M_1$的坐标用$M_2$的坐标表示,即$x_1=x_2$;$y_1=\frac{1}{\lambda }{y}_2$;(2-1)
    • 将(2-1)代入(1),得$F(x_2,\frac{1}{\lambda }{y}_2)=0$(3),这就是变换后的$M^{\prime }$的轨迹$C^{\prime }$,将自变量字母$x_2,y_2$按习惯替换为$x,y$,即得$F(x,\frac{1}{\lambda }y)=0$(4)
  • 公式(3)表明,当轨迹$C$被沿$y$方向伸缩$\lambda$倍后,原方程$F(x,y)=0$中得$y$乘以伸缩因子的倒数替换,即$\frac{1}{\lambda }y$替换$y$
  • 反之,从方程变换上解释出伸缩变换:方程$F(x,ty)=0$,即$F(x,\frac{1}{\frac{1}{t}}y)=0$表示$F(x,y)=0$的曲线被沿$y$轴伸缩$\lambda =\frac{1}{t}$倍
  • 例如圆$x^2+y^2=a^2$(5)沿$y$轴方向伸缩$\frac{b}{a}$倍(以伸缩因子$\frac{b}{a}$处理),即$y_2=\frac{b}{a}{y}_1$,由公式(4),得$x^2+(\frac{1}{\frac{b}{a}}y{)}^2=a^2$(6),两边同时除以$a^2$,得$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(6-1);反之,方程(6-1)变形为(6),其由(5)沿着$y$轴伸缩$\frac{b}{a}$倍
  • 沿$x$轴伸缩$u$倍:$F(x,y)=0\to F(\frac{1}{u}x,y)=0$
  • 分别沿$x,y$轴伸缩$u_1,u_2$倍,$F(x,y)=0\to F(\frac{1}{u_1}x,\frac{1}{u_2}y)=0$
• 空间图形伸缩变换
  • 类似的,$F(x,y,z)=0$沿$y$轴方向伸缩$\lambda$倍:$F(x,\frac{1}{\lambda }y,z)=0$
  • 例如:圆锥面$\frac{x^2+y^2}{a^2}=z^2$沿$y$轴伸缩$\frac{b}{a}$倍,得椭圆锥面$\frac{x^2+\frac{a^2}{b^2}{y}^2}{a^2}=z^2$,即$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$

伸缩因子的确定

• 可以使用待定系数法来确定有伸缩关系的两个空间曲面间的伸缩方式及其倍数(因子)
• 例如:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(1)和$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$(2)存在伸缩关系,后者通过怎样的伸缩变为前者?
  • 由于$x^2$的系数方程(1,2)一样,因此伸缩只可能发生在$y$轴方向上
  • 设对(2)的$y$的伸缩因子为$\lambda$,则得到方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(\frac{1}{\lambda }y{)}^2}{a^2}=1$(2-1),和(1)比较可知$\lambda =\frac{a}{b}$

球面方程

• 确定一个球面的要素有两个:
  • 球心
  • 半径
• 建立球心为$R(x_0,y_0,z_0)$,半径为R的球方程
  • 根据球面上的点和球心距离恒等于半径以及空间两点间距离的计算公式来直观的建立空间直角坐标系内球面方程
  • $|M{M}_0|=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}=R$(1)

球的标准形方程

• $(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2$(2),

• 特别的,当球心位于坐标原点$(0,0,0)$方程形式简化为$x^2+y^2+z^2=R^2$(2-1)

一般形方程

• 一般地,设由三元二次方程:

  • $A{x}^2+A{y}^2+A{z}^2+Dx+Ey+F_z+G=0$(3),$(A\ne 0)$

• 该方程的特带你式缺失$xy,yz,zx$三个二次项(也不允许出现),而平方项的系数相同

• 这样的方程只要将方程是某个球面方程的一般式

• 总是可以将(3)配方成标准形方程(2),并得出该球的球心和半径

• 上面是从充分性角度说明(3)是球方程;另一个角度(必要性)说明为什么(3)可以表示任意球的方程

• 我们知道,任意球总是可以用标准形方程(2)表示,现将其展开:

  • $x^2+y^2+z^2-2(x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z)+(x_0^2+y_0^2+z_0^2-R^2)=0$(4)
    • 记关于$x,y,z$的一次多形式$D(x,y,z)=2(x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z)$
    • 方程(4)中同样是缺失$xy,yz,xz$三个二次项;
  • 记常数$G=x_0^2+y_0^2+z_0^2-R^2$
    • $x^2+y^2+z^2+D(x,y,z)+G=0$
  • 观察(4),(2),这就表明,任意球的一般方程总是能够被方程(2)取合适的系数来表示

• 将一般式化为标准式时,根据$D(x,y,z)$可以直接确定圆心坐标$M_0(x_0,y_0,z_0)$,只需要对三个一次项系数除以$-2$即可

例

• 方程$x^2+y^2+z^2-2x+4y=0$;球心为$C(1,-2,0)$;半径为$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$
  • $(x-1{)}^2+(y-(-2){)}^2+z^2=1+4$即:$(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+z^2=5$

柱面

• 柱面:平行于**定直线$L$并沿定曲线$C$移动的直线$L$**形成的轨迹

• 或者说:动直线$L$沿动定曲线C平行移动时所生成的曲面叫作柱面

  • 柱面由母线和准线确定,母线是直线,而准线是一般曲线

    • 定曲线C叫作柱面的准线

      • 准线可以是任意曲线,可以是不闭合的
      • 平面曲线是简单情形,最简单的准线是平面直线(平面是特殊的柱面)

    • 动直线$L$叫作柱面的母线

      • 母线是直线,其可以是斜的,而未必是垂直与某个坐标面
      • 柱面以外的母线可以是非直线,例如双曲抛物面,其母线是抛物线,准线也是抛物线

• 母线决定了柱体的侧面

• 准线决定了主体的底面

• 虽然给定母线和准线,可以唯一确定一个柱面,但给定一个柱面却无法确定唯一的准线

  • 准线可以是非平面曲线,但这些直线沿着母线的投影到坐标面上的曲线是相同的

投影柱面

• 以空间曲线$C$为准线,而母线平行于$xOy$面的柱面称为$C$对$xOy$的投影柱面
• 投影柱面和$xOy$面的交线称为$C$在$xOy$面上的投影曲线
• 其他坐标面可以定义类似的投影柱面和投影曲线

柱面方程

• 我们主要讨论的是母线平行于坐标轴的柱面,是最简单也是最常见的柱面类型,不妨称坐标轴直柱面

• 平面曲线的方程仅包含2个字母

  • 一般地,只含有$x,y$而缺$z$地方程$F(x,y)=0$在空间直角坐标系中表示母线平行于$z$轴的柱面,其准线是$xOy$面上的曲线$C:F(x,y)=0$
  • 类似的,只含有$x,z$,而缺$y$的方程$G(x,z)=0$和只含$y,z$而缺$x$的方程$H(y,z)=0$分别表示母线平行于$y$轴和$x$轴的柱面

• 例如:$x-z=0$表示母线平行于$y$轴的柱面,并且其准线是$xOy$面上的直线$x-z=0$,所以它是过$y$轴的平面

• 准线方程

  • 给定一个坐标轴直柱面,其准线不唯一
  • 方便起见,通常分析在准线曲线方程时,通常将其投影到柱面垂直的坐标面上,即研究准线的投影方程

• 通常用柱面在坐标面上的投影曲线方程来表示柱面方程(坐标轴直柱面)

  • 例如平行于$z$轴的柱面方程的一般形式:$f(x,y)=0$

不同维度下同方程的图形

• 同一个方程在不同维度下表示不同的图形
  • 例如$f(x,y)=0$
    • 在二维平面$xOy$上表示一条平面曲线,
    • 在三维空间中,表示柱面,并且该柱面在$xOy$平面上的投影曲线方程为$f(x,y)=0;z=0$(两个三维方程描述一条曲线直线),此时$z=0$如果省略与否含义相差很大

例

• $y=e^x$(1),表示平行于$z$轴的柱面,准线是$y=e^x$,隐函数形式为:$f(x,y)$=$e^x-y=0$

  • 曲面(1)用平面$y=y_0$,考虑到$y>0$所以$(y_0>0)$去截,截痕曲线方程表示为$2$个曲面交线的形式:$y_0=e^x$;$y=y_0$;该交线是直线,在$xOz$平面上的投影方程$y_0=e^x$;即$x$=$\ln y_0$,(由于是二维坐标面上的投影,第二个方程可以不写)
  • 若用平面$x=0$去截曲面(1),可得直线$y=1$;

二次曲面分类和汇总👺

柱面

母线平行于$z$轴的二次曲面(缺失字母$z$的方程)

1. 椭圆柱面方程:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
   • 圆柱方程:$x^2+y^2=R^2$,可以归为椭圆柱面的特殊情况
2. 双曲柱面方程:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
3. 抛物柱面方程:$y^2=2px$

非柱面

平面二次曲线绕坐标轴旋转与图形伸缩,可以得到各种类型得二次曲面

截痕法的讨论另见它文

1. 椭圆锥面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$(1)

   • 圆锥面$\frac{x^2+y^2}{a^2}=z^2$是椭圆锥面的特殊情形

2. 椭球面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{a^2}=1$(2)

   • 把$xOz$面上的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$绕$z$轴旋转,得到旋转椭球面,(利用旋转曲面公式,容易得方程为$\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$(2-1))
   • 再把旋转椭球面沿$y$轴方向伸缩$\frac{b}{a}$倍,得到方程(2),即中心在原点得椭球面
   • 球面是旋转椭球面的特殊情形,旋转椭球面又是椭球面的特殊情形($a^2=b^2=c^2$)
   • 我们可以将球面$x^2+y^2+z^2=a^2$先沿$z$轴方向伸缩$\frac{c}{a}$倍,得到旋转椭球面(2-1);再将(2-1)沿$y$轴伸缩$\frac{b}{a}$倍,得椭球面(2)

3. 单叶双曲面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=1$(3)

   • 把$xOz$上得双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$(3-0)绕$z$轴旋转,得到旋转单叶双曲面:$\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$(3-1)
   • 把(3-1)沿$y$轴伸缩$\frac{b}{a}$倍,即得(3)

4. 双叶双曲面$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$(4)

   • 双曲线(3-0)绕$x$轴旋转,得旋转双叶双曲面$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1$(4-1)
   • 把(4-1)沿$y$轴伸缩$\frac{b}{c}$倍,即得(4)

5. 椭圆抛物面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$(5)

   • 把$xOz$上得抛物线$\frac{x^2}{a^2}=z$绕$z$轴旋转,所得曲面称为旋转抛物面:$\frac{x^2+y^2}{a^2}=z$(5-1)
   • 再将(5-1)沿$y$轴伸缩$\frac{b}{a}$倍,即得(5)

6. 双曲抛物面(马鞍面)$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$(6)

   • 与前面的而次曲面不同,这里适合用截痕法讨论它的形状

   • 用平面$x=t$截此曲面,所得截痕$l$为平面$x=t$上的抛物线:$-\frac{y^2}{b^2}$=$z-\frac{t^2}{a^2}$,此抛物线开口向下;顶点为$(t,0,\frac{t^2}{a^2})$;当$t$发生变化时,$l$的形状不变,位置发生平移;

   • $l$的顶点的轨迹记为$L$,它是平面$y=0$上的抛物线$\frac{x^2}{a^2}=z$;此抛物线开口朝上

   • 此曲面以$l$为母线,$L$为准线,母线$l$的顶点在准线$L$上滑动,且母线作平行移动,