AM@方向导数概念和定理
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abstract
- 方向导数的概念,定理和计算公式
- 方向导数是对偏导的补充,其本质上是一个极限问题,而其计算可以转化为偏导的计算和方向余弦的计算,表现为偏导数构成的向量和方向余弦构成的向量作数量积
方向导数
-
偏导数反映的是函数(自变量)沿着坐标轴方向的变换率
-
为研究多元函数在某一点P沿任意方向(某个方向)的变化率,偏导数无法满足要求,因此引入多元函数的方向导数的概念
- 例如,设 f ( P ) f(P) f(P)表示某物体内点P的温度,那么这个物体的热传导就依赖于温度沿某些方向的变化率
- 预测某地的风向和风力,就需要知道气压在该处沿某些方向的变化率
二元函数方向导数
- 设
l
l
l为
x
O
y
xOy
xOy平面上以
P
0
(
x
0
,
y
0
)
P_{0}(x_0,y_0)
P0(x0,y0)为始点的一条射线,设其倾斜角为
α
(
α
∈
[
0
,
π
)
)
\alpha(\alpha\in[0,\pi))
α(α∈[0,π)),则
e
l
\bold{e_{l}}
el=
(
cos
α
,
cos
β
)
(\cos\alpha,\cos\beta)
(cosα,cosβ)是与
l
l
l同方向的单位向量
- α + β = π 2 \alpha+\beta=\frac{\pi}{2} α+β=2π, cos β = sin α \cos\beta=\sin\alpha cosβ=sinα, cos 2 α + cos 2 β \cos^2\alpha+\cos^2\beta cos2α+cos2β= cos 2 α + sin 2 α = 1 \cos^{2}\alpha+\sin^2\alpha=1 cos2α+sin2α=1
- 由直线的参数方程公式,射线所在直线的参数方程为 x = x 0 + t cos α x=x_0+t\cos\alpha x=x0+tcosα; y = y 0 + t cos β y=y_0+t\cos\beta y=y0+tcosβ,其中 t t t为任意常数;而此处要求射线的方程,需要限制 t ⩾ 0 t\geqslant{0} t⩾0
- 设函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)在点
P
0
P_{0}
P0的某个邻域
U
(
P
0
)
U(P_{0})
U(P0)内有定义,
P
(
x
0
+
t
cos
α
,
y
0
+
t
cos
β
)
P(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)
P(x0+tcosα,y0+tcosβ)为
l
l
l上的另一点,切
P
∈
U
(
P
0
)
P\in{U}(P_{0})
P∈U(P0)
- 若记函数增量 Δ z \Delta{z} Δz= f ( x 0 + t cos α , y 0 + t cos β ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0) f(x0+tcosα,y0+tcosβ)−f(x0,y0); P → P 0 P\to{P_0} P→P0的距离 ∣ P P 0 ∣ = t |PP_{0}|=t ∣PP0∣=t
- lim t → 0 + Δ z t \lim\limits_{t\to{0^{+}}}{\frac{\Delta{z}}{t}} t→0+limtΔz极限存在,则称该极限为 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0(x0,y0)沿方向 l l l的方向导数,记为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0)
- 即
∂
f
∂
l
∣
(
x
0
,
y
0
)
\frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)}
∂l∂f∣(x0,y0)=
lim
t
→
0
+
Δ
z
t
\lim\limits_{t\to{0^{+}}}{\frac{\Delta{z}}{t}}
t→0+limtΔz
(1)
- 由方向导数的定义可知,式(1)就是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 P 0 P_{0} P0处沿着方向 l l l的变化率(射线 l l l方向的变化率)
- 方向导数本质是求极限
偏导数是方向导数的特例
偏导数存在一定有对应的方向导数存在
- 若函数
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)在点
P
0
P_0
P0的偏导数存在,沿
x
x
x轴正方向同向的一个单位向量为
e
l
\bold{e}_{l}
el=
i
\bold{i}
i=
(
1
,
0
)
(1,0)
(1,0),则
∂
f
∂
l
∣
(
x
0
,
y
0
)
\frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)}
∂l∂f∣(x0,y0)=
f
x
(
x
0
,
y
0
)
f_{x}(x_0,y_0)
fx(x0,y0)
- 此时 Δ z \Delta{z} Δz= f ( x 0 + t , y 0 + 0 t ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+t,y_0+0t)-f(x_0,y_0) f(x0+t,y0+0t)−f(x0,y0)= f ( x 0 + t , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0) f(x0+t,y0)−f(x0,y0)
- 同理,若
e
l
\bold{e}_{l}
el=
j
=
(
0
,
1
)
\bold{j}=(0,1)
j=(0,1),则
∂
f
∂
l
∣
(
x
0
,
y
0
)
\frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)}
∂l∂f∣(x0,y0)=
f
y
(
x
0
,
y
0
)
f_{y}(x_0,y_0)
fy(x0,y0)
- 此时 Δ z \Delta{z} Δz= f ( x 0 + 0 t , y 0 + t ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0+0t,y_0+t)-f(x_0,y_0) f(x0+0t,y0+t)−f(x0,y0)= f ( x 0 , y 0 + t ) − f ( x 0 , y 0 ) f(x_0,y_0+t)-f(x_0,y_0) f(x0,y0+t)−f(x0,y0)
方向导数存在不一定有偏导数存在
- 若
e
l
=
i
\bold{e}_{l}=\bold{i}
el=i,
∂
f
∂
l
∣
(
x
0
,
y
0
)
\frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)}
∂l∂f∣(x0,y0)存在,未必有
∂
f
∂
x
∣
(
x
0
,
y
0
)
\frac{\partial{f}}{\partial{x}}|_{(x_0,y_0)}
∂x∂f∣(x0,y0)=
f
x
(
x
0
,
y
0
)
f_{x}(x_0,y_0)
fx(x0,y0)存在
- 例如:
z
=
x
2
+
y
2
z=\sqrt{x^2+y^2}
z=x2+y2在点
O
(
0
,
0
)
O(0,0)
O(0,0)处沿
l
=
i
l=\bold{i}
l=i的方向的方向导数
∂
f
∂
l
∣
(
0
,
0
)
\frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(0,0)}
∂l∂f∣(0,0)=1
- 由方向导数的定义可以计算方向导数,但是这很不方便,后面介绍使用方向导数存在定理和计算公式
- 这里先用定义计算: Δ z = f ( x 0 + t , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) \Delta_{z}=f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0) Δz=f(x0+t,y0)−f(x0,y0)= f ( t , 0 ) − f ( 0 , 0 ) f(t,0)-f(0,0) f(t,0)−f(0,0)= ∣ t ∣ − 0 |t|-0 ∣t∣−0= t t t, ( t > 0 ) (t>0) (t>0)
- 从而 lim t → 0 + Δ z t \lim\limits_{t\to{0^{+}}}{\frac{\Delta{z}}{t}} t→0+limtΔz=1,即 ∂ f ∂ l ∣ ( 0 , 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(0,0)} ∂l∂f∣(0,0)=1
- 而 ∂ f ∂ x ∣ ( 0 , 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{x}}|_{(0,0)} ∂x∂f∣(0,0)不存在(因为 ∂ f ∂ x \frac{\partial{f}}{\partial{x}} ∂x∂f= x x 2 + y 2 \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} x2+y2x,在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处没有定义)
- 例如:
z
=
x
2
+
y
2
z=\sqrt{x^2+y^2}
z=x2+y2在点
O
(
0
,
0
)
O(0,0)
O(0,0)处沿
l
=
i
l=\bold{i}
l=i的方向的方向导数
∂
f
∂
l
∣
(
0
,
0
)
\frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(0,0)}
∂l∂f∣(0,0)=1
例
-
求函数 z = x e 2 y z=xe^{2y} z=xe2y在点 P ( 1 , 0 ) P(1,0) P(1,0)处,沿从点P到Q(2,-1)的方向的方向导数值
-
方向 l l l,即 P Q → = ( 2 − 1 , − 1 − 0 ) = ( 1 , − 1 ) \overrightarrow{PQ}=(2-1,-1-0)=(1,-1) PQ=(2−1,−1−0)=(1,−1)的方向
-
单位向量 l 0 = 1 1 2 + ( − 1 ) 2 ( 1 , − 1 ) = ( 1 2 , − 1 2 ) l_0=\frac{1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}(1,-1)=(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}) l0=12+(−1)21(1,−1)=(21,−21)
- cos α = 1 2 \cos{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{2}} cosα=21
- cos β = − 1 2 \cos{\beta}=-\frac{1}{\sqrt{2}} cosβ=−21
-
∂ z ∂ x ∣ P = e 2 y ∣ ( 1 , 0 ) = 1 \left.\frac{\partial{z}}{\partial{x}}\right|_P=e^{2y}|_{(1,0)}=1 ∂x∂z P=e2y∣(1,0)=1; ∂ z ∂ y ∣ P = 2 x e 2 y ∣ ( 1 , 0 ) = 2 \left.\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\right|_P=2xe^{2y}|_{(1,0)}=2 ∂y∂z P=2xe2y∣(1,0)=2
-
∂ z ∂ l \frac{\partial{z}}{\partial{l}} ∂l∂z= ∂ z ∂ x ∣ P cos α + ∂ z ∂ y ∣ P cos β \left.\frac{\partial{z}} {\partial{x}}\right|_P\cos{\alpha} +\left.\frac{\partial{z}}{\partial{y}}\right|_P\cos{\beta} ∂x∂z Pcosα+∂y∂z Pcosβ= 1 × 1 2 + 2 × − 1 2 = − 2 2 1\times{\frac{1}{\sqrt{2}}}+2\times{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\frac{\sqrt{2}}{2} 1×21+2×−21=−22
-
三元函数方向导数
-
对于三元函数 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)来说,它在空间一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_{0}(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)沿某 P 0 P_0 P0为始点的射线 l l l的方向 e l \bold{e}_{l} el= ( cos α , cos β , cos γ ) (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) (cosα,cosβ,cosγ)的方向导数为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)} ∂l∂f∣(x0,y0)= lim t → 0 + Δ u t \lim\limits_{t\to{0^{+}}} \frac{\Delta{u}}{t} t→0+limtΔu
(1)- 其中 Δ u \Delta{u} Δu= f ( x 0 + t cos α , y 0 + t cos β , z 0 + t cos γ ) − f ( x 0 , y 0 , z 0 ) f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta,z_0+t\cos\gamma)-f(x_0,y_0,z_0) f(x0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ)−f(x0,y0,z0)
-
若式(1)极限存在,则称该极限为 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)在点 P 0 P_{0} P0沿方向 l l l的方向导数,记为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0,z_0)} ∂l∂f∣(x0,y0,z0)
例
- 设多元一次函数 f ( x , y , z ) = a x + b y + c z f(x,y,z)=ax+by+cz f(x,y,z)=ax+by+cz,向量 l l l的方向余弦为 cos α , cos β , cos γ \cos{\alpha},\cos{\beta},\cos{\gamma} cosα,cosβ,cosγ
- 设点
P
(
x
,
y
,
z
)
P(x,y,z)
P(x,y,z),
P
′
(
x
+
Δ
x
,
y
+
Δ
y
,
z
+
Δ
z
)
P'(x+\Delta{x},y+\Delta{y},z+\Delta{z})
P′(x+Δx,y+Δy,z+Δz)都是
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f(x,y,z)上的点
- Δ f \Delta{f} Δf= f ( x + Δ x , y + Δ y , z + Δ z ) f(x+\Delta{x},y+\Delta{y},z+\Delta{z}) f(x+Δx,y+Δy,z+Δz)- f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)= a ( x + Δ x ) + b ( y + Δ y ) + c ( z + Δ z ) a(x+\Delta{x})+b(y+\Delta{y})+c(z+\Delta{z}) a(x+Δx)+b(y+Δy)+c(z+Δz)- ( a x + b y + c z ) (ax+by+cz) (ax+by+cz)= a Δ x + b Δ y + c Δ z a\Delta{x}+b\Delta{y}+c\Delta{z} aΔx+bΔy+cΔz
-
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f(x,y,z)沿
l
l
l方向的平均变化率为
Δ
f
∣
P
P
′
∣
\frac{\Delta{f}}{|PP'|}
∣PP′∣Δf=
1
∣
P
P
′
∣
(
a
Δ
x
+
b
Δ
y
+
c
Δ
z
)
\frac{1}{|PP'|}(a\Delta{x}+b\Delta{y}+c\Delta{z})
∣PP′∣1(aΔx+bΔy+cΔz)
-
( Δ x , Δ y , Δ z ) (\Delta{x},\Delta{y},\Delta{z}) (Δx,Δy,Δz)= ( ∣ P P ′ ∣ cos α , ∣ P P ′ ∣ cos β , ∣ P P ′ ∣ cos γ ) (|PP'|\cos{\alpha},|PP'|\cos{\beta},|PP'|\cos{\gamma}) (∣PP′∣cosα,∣PP′∣cosβ,∣PP′∣cosγ)
-
a Δ x + b Δ y + c Δ z a\Delta{x}+b\Delta{y}+c\Delta{z} aΔx+bΔy+cΔz= ( a ∣ P P ′ ∣ cos α + b ∣ P P ′ ∣ cos β + c ∣ P P ′ ∣ cos γ ) (a|PP'|\cos{\alpha}+b|PP'|\cos{\beta}+c|PP'|\cos{\gamma}) (a∣PP′∣cosα+b∣PP′∣cosβ+c∣PP′∣cosγ)
-
Δ f ∣ P P ′ ∣ \frac{\Delta{f}}{|PP'|} ∣PP′∣Δf= a cos α + b cos β + c cos γ a\cos{\alpha}+b\cos{\beta}+c\cos{\gamma} acosα+bcosβ+ccosγ;
-
令 t = ∣ P P ′ ∣ t=|PP'| t=∣PP′∣, lim t → 0 Δ f t \lim\limits_{t\to{0}}{\frac{\Delta{f}}{t}} t→0limtΔf= a cos α + b cos β + c cos γ a\cos{\alpha}+b\cos{\beta}+c\cos{\gamma} acosα+bcosβ+ccosγ,所以 ∂ f ∂ l \frac{\partial{f}}{\partial{l}} ∂l∂f= a cos α + b cos β + c cos γ a\cos{\alpha}+b\cos{\beta}+c\cos{\gamma} acosα+bcosβ+ccosγ
(1)
-
- 这表明,一次函数沿 l l l方向的方向导数不随点的位置而改变
- 但是沿不同方向的方向导数一般不同(方向余弦发生改变)
方向导数存在定理和计算公式
- 若函数
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)在点
P
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
P{(x_0,y_0,z_0})
P(x0,y0,z0)可微分,那么函数在该点沿任意方向
l
l
l的方向导数存在,且
∂
f
∂
l
∣
(
x
0
,
y
0
)
\frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0)}
∂l∂f∣(x0,y0)=
f
x
(
x
0
,
y
0
)
cos
α
+
f
y
(
x
0
,
y
0
)
cos
β
f_{x}(x_0,y_{0})\cos\alpha+f_{y}(x_0,y_0)\cos\beta
fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ
(0)- 其中 cos α , cos β \cos\alpha,\cos\beta cosα,cosβ是方向 l l l方向余弦;直线 l l l在坐标面 x O y xOy xOy内,所以若要按空间直线处理, cos γ \cos\gamma cosγ=0
- 类似的,若函数 u = f ( x , y , z ) u=f(x,y,z) u=f(x,y,z)在点 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) (x0,y0,z0)为微分,则函数在该点验证方向 e l \bold{e}_{l} el= ( cos α , cos β , cos γ ) (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) (cosα,cosβ,cosγ)的方向导数为 ∂ f ∂ l ∣ ( x 0 , y 0 , z 0 ) \frac{\partial{f}}{\partial{l}}|_{(x_0,y_0,z_0)} ∂l∂f∣(x0,y0,z0)= f x ( x 0 , y 0 ) cos α + f y ( x 0 , y 0 ) cos β + f z ( x 0 , y 0 , z 0 ) cos γ f_{x}(x_0,y_0)\cos\alpha+f_{y}(x_0,y_0)\cos\beta+f_{z}(x_0,y_0,z_0)\cos\gamma fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ+fz(x0,y0,z0)cosγ
证明
二元函数
- 由假设,
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)在点
P
0
(
x
0
,
y
0
)
P_0(x_0,y_0)
P0(x0,y0)可微分,所以
Δ
z
\Delta{z}
Δz=
f
(
x
0
+
Δ
x
,
y
0
+
Δ
y
)
f(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y})
f(x0+Δx,y0+Δy)-
f
(
x
0
,
y
0
)
f(x_0,y_0)
f(x0,y0)=
f
x
(
x
0
,
y
0
)
Δ
x
f_{x}(x_0,y_0)\Delta{x}
fx(x0,y0)Δx+
f
y
(
x
0
,
y
0
)
Δ
y
f_{y}(x_0,y_0)\Delta{y}
fy(x0,y0)Δy+
o
(
ρ
)
o(\rho)
o(ρ)
(1);其中 ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2,但点 ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) (x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y}) (x0+Δx,y0+Δy)在以 P 0 P_0 P0为始点的射线 l l l上时,自变量 x , y x,y x,y的增量之间存在确定关系,应有 Δ x = t cos α \Delta{x}=t\cos\alpha Δx=tcosα, Δ y = t cos β \Delta{y}=t\cos\beta Δy=tcosβ, ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 = t \rho=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2}=t ρ=(Δx)2+(Δy)2=t- 式(1)改写为 Δ z \Delta{z} Δz= f x ( x 0 , y 0 ) t cos α + f y ( x 0 , y 0 ) t cos α + o ( t ) f_{x}(x_0,y_0){t\cos\alpha}+f_{y}(x_0,y_0)t\cos\alpha+o(t) fx(x0,y0)tcosα+fy(x0,y0)tcosα+o(t)
- 所以
lim
t
→
0
+
Δ
z
t
\lim\limits_{t\to{0^{+}}}\frac{\Delta{z}}{t}
t→0+limtΔz=
lim
t
→
0
+
f
x
(
x
0
,
y
0
)
t
cos
α
+
f
y
(
x
0
,
y
0
)
t
cos
α
+
o
(
t
)
t
\lim\limits_{t\to{0^{+}}} \frac{f_{x}(x_0,y_0){t\cos\alpha}+f_{y}(x_0,y_0)t\cos\alpha+o(t)}{t}
t→0+limtfx(x0,y0)tcosα+fy(x0,y0)tcosα+o(t)=
f
x
(
x
0
,
y
0
)
cos
α
+
f
y
(
x
0
,
y
0
)
cos
β
f_{x}(x_0,y_0)\cos\alpha+f_{y}(x_0,y_0)\cos\beta
fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ
(2)’ - 定理和计算公式(0)得证
三元函数
-
设 P ′ ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y , z 0 + Δ z ) P'(x_0+\Delta{x},y_0+\Delta{y},z_0+\Delta{z}) P′(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)是 l l l上的点,则 l l l的方向余弦可以表示为:
- cos α = Δ x ∣ P P ′ ∣ \cos{\alpha}=\frac{\Delta{x}}{|PP'|} cosα=∣PP′∣Δx
- cos β = Δ y ∣ P P ′ ∣ \cos{\beta}=\frac{\Delta{y}}{|PP'|} cosβ=∣PP′∣Δy
- cos γ = Δ z ∣ P P ′ ∣ \cos{\gamma}=\frac{\Delta{z}}{|PP'|} cosγ=∣PP′∣Δz
- ∣ P P ′ ∣ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 + ( Δ z ) 2 |PP'|=\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2+(\Delta{z})^2} ∣PP′∣=(Δx)2+(Δy)2+(Δz)2
-
由假设的 f ( x , y , z ) f(x,y,z) f(x,y,z)可微,由可微的定义:
-
f ( P ′ ) − f ( P ) = f x ( P 0 ) Δ x + f y ( P 0 ) Δ y + f z ( P 0 ) Δ z + o ( ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 + ( Δ z ) 2 ) = f x ( P 0 ) Δ x + f y ( P 0 ) Δ y + f z ( P 0 ) Δ z + o ( ∣ P P ′ ∣ ) \begin{aligned} f(P')-f(P)=&f_x(P_0)\Delta{x}+f_y(P_0)\Delta{y}+f_z(P_0)\Delta{z} \\&+o(\sqrt{(\Delta{x})^2+(\Delta{y})^2+(\Delta{z})^2}) \\ =&f_x(P_0)\Delta{x}+f_y(P_0)\Delta{y}+f_z(P_0)\Delta{z}+o(|PP'|) \end{aligned} f(P′)−f(P)==fx(P0)Δx+fy(P0)Δy+fz(P0)Δz+o((Δx)2+(Δy)2+(Δz)2)fx(P0)Δx+fy(P0)Δy+fz(P0)Δz+o(∣PP′∣)
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对两边同时除以 ∣ P P ′ ∣ |PP'| ∣PP′∣
- f ( P ′ ) − f ( P ) ∣ P P ′ ∣ = f x ( P 0 ) Δ x + f y ( P 0 ) Δ y + f z ( P 0 ) Δ z + o ( ∣ P P ′ ∣ ) ∣ P P ′ ∣ = f x ( P 0 ) cos α + f y ( P 0 ) cos β + f z ( P 0 ) cos γ + o ( ∣ P P ′ ∣ ) ∣ P P ′ ∣ \frac{f(P')-f(P)}{|PP'|} =\frac{f_x(P_0)\Delta{x}+f_y(P_0)\Delta{y}+f_z(P_0)\Delta{z}+o(|PP'|)}{|PP'|} \\=f_x(P_0)\cos{\alpha}+f_y(P_0)\cos{\beta}+f_z(P_0)\cos{\gamma}+\frac{o(|PP'|)}{|PP'|} ∣PP′∣f(P′)−f(P)=∣PP′∣fx(P0)Δx+fy(P0)Δy+fz(P0)Δz+o(∣PP′∣)=fx(P0)cosα+fy(P0)cosβ+fz(P0)cosγ+∣PP′∣o(∣PP′∣)
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对两边取极限:
- ∂ f ∂ l = lim P ′ → P 0 f ( P ′ ) − f ( P ) ∣ P P ′ ∣ = lim P ′ → P 0 ( f x ( P 0 ) cos α + f y ( P 0 ) cos β + f z ( P 0 ) cos γ + o ( ∣ P P ′ ∣ ) ∣ P P ′ ∣ ) = f x ( P 0 ) cos α + f y ( P 0 ) cos β + f z ( P 0 ) cos γ \begin{aligned} \frac{\partial{f}}{\partial{l}} =&\lim_{P'\to{P_0}}{\frac{f(P')-f(P)}{|PP'|}} \\=&\lim_{P'\to{P_0}} \left(f_x(P_0)\cos{\alpha}+f_y(P_0)\cos{\beta}+f_z(P_0)\cos{\gamma}+\frac{o(|PP'|)}{|PP'|} \right) \\=&f_x(P_0)\cos{\alpha}+f_y(P_0)\cos{\beta}+f_z(P_0)\cos{\gamma} \end{aligned} ∂l∂f===P′→P0lim∣PP′∣f(P′)−f(P)P′→P0lim(fx(P0)cosα+fy(P0)cosβ+fz(P0)cosγ+∣PP′∣o(∣PP′∣))fx(P0)cosα+fy(P0)cosβ+fz(P0)cosγ
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