AM@多元函数极值存在定理@多元函数最值问题

文章目录

• • abstract
  • 多元函数极值存在定理
  • • 极值分布👺
    • 求解步骤
    • • 驻点部分
      • 偏导不存在的点
    • 例
  • 多元函数最值
  • • 一般方法和步骤
  • 应用
  • • 例
    • 例

abstract

• 多元函数极值和最值@多元函数极值存在定理@条件极值

多元函数极值存在定理

• 本定理给出极值存在充分条件
• 设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某个邻域内,且有一阶和二阶连续偏导数,又$f_x(x_0,y_0)=0$,$f_y(x_0,y_0)=0$(驻点存在),令
  • $f_{xx}(x_0,y_0)=A$
  • $f_{xy}(x_0,y_0)=B$
  • $f_{yy}(x_0,y_0)=C$
  • $\Delta$=$AC-B^2$
• 则$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处是否取得极值的条件和结论为:
  • $\Delta >0$时具有极值,
    • $A<0$时有极大值,
    • $A>0$时有极小值
  • $\Delta <0$时没有极值
  • $\Delta =0$时需要另外讨论才能确定

极值分布👺

• 这里指无条件极值
• 分为两部分讨论:所有驻点和不可导点(一阶偏导不存在的点)处都有可能是极值

求解步骤

驻点部分

• 建立并解方程组$f_x(x,y)=0$;$f_y(x,y)=0$;得到一切实数解,得一切驻点
  • 两个方程都是一元方程,可能有多个解,方程1解设为$x_1,\cdots ,x_m$;方程2的解设为$y_1,\cdots ,y_n$
  • 构造驻点坐标:$(x_i,y_j)$,$i=1,\cdots ,n;j=1,\cdots ,m$,共有$n\times m$个驻点
• 对每个驻点$(x_i,y_j)$,求处二阶偏导数$A,B,C$
• 确定$\Delta =AC-B^2$得符号,由定理2的结论判定$f(x_i,y_j)$是否为极值(若为极值,进一步根据$A$得符号判断该极值是极大值还是极小值)

偏导不存在的点

• 如果函数存在某些偏导数不存在的点,那么这些点也可能是极值点,需要逐个判断
• 如果函数处处可偏导,则不需要处理这部分

例

• 求函数$f(x,y)$=$x^2-y^3+3x^2+3y^2-9x$的极值
  • 构造并解方程组:$f_x(x,y)=3x^2+6x-9=0$;$f_y(x,y)$=$-3y^2+6y=0$
  • 分别解得$x_1=1$;$x_2=-3$;$y_1=0$;$y_2=2$
  • 构造驻点$(1,0)$,$(1,2)$;$(-3,0)$;$(-3,2)$
  • 计算函数的$A,B,C$:$A=f_{xx}(x,y)=6x+6$;$B=f_{xy}(x,y)=0$,$C=f_{yy}=-6y+6$;$\Delta =AC-B^2=36(x+1)(-y+1)$
  • 分别判断驻点的判别式
    • 在$(1,0)$处,$\Delta =72>0$,且$A=12>0$,所以函数在$(1,0)$处有极小值$f(1,0)=-5$
    • $(1,2)$处,$\Delta =-72<0$,所以$f(1,2)$不是极值
    • $(-3,0)$处,$\Delta =-72<0$,$f(-3,0)$不是极值
    • $(-3,2)$处,$\Delta =72<0$,$A<0$,所以函数在$(-3,2)$处有极大值$f(-3,2)=31$

多元函数最值

• 与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值(候选值).
• 如果$f(x,y)$在有界闭区域$D$上连续,那么$f(x,y)$在D上必定能取得最大值和最小值.
• 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部(驻点和不可导点),也可能在$D$的边界上.
  • 区域$D$的边界可能分为几段,也可能是无限延申(非有限封闭区域),对于限延申的边界段(记为$L_{\infty }$的采用极限的方式计算:例如$L_{\infty }$上的候选值为$\underset{x\to \infty ,y\to \infty }{\lim }f(x,y)$
• 我们假定,函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点,
  • 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值),那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).

一般方法和步骤

• 在上述假定下,求函数的最大值和最小值的一般方法是
  • 将函数$f(x,y)$在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.
  • 但这种做法,由于要求出$f(x,y)$在D的边界上的最大值和最小值,所以往往相当复杂.
• 在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数$f(x,y)$的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数$f(x,y)$在D上的最大值(最小值).
• 如果不能排除位于边界处可能存在最值,则需要判断边界处的最值

应用

例

• 制作体积为$2$的封闭长方体水箱,设长,宽分别为$x,y$,则高为$\frac{2}{xy}$,问$x,y$分别取多少时用料最省?
• 水箱的表面积为$A=2(xy+x\frac{2}{xy}+y\frac{2}{xy})$=$2(xy+\frac{2}{x}+\frac{2}{y})$;$(0<x,y)$
  • $A_x$=$2(y-\frac{2}{x^2})$;$A_y=2(x-\frac{2}{y^2})$=0
  • $x=\sqrt[3]{2}$;$y=\sqrt[3]{2}$
  • 函数有唯一驻点$(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2})$,并且在函数$A$开区域$D$内部取得,则该点一定是极值点
  • 又由题意可知,函数$A$在区域$D$内一定由最小值,所以当$x=\sqrt[3]{2}$;$y=\sqrt[3]{2}$时,函数$A$取得最小值$A(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2})$,此时高度为$\frac{2}{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2}}$=$\sqrt[3]{2}$

例

• 当$x⩾0$,$y⩾0$,时$x^2+y^2⩽k{e}^{x+y}$恒成立,求$k$的取值范围

  • 变形为$(x^2+y^2)e^{-(x+y)}⩽k$(1)恒成立,令$f(x,y)$为式(1)左边,即$k⩾\max f(x,y)$
  • 这是一个求二元函数的最大值问题

• 方法1:

  • 设$f(x,y)$的定义域区域为$D$

  • 求$D$内的可能最值点(驻点)

    • $f_x$=$e^{-(x+y)}(2x-x^2-y^2)$,令$f_x=0$(2)

    • $f_y$=$e^{-(x+y)}(2y-x^2-y^2)$,令$f_y=0$(3)

    • 联立(2,3),解得$x=y=0$或$x=y=1$

    • $f(0,0)$=$0$;$f(1,1)$=$2e^{-2}$

    • $D$内不存在不可导点

  • 求边界的可能最值点

    • 当$x=0$时,$g(y)=f(0,y)$=$y^2{e}^{-y}$.
      • $g^{\prime }(y)$=$2y{e}^{-y}+y^2{e}^{-y}(-1)$=$e^{-y}(2y-y^2)$=0,可求得$y\in [0,2]$区间内单调递增,而$[2,+\infty )$内单调递减,从而函数$g(y)$在$y=2$处取得最大值$4e^{-2}$
    • 当$y=0$时,$h(x)$=$f(x,0)$=$x^2{e}^{-x}$,类似的有$h(x)$最大值为$4e^{-2}$

  • 综上$f(x,y)$在边界$x=0$或$y=0$处取得最大值$4e^{-2}$

• 方法2:

  • 本问题还可以使用三角代换:令$x^2+y^2=r^2$,则可以令$x=r\cos \alpha$;$y=r\sin \alpha$,$(\alpha \in [0,\frac{\pi }{2}])$,$r>0$
  • 从而$f(x,y)$=$f(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )$=$r^2{e}^{-r(\cos \alpha +\sin \alpha )}$
    • 而$t=r(\cos \alpha +\sin \alpha )$=$\sqrt{2}r\sin (\alpha +\theta )$,$\tan \theta =1$,不妨取$\theta =\frac{\pi }{4}$,从而$t=\sqrt{2}r\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})$,
    • 而$\alpha +\frac{\pi }{4}\in [\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$,$\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})\in [\frac{\sqrt{2}}{2}.1]$所以$t\in [r,\sqrt{2}r]$
    • 而$e^{-t}$是关于$t$的减函数,从而$f\in [r^2{e}^{-\sqrt{2}r},r^2{e}^{-r}]$,$f⩽r^2{e}^{-r}$
  • 令$h(r)$=$r^2{e}^{-r}$.$h^{\prime }(r)$=$e^{-r}(2r-r^2)$,其中$e^{-r}>0$.从而$h^{\prime }(r)$取决于$2r-r^2$=$r(2-r)$,当$r\in [0,2]$时递增,而$r>2$时递减
  • 从而$h(r)$在$r=2$处取得最大值,即$h(2)$=$4e^{-r}$,也就是$f(x,y)$的最大值

• 综上,$k⩾4e^{-2}$