AM@多元函数积分@二重积分的定义和基本性质@二重积分在直角坐标和极坐标中的表示和转换

文章目录

• • abstract
  • • preface
  • 二重积分
  • • 二重积分抽象自实际问题
    • 二重积分的定义
    • 二重积分式中的相关概念
    • 积分区域的划分@二重积分在两种坐标系下的表示
    • • 直角坐标系中
      • 极坐标中
    • 积分和极限存在性
    • 使用二重积分描述实际问题
    • 二重积分的几何意义
    • 二重积分的性质

abstract

• 一元函数积分(定积分)可以推广到多元积分
• 本文讨论最简单的多元函数积分中的最简单重积分问题:二重积分的定义和性质
• 二重积分在直角坐标和极坐标中的表示和转换

preface

• 一元函数积分是某种确定形式的和的极限,这种极限的概念推广到定义在区间,曲线和曲面上的多元函数的情形,便得到以下几类积分概念
  • 重积分(例如二重积分,三重积分)
  • 曲线积分
  • 曲面积分
• 本文仅介绍二重积分的概念和基本性质,
  • 按照二重积分的定义计算二重积分是不方便的,对于少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的,但是对于一般的函数和区域来说,是不合适的
  • 具体的二重积分问题和计算方法另见它文,例如累次积分法

二重积分

二重积分抽象自实际问题

• 二重积分可以抽象自
  • 曲顶柱体的体积
  • 平面薄片的质量
    • 设有一平面薄片占有$xOy$面上的闭区域$D$,它在点$(x,y)$处的面密度为$\mu (x,y)$,这里$\mu (x,y)>0$,求薄片的质量$m$
    • 对于小闭区域而言,有近似:$\mathrm{d}m=\mu (x,y)\mathrm{d}\sigma$
• 两个问题的实际意义不同,但是所求量都归结为同一形式的和的极限
• 我们把这个形式的和的极限抽象为二重积分的定义

二重积分的定义

• 设$f(x,y)$是有界闭区域$D$上的有界函数,将闭区域$D$任意分成$n$个小闭区域

  • $\Delta {\sigma }_1,\cdots ,\Delta {\sigma }_n$

  • 其中$\Delta {\sigma }_i$表示第$i$个小闭区域,也表示它的面积

  • 在每个$\Delta {\sigma }_i$上任意取一点$({\xi }_i,{\eta }_i)$,作乘积$f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$,$(i=1,2,\cdots ,n)$

    ,再作$S={\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$(0)

  • 若当各个小闭区域的直径¹的最大值$\lambda \to 0$时,$S$的极限总是存在,且与闭区域$D$的具体分法和点$({\xi }_i,{\eta }_i)$的取法无关,那么称此极限为函数$f(x,y)$在闭区域$D$上的二重积分,记为$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$,即式(1):

    • $$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$$

二重积分式中的相关概念

• 式(1)中的左端
  • $D$称为积分区域
  • $f(x,y)\mathrm{d}\sigma$称为被积表达式
    • $f(x,y)$称为被积函数$f(x,y)$
    • $\mathrm{d}\sigma$称为面积元素,是积分区域$D$上划分的小区域的面积
    • $x,y$称为积分变量
• 式(1)的右端
  • ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$称为积分和

积分区域的划分@二重积分在两种坐标系下的表示

• 这里来讨论面积元素$\mathrm{d}\sigma$在不同坐标系下的形式
• 二重积分的定义中对闭区域$D$的划分是任意的

直角坐标系中

• 常用平行于坐标轴的直线网来划分$D$,则处理包含边界的一些小闭区域外²其余小闭区域都是矩形闭区域

• 设矩形闭区域$\Delta {\sigma }_i$的边长为$\Delta x_i$和$\Delta y_k$,则$\Delta {\sigma }_i$=$\Delta x_j\cdot \Delta y_k$

• 因此在直角坐标系中,有时也把面积元素$\mathrm{d}\sigma$记为$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$,称为直角坐标系中的面积元素

• 此时二重积分式记为$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$=$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

极坐标中

• 有些二重积分,积分区域$D$的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便,且被积函数用极坐标变量$\rho ,\theta$表达比较简单;这时可以考虑用极坐标来计算二重积分$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$
• 假定从极坐标的极点$O$出发且穿过闭区域$D$内部的射线与$D$的边界曲线相交不多余2点
• 利用极点为圆心的一族同心圆:$\rho ={\rho }_i$,${\rho }_i$为常数;以及从极点出发的一族射线$\theta ={\theta }_i$,${\theta }_i$为常数,把$D$分为$n$个小闭区域
• 处理包含边界点的一些小闭区域外,小比区域为扇环$\Delta {\sigma }_i$
  • 扇环斜边为$\Delta {\rho }_i$,对应的圆心角为$\Delta {\theta }_i$,面积仍然记为$\Delta {\sigma }_i$,则计算公式为
  • $\Delta {\sigma }_i$=$\frac{1}{2}({\rho }_i+\Delta {\rho }_i{)}^2\Delta {\theta }_i$-$\frac{1}{2}{\rho }_i^2\Delta {\theta }_i$=$\frac{1}{2}(2{\rho }_i+\Delta {\rho }_i)\Delta {\rho }_i\Delta {\theta }_i$(1)
    • 令${\overline{\rho }}_i$=$\frac{1}{2}({\rho }_i+({\rho }_i+\Delta {\rho }_i))$=$\frac{1}{2}(2{\rho }_i+\Delta {\rho }_i)$(2),表示$\Delta {\sigma }_i$上的的两条弧(射线${\theta }_i$方向上相邻两圆弧)的平均值
    • Note:在$\Delta {\sigma }_i$上表示为两斜边中点对应的圆心角和两圆弧同为$\Delta {\theta }_i$的弧段
  • 则$\Delta {\sigma }_i$=$\overline{{\rho }_i}\Delta {\rho }_i\Delta {\theta }_i$(3)
• 在$\Delta {\sigma }_i$内,取圆周$\rho$=$\overline{{\rho }_i}$上的一个点$({\overline{\rho }}_i,\overline{{\theta }_i})$,该点的直角坐标设$({\xi }_i,{\eta }_i)$,则由直角坐标和极坐标之间的关系有
  • ${\xi }_i$=${\overline{\rho }}_i\cos {\overline{\theta }}_i$ (4);
  • ${\eta }_i$=${\overline{\rho }}_i\sin {\overline{\theta }}_i$(5)
• 将(3,4,5)代入二重积分对应的积分和式
  • $\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$=$\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\sum }_{i=1}^{n}f({\overline{\rho }}_i\cos {\overline{\theta }}_i,{\overline{\rho }}_i\sin {\overline{\theta }}_i)\overline{{\rho }_i}\Delta {\rho }_i\Delta {\theta }_i$(6)
• $\overline{{\rho }_i}\to {\rho }_i({\lambda }_i\to 0)$,即$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$=$\underset{D}{\iint }f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$(7)
• 由因为直角坐标系中$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$=$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$,所以式(7)有时也写作$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$\underset{D}{\iint }f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$(8)
• 这个过程中
  • $\rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$式极坐标系中的面积元素
  • 公式(8)是二重积分从直角坐标变换为极坐标的变换公式
    • 此公式指明了变换内容为:
      • $x\to \rho \cos \theta$
      • $y\to \rho \sin \theta$
      • $\mathrm{d}x\mathrm{d}y\to \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$

积分和极限存在性

• 当$f(x,y)$在闭区域$D$上连续时,式(1)的右端极限必然存在,也就是说,函数$f(x,y)$在$D$上的二重积分必定存在
• 研究二重积分时,我们总假定函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续,所以$f(x,y)$在$D$上的二重积分总是存在的

使用二重积分描述实际问题

• 二重积分的定义可知
  • 曲定柱体的体积时函数$f(x,y)$在底$D$上的二重积分
    • $V=\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$
  • 平面薄片的质量是它的面密度$\mu (x,y)$在薄片所占闭区域$D$上的二重积分
    • $m=\underset{D}{\iint }\mu (x,y)\mathrm{d}\sigma$

二重积分的几何意义

• 一般地,若$f(x,y)⩾0$,被积函数$f(x,y)$可以解释为曲顶柱体的顶在点$(x,y)$处的竖坐标,所以二重积分的几何意义是柱体的体积
• 若$f(x,y)<0$,柱体就在$xOy$面的下方,二重积分的绝对值仍然等于柱体的体积(二重积分的值是负的)
• 若在区域$D$的若干部分区域为正,其他部分区域为负,则$f(x,y)$在$D$上的二重积分那等于平面$xOy$上方柱体体积减去下方的柱体体积所得之差

二重积分的性质

1. 设$\alpha ,\beta$为常数

   • $\underset{D}{\iint }[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\mathrm{d}\sigma$=$\alpha \underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$+$\beta \underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}\sigma$

2. 有限可加性

   • 若区域$D={\sum }_{i=1}^n{D}_i$,即区域$D$被有限条曲线划分为$D_1,\cdots ,D_n$有限个部分闭区域
   • $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$=${\sum }_{i=1}^n\underset{D_i}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$
     • 例如:$\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$=$\underset{D_1}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$+$\underset{D_2}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$

3. 在$D$上,$f(x,y)=1$,$\sigma$为$D$的面积,则

   • $\sigma =\underset{D}{\iint }1\mathrm{d}\sigma$=$\underset{D}{\iint }\mathrm{d}\sigma$
     • 即高为1的平定柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积
     • 这时二重积分求面积数值的一个特殊应用
   • $\underset{D}{\iint }k\mathrm{d}\sigma$=$k\underset{D}{\iint }\mathrm{d}\sigma$=$k\sigma$

4. 若在$D$上,$f(x,y)⩽g(x,y)$,则

   • $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ $⩽$ $\underset{D}{\iint }g(x,y)\mathrm{d}\sigma$

   • 推论:由于$-|f(x,y)|⩽f(x,y)⩽|f(x,y)|$,

     • $\underset{D}{\iint }-|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$=$-\underset{D}{\iint }|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$
     • $-\underset{D}{\iint }|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$ $⩽$ $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ $⩽$ $\underset{D}{\iint }|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$,由绝对值不等式性质
     • $|\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma |$ $⩽$ $\underset{D}{\iint }|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma$

5. 二重积分估计定理

   • 设$M,m$分别是$f(x,y)$在闭区域$D$上的最大值和最小值,$\sigma$是$D$的面积,则
     • $m\sigma ⩽\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ⩽M\sigma$
   • 上述不等式是对二重积分估值的不等式
   • 推导:因为$m⩽f(x,y)⩽M$,由性质4,:$\underset{D}{\iint }m\mathrm{d}\sigma$ $⩽$ $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ $⩽$ $\underset{D}{\iint }M\mathrm{d}\sigma$,再由性质3,得欲证不等式

6. 二重积分中值定理

   • 设函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续,$\sigma$是$D$的面积,则在$D$上至少有一点$(\xi ,\eta )$,使得
     • $\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$=$f(\xi ,\eta )\sigma$
   • 证明:
     • 显然$\sigma \ne 0$,把性质5中的不等式各除以$\sigma$,有$m⩽\frac{1}{\sigma }\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma ⩽M$
     • 即$\frac{1}{\sigma }\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$是介于$f(x,y)$的最大值$M$和最小值$m$之间的
     • 根据闭区域上连续函数的介值定理,在$D$上至少存在一点$(\xi ,\eta )\in D$,使得$\frac{1}{\sigma }\underset{D}{\iint }f(x,y)\mathrm{d}\sigma$=$f(\xi ,\eta )$
     • 两边乘以$\sigma$,即得欲证不等式
   • $f(\xi ,\eta )$可理解为曲定柱体区域$D$的的平均高度

---

1. 小区域直径:小区域中任意两点距离中的最大值 ↩︎

2. 求极限和时,这些小区域所对应的项的和的极限为0,因此这些小闭区域可以略去不计 ↩︎