二重积分一般计算步骤

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二重积分计算的一般步骤

分析积分区域草图

  • 绘制积分区域D的草图,并考虑多元函数奇偶性的角度化简计算
    • 讨论奇偶性函数的判断必然蕴含某个区间(区域)内函数是关于某个轴对称的前提条件
    • 先定义域区域对称,然后才有函数对称

积分区域对称性

  • 判断积分区域是否具有对称性

    • 如果积分区域不对称,那么纵然被积函数是再怎么对称也没用

  • 有时原始的积分区域不对称,但是可能可以通过划分区域,得到多个关于不同坐标轴分别对称的子区域

    • 这时候就可以再次尝试考虑被积分函数的奇偶性化简计算

可以简化计算的两类情况👺

利用对称性和奇偶性计算

  • 被积区域的对称性,且被积函数奇偶性时有如下结论

    • 函数具有奇偶性蕴含了定义域对称性,但是为了强调定义域的对称性,往往会单独提定义域或区域对称,然后奇函数和偶函数的映射规则上的特点

    • 若积分区域 D D D关于 y y y轴(对于平面坐标系 x O y xOy xOy而言,就是直线 x = 0 x=0 x=0)对称,且被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 x x x有奇偶性,则

      • ∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma D∬​f(x,y)dσ= 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d σ 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma 2D1​∬​f(x,y)dσ,

        • f ( − x , y ) f(-x,y) f(−x,y)= f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)

      • ∬ D f ( x , y ) d σ = 0 \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=0 D∬​f(x,y)dσ=0,

        • f ( − x , y ) f(-x,y) f(−x,y)= − f ( x , y ) -f(x,y) −f(x,y)

      • 其中 D 1 D_1 D1​为 D D D在 y y y轴右侧的部分

  • 若积分区域 D D D关于 x x x轴(即直线 y = 0 y=0 y=0)对称,且被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)关于 y y y有奇偶性,则

    • ∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma D∬​f(x,y)dσ= 2 ∬ D 1 f ( x , y ) d σ 2\iint\limits_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma 2D1​∬​f(x,y)dσ,
      • f ( x , − y ) f(x,-y) f(x,−y)= f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)
    • ∬ D f ( x , y ) d σ = 0 \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=0 D∬​f(x,y)dσ=0,
      • f ( x , − y ) f(x,-y) f(x,−y)= − f ( x , y ) -f(x,y) −f(x,y)
    • 其中 D 1 D_1 D1​为 D D D在 y y y轴右侧的部分

小结

  • 可见,若被积函数是奇函数,可以大为化简计算,但是被积函数为偶函数时,化简效果就不那么好,

    • 某些情形下,利用偶函数积分性质可以将原本要分段积分的式子合并成一个式子,再乘以2
    • 例如积分区间:双曲线 x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2​−b2y2​=1, ( x > 0 ) (x>0) (x>0)部分的关于 x x x轴对称的两点分别和坐标原点连线,构成的封闭区间积分借助区域对称性和被积函数是偶函数的条件,可以不用分段写

  • 综合组合应用以下积分性质,可以简化很多定积分的计算,甚至是对抽象函数作积分计算

分项积分@奇偶性计算
  • 有时候积分区域关于 x x x或 y y y轴对称,被积函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)= f 1 ( x , y ) + f 2 ( x , y ) + ⋯ + f n ( x , y ) f_1(x,y)+f_2(x,y)+\cdots+f_n(x,y) f1​(x,y)+f2​(x,y)+⋯+fn​(x,y)
  • 其中 f i ( x , y ) f_i(x,y) fi​(x,y)中的某些项是关于积分区域的奇函数或偶函数,即便是 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)非奇非偶,仍可以考虑利用积分性质分项积分,将能够利用奇偶性简化计算的部分提前计算
可加性积分@奇偶性计算
  • 原积分区域可能不关于任何坐标轴对称
  • 但若添加合适的辅助线,将积分区域划分为2部分,两部分分别关于 x , y x,y x,y坐标轴对称
  • 被积函数如果满足 x , y x,y x,y的奇偶性,利用定积分的可加性,也可以起到简化计算的效果
双轴对称

  • 对称性很强的时候(关于 x , y x,y x,y轴都对称),且被积函数是同时是 x , y x,y x,y的偶函数,可以将积分区域再收缩

  • 比如D: ∣ x ∣ + ∣ y ∣ = 1 |x|+|y|=1 ∣x∣+∣y∣=1;又设被积函数为 ∣ x ∣ |x| ∣x∣,则

    • ∬ D ∣ x ∣ d x \iint\limits_{D}|x|\mathrm {d}x D∬​∣x∣dx= 4 ∬ D 1 ∣ x ∣ d x 4\iint\limits_{D_1}|x|\mathrm{d}x 4D1​∬​∣x∣dx= 4 ∬ D 1 x d x 4\iint\limits_{D_1}x\mathrm{d}x 4D1​∬​xdx,

  • 此处, D 1 D_1 D1​为积分区域在第一象限的部分,为 x = 0 , y = 0 x=0,y=0 x=0,y=0, x + y = 1 x+y=1 x+y=1所围成的面积

    • ∬ D 1 x d σ = ∫ 0 1 d x ∫ 0 1 − x x d y \iint\limits_{D_1}x\mathrm d\sigma=\int_{0}^{1}\mathrm dx\int_{0}^{1-x}x\mathrm dy D1​∬​xdσ=∫01​dx∫01−x​xdy= ∫ 0 1 ( x − x 2 ) ) d x \int_{0}^{1}(x-x^2))\mathrm dx ∫01​(x−x2))dx= 1 6 \frac{1}{6} 61​

​

变量的对称性@轮换对称计算

  • 若积分区域关于直线 y = x y=x y=x对称

    • 则积分区域 D D D的不等式或等式中将 x , y x,y x,y对调后,原等式或不等式不变
    • 这类对称下的积分满足: ∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)\mathrm d\sigma D∬​f(x,y)dσ= ∬ D f ( y , x ) d σ \iint\limits_{D}f(y,x)\mathrm d\sigma D∬​f(y,x)dσ

  • 例如,以下积分区域都是关于 y = x y=x y=x对称的

    1. x 2 + y 2 ⩽ R 2 x^2+y^2\leqslant R^2 x2+y2⩽R2;半径为 R R R的圆域
    2. x , y ∈ [ 0 , 1 ] ; x,y\in[0,1]; x,y∈[0,1];第一象限内的边长为1的正方形

  • 这条性质某些时候很有用,可以求解具有(轮换)对称形式的被积函数

f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)与 f ( y , x ) f(y,x) f(y,x)空间图形的对称性

  • 例图(无限延申的部分用边长为常数 k k k的正方体(由 ( x , y , z = ± k ) (x,y,z=\pm{k}) (x,y,z=±k)六个平面构成)截取 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)的空间图形)

    • 1234
      在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述在这里插入图片描述
      z = e − x + e y z=e^{-x}+e^{y} z=e−x+ey; z = e − y + e x z=e^{-y}+e^{x} z=e−y+ex z = x + y 2 z=x+y^2 z=x+y2; z = y + x 2 z=y+x^2 z=y+x2 z = x − 1 + y 2 z=\sqrt{x-1}+y^2 z=x−1 ​+y2, ( x ⩾ 1 ) (x\geqslant{1}) (x⩾1); z = y − 1 + x 2 z=\sqrt{y-1}+x^2 z=y−1 ​+x2, ( y ⩾ 1 ) (y\geqslant{1}) (y⩾1) z = x + y z=x+y z=x+y; z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z=x2+y2

  • 分析

    • 从 z 1 = f ( x , y ) z_1=f(x,y) z1​=f(x,y)和 z 2 = f ( y , x ) z_2=f(y,x) z2​=f(y,x)上的点分析
      • 两函数的的映射规则都是 f f f,只是自变量字母不同而已
      • 当两函数都取自然定义域时,张成的空间曲面是完全相同(但是位置不同,例如一个关于 x = 0 x=0 x=0平面对称,则另一个就一定关于 y = 0 y=0 y=0面对称);自然定义域(区域)关于直线 y = x y=x y=x对称
      • 对于函数 z 1 z_1 z1​,若其自变量取值范围 x ∈ I 1 x\in{I_1} x∈I1​, y ∈ I 2 y\in{I_2} y∈I2​;则对于 z 2 z_2 z2​,其自变量 x ∈ I 2 x\in{I_2} x∈I2​, y ∈ I 1 y\in{I_1} y∈I1​
      • 当 z 1 z_1 z1​, z 2 z_2 z2​两函数施加约束定义域 D D D关于直线 y = x y=x y=x对称时,对应的曲顶柱体形状相同(位置不同),体积就相等
        • 若 P 1 ( a , b , c ) P_1(a,b,c) P1​(a,b,c)是 z 1 z_1 z1​上的任一点,则存在 P 1 ′ ( b , a , c ′ ) P_1'(b,a,c') P1′​(b,a,c′)在 z 1 z_1 z1​上,分别对应方程 f ( a , b ) = c f(a,b)=c f(a,b)=c(1); f ( b , a ) = c ′ f(b,a)=c' f(b,a)=c′(2)
        • 而 z 2 z_2 z2​= g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)= f ( y , x ) f(y,x) f(y,x),并由式(2)可知, g ( a , b ) g(a,b) g(a,b)= f ( b , a ) f(b,a) f(b,a)= c ′ c' c′,即 P 2 ( a , b , c ′ ) P_2(a,b,c') P2​(a,b,c′)存在于 z 2 z_2 z2​图形上
        • z 2 z_2 z2​对于 z 1 z_1 z1​亦然
        • 因此 z 1 , z 2 z_1,z_2 z1​,z2​的图形关于 y = x y=x y=x对称
      • 从而 ∬ D f ( x , y ) d σ \iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ∬D​f(x,y)dσ= ∬ D f ( y , x ) d σ \iint_{D}f(y,x)\mathrm{d}\sigma ∬D​f(y,x)dσ

选择合适的坐标系👺

  • 选择积分坐标系(😀根据积分区域的特点和被积函数的形式)
直角坐标系
  • 关键是将二重积分化为累次积分
    • 累次积分又有顺序之分
      • 往往根据积分区域和被积函数来确定
先 y y y后 x x x
  • D D D= {   ( x , y ) ∣ ϕ 1 ( x ) ⩽ y ⩽ ϕ 2 ( x ) ; a ⩽ x ⩽ b   } \set{(x,y)|\phi_1(x)\leqslant{y}\leqslant\phi_2(x);a\leqslant{x}\leqslant{b}} {(x,y)∣ϕ1​(x)⩽y⩽ϕ2​(x);a⩽x⩽b}
    • ∬ D f ( x , y ) d σ \iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma D∬​f(x,y)dσ= ∫ a b d x ∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 2 ( x ) f ( x , y ) d y \int_{a}^{b}dx\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2{(x)}}f(x,y)dy ∫ab​dx∫ϕ1​(x)ϕ2​(x)​f(x,y)dy
先 x x x后y

  • D D D= {   ( x , y ) ∣ ψ 1 ( y ) ⩽ x ⩽ ψ 2 ( y ) ; a ⩽ y ⩽ b   } \set{(x,y)|\psi_1(y)\leqslant{x}\leqslant\psi_2(y);a\leqslant{y}\leqslant{b}} {(x,y)∣ψ1​(y)⩽x⩽ψ2​(y);a⩽y⩽b}

    • ∬ D f ( x , y ) d σ = ∫ a b d y ∫ ϕ 1 ( y ) ϕ 2 ( y ) f ( x , y ) d x \iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\int_{a}^{b}dy\int_{\phi_1(y)}^{\phi_2{(y)}}f(x,y)dx D∬​f(x,y)dσ=∫ab​dy∫ϕ1​(y)ϕ2​(y)​f(x,y)dx
极坐标系

  • 如果积分区域和圆相关

    • 圆/扇环/扇形…

  • 被积函数是复合了下列函数的复合函数

    • x 2 + y 2 , x y , y x \sqrt{x^2+y^2},\frac{x}{y},\frac{y}{x} x2+y2 ​,yx​,xy​(1)

  • 因为极坐标中

    • x = r cos ⁡ θ x=r\cos\theta x=rcosθ
    • y = r sin ⁡ θ y=r\sin\theta y=rsinθ
    • 上述形式的函数可以消去 r r r或者 θ \theta θ,得到一个一元函数

  • 另一类情形是:

    • 被积函数是仅含 x 2 , y 2 x^2,y^2 x2,y2的情形,虽然不如(1)中列举的那么方便,但是其过渡到三角表达式后可以进行降次,
    • 重积分区间用极坐标表示更简单

确定积分区间

积分次序

  • 确定累次积分的次序,根据积分区域和被积函数综合考虑

积分限

  • 确定累次积分的积分限
  • 在累次积分的过程中,每次只对一个变量进行积分
  • 其余被视为常数的因子应当提取到外部,降低干扰和犯错误的几率

应用

例

  • I I I= ∬ D x [ 1 + y f ( x 2 + y 2 ) ] d σ \iint_{D}x[1+yf(x^2+y^2)]\mathrm{d}\sigma ∬D​x[1+yf(x2+y2)]dσ,其中 D D D由直线 x = 1 x=1 x=1; x = − 1 x=-1 x=−1; y = x y=x y=x围成的封闭曲线
  • 解
    • 可以连结原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)和 ( − 1 , 1 ) (-1,1) (−1,1)两点( y = − x y=-x y=−x的一部分),将 D D D划分为2部分, D 1 , D 2 D_1,D_2 D1​,D2​,它们分别关于 x , y x,y x,y轴对称
    • 将被积函数记为 G ( x , y ) G(x,y) G(x,y)= x [ 1 + y f ( x 2 + y 2 ) ] x[1+yf(x^2+y^2)] x[1+yf(x2+y2)]= x + x y f ( x 2 + y 2 ) x+xyf(x^2+y^2) x+xyf(x2+y2),
    • 利用可加性: I I I= I 1 I_1 I1​+ I 2 I_2 I2​
      • I 1 I_1 I1​= ∬ D 1 G d σ \iint_{D_1}G\mathrm{d}\sigma ∬D1​​Gdσ
        • 考察 G G G(及其分项)关于 y y y的奇偶性
        • 虽然 G G G不是 y y y的奇函数或偶函数,但可以通过分项,探索奇偶性
          • x y f ( x 2 + y 2 ) xyf(x^2+y^2) xyf(x2+y2)关于 y y y的奇函数,因此这部分积分为0
        • I 1 I_1 I1​= ∬ D 1 x d σ \iint_{D_1}x\mathrm{d}\sigma ∬D1​​xdσ+ ∬ D 1 x y f ( x 2 + y 2 ) \iint_{D_1}xyf(x^2+y^2) ∬D1​​xyf(x2+y2)= ∬ D 1 x d σ \iint_{D_1}x\mathrm{d}\sigma ∬D1​​xdσ= ∫ − 1 0 d x ∫ x − x x d y \int_{-1}^{0}\mathrm{d}x\int_{x}^{-x}x\mathrm{d}y ∫−10​dx∫x−x​xdy= − 2 3 -\frac{2}{3} −32​
      • I 2 I_2 I2​= ∬ D 2 G d σ \iint_{D_2}G\mathrm{d}\sigma ∬D2​​Gdσ
        • 考察 G G G及其分项关于 x x x的奇偶性
        • 函数 G G G关于 x x x是奇函数
        • I 2 I_2 I2​=0
    • 综上 I I I= − 2 3 -\frac{2}{3} −32​

例

  • I I I= ∬ D ( x − y ) 2 d σ \iint_{D}(x-y)^2\mathrm{d}\sigma ∬D​(x−y)2dσ, D D D= {   ( x < y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ 1   } \set{(x<y)|x^2+y^2\leqslant{1}} {(x<y)∣x2+y2⩽1}
    • = ∬ D x 2 − 2 x y + y 2 d σ \iint_{D}x^2-2xy+y^2\mathrm{d}\sigma ∬D​x2−2xy+y2dσ
    • = ∬ D x 2 + y 2 d σ \iint_{D}x^2+y^2\mathrm{d}\sigma ∬D​x2+y2dσ+ 0 0 0
    • = 4 ∬ D 1 x 2 + y 2 d σ 4\iint_{D_1}x^2+y^2\mathrm{d}\sigma 4∬D1​​x2+y2dσ
    • = 4 ( ∫ 0 π 2 d θ ∫ 0 1 ρ 2 ρ d ρ ) 4(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}\rho^2\rho\mathrm{d}\rho) 4(∫02π​​dθ∫01​ρ2ρdρ)
    • = π 2 \frac{\pi}{2} 2π​

例

  • I I I= ∬ D e x − e − y d x d y \iint_{D}e^{x}-e^{-y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬D​ex−e−ydxdy(1),其中 D D D= {   ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ R 2   } \set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{R^2}} {(x,y)∣x2+y2⩽R2}
  • 方法1:
    • I 1 I_1 I1​= ∬ D e x d x d y \iint_{D}e^{x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬D​exdxdy
    • I 2 I_2 I2​= ∬ D e − y d x d y \iint_{D}e^{-y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬D​e−ydxdy
    • 积分区域关于 y = x y=x y=x对称, I 2 I_2 I2​= ∬ D e − x d x d y \iint_{D}e^{-x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬D​e−xdxdy
    • I I I= ∬ D e x d x d y \iint_{D}e^{x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬D​exdxdy- ∬ D e − x d x d y \iint_{D}e^{-x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬D​e−xdxdy= ∬ D e x − e − x d x d y \iint_{D}e^{x}-e^{-x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬D​ex−e−xdxdy(1-1)
    • 而 G ( x ) G(x) G(x)= e − x − e − x e^{-x}-e^{-x} e−x−e−x是个奇函数,且积分区域关于 x = 0 x=0 x=0对称
    • 因此 I I I=0
  • 方法2:
    • 由于 D D D关于 y = x y=x y=x对称
    • I I I= ∬ D e y − e − x d x d y \iint_{D}e^{y}-e^{-x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬D​ey−e−xdxdy(2)
    • (1,2)两式相加, 2 I 2I 2I= ∬ D e x − e − x + e y − e − y d x d y \iint_{D}e^{x}-e^{-x}+e^{y}-e^{-y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬D​ex−e−x+ey−e−ydxdy= ∬ D e x − e − x d x d y \iint_{D}e^{x}-e^{-x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬D​ex−e−xdxdy+ ∬ D e y − e − y d x d y \iint_{D}e^{y}-e^{-y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬D​ey−e−ydxdy= 0 + 0 0+0 0+0= 0 0 0
      • 由奇偶性可以分别求得: ∬ D e x − e − x d x d y \iint_{D}e^{x}-e^{-x}\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬D​ex−e−xdxdy= 0 0 0; ∬ D e y − e − y d x d y = 0 \iint_{D}e^{y}-e^{-y}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0 ∬D​ey−e−ydxdy=0
    • 从而 I I I= 1 2 0 \frac{1}{2}0 21​0= 0 0 0
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