三重积分@柱坐标和球坐标方法

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  • 在直角坐标系上讨论过位置表示方法后,我们在再讨论柱坐标和球坐标
  • 后两种坐标系再某些情形下描述曲线或曲面的方程更加简单
  • 不同坐标系之间有坐标变换公式,使得同一曲线或曲面的方程可以快速转化为不同坐标系上的表示
  • 通常是以直角坐标系为基础和桥梁

三重积分的一般式

  • ∭ Ω f ( x , y , z ) d v \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}v Ω∭​f(x,y,z)dv(0)

柱坐标

  • 柱坐标是极坐标和直角坐标融合而成的
    • 和空间直角坐标系类似,需要三个分量来确定一个具体的点的为位置
    • 设柱坐标的原点和直角坐标原点重合,极径和直角坐标的 x x x轴正方向同向且重合
  • 设 M M M为空间内一点,其直角坐标为 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z),并设点 M M M在 x O y xOy xOy面上的投影 P P P的极坐标为 ( ρ , θ ) (\rho,\theta) (ρ,θ),则三个数 ρ , θ , z \rho,\theta,z ρ,θ,z称为点 M M M的柱面坐标
  • 这里规定三个数的取值范围分别为:
    • ρ ∈ [ 0 , + ∞ ) \rho\in[0,+\infin) ρ∈[0,+∞)
    • θ ∈ [ 0 , 2 π ] \theta\in[0,2\pi] θ∈[0,2π]
    • z ∈ ( − ∞ , + ∞ ) z\in(-\infin,+\infin) z∈(−∞,+∞)

坐标面

  • 设常数 k 1 , k 2 , k 3 k_1,k_2,k_3 k1​,k2​,k3​分别是满足上述三个区间的值,三组柱坐标系坐标面分别可以表示为

    • ρ = k 1 \rho=k_1 ρ=k1​,即以 z z z轴为轴的圆柱面

    • θ = k 2 \theta=k_2 θ=k2​,即过 z z z轴的半平面

    • z = k 3 z=k_3 z=k3​,即与 x O y xOy xOy面平行的平面,(这和空间直角坐标系中的含义一致)

柱坐标和空间直角坐标间的坐标关系

关系式组(1)

  • x = ρ cos ⁡ θ x=\rho\cos\theta x=ρcosθ
  • y = ρ sin ⁡ θ y=\rho\sin\theta y=ρsinθ
  • z = z z=z z=z

有时也将 ρ \rho ρ用字母 r r r代替,便于书写

三重积分的柱面坐标计算

  • 把三重积分(0)中的变量变换为柱坐标

    • 利用合适的三组坐标面: ρ = ρ i \rho=\rho_i ρ=ρi​, θ = θ i \theta=\theta_i θ=θi​, z = z i z=z_i z=zi​,把 Ω \Omega Ω划分为许多小闭区域
      • 除了含 Ω \Omega Ω的边界点的一些不规则小闭区域外,这些小比区域都是柱体(投影到 x O y xOy xOy上的图形为扇环的一部分)
      • 令 ρ , θ , z \rho,\theta,z ρ,θ,z各取微小的增量 d ρ \mathrm{d}\rho dρ, d θ \mathrm{d}\theta dθ, d z \mathrm{d}z dz所成的柱体的体积等于底面积乘以高,体积记为 d v \mathrm{d}v dv
      • 而高为 d z \mathrm{d}z dz,底面积为不计高阶无穷小时为 d σ = ρ d ρ d θ \mathrm{d}\sigma=\rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta dσ=ρdρdθ(这是极坐标系中的面积元素),则 d v \mathrm{d}v dv= d x d y d z \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{dz} dxdydz= ρ d ρ d θ d z \rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z ρdρdθdz(2),或这就是柱面坐标系中的体积元素
        • Note: d σ \mathrm{d}\sigma dσ= [ 1 2 d θ ( ρ + d ρ ) 2 − 1 2 d θ ρ 2 ] [\frac{1}{2}\mathrm{d}\theta{(\rho+\mathrm{d}\rho)^2}-\frac{1}{2}\mathrm{d}\theta{\rho^2}] [21​dθ(ρ+dρ)2−21​dθρ2] ≈ \approx ≈ ρ d ρ d θ \rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta ρdρdθ
    • 将式(1,2)代入(0),得 ∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{dz} Ω∭​f(x,y,z)dxdydz= ∭ Ω F ( ρ , θ , z ) ρ d ρ d θ d z \iiint\limits_{\Omega}F(\rho,\theta,z) \rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z Ω∭​F(ρ,θ,z)ρdρdθdz(3)
      • 其中 F ( ρ , θ , z ) F(\rho,\theta,z) F(ρ,θ,z)= f ( ρ cos ⁡ θ , ρ sin ⁡ θ , z ) f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z) f(ρcosθ,ρsinθ,z)(3-1)

  • 公式(3)就是把三重积分的变量从直角坐标变换为柱面坐标的公式

    • 公式(3)可以不记忆
    • 只需要记忆(1),(2),代入到直角坐标系下的三重积分式即可

  • 另一方面就是变量变换为柱面坐标后的三重积分计算:

    • 三重积分化为三次积分计算,而积分限,即三个变量 ρ , θ , z \rho,\theta,z ρ,θ,z的积分区间的是根据 ρ , θ , z \rho,\theta,z ρ,θ,z在积分区域 Ω \Omega Ω中的变化范围来确定的

例

  • 求 ∭ Ω z d x d y d z \iiint\limits_{\Omega}z \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{dz} Ω∭​zdxdydz,其中 Ω \Omega Ω是由曲面 z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z=x2+y2与平面 z = 4 z=4 z=4所围成的闭区域
    • 曲面1是旋转抛物面,关键在于其方程中含有 x 2 + y 2 x^2+y^2 x2+y2,这就像二重积分中极坐标的偏好,在三重积分中考虑柱坐标积分
    • 两个曲面的柱面坐标方程分别表示为 z = ρ 2 z=\rho^2 z=ρ2, z = 4 z=4 z=4
    • 为了确定积分限,将 Ω \Omega Ω投影到 x O y xOy xOy面上,得 ρ 2 = 4 \rho^2=4 ρ2=4, ( ρ > 0 ) (\rho>0) (ρ>0),解得 ρ = 2 \rho=2 ρ=2,这是个半径为 2 2 2原点为圆心的圆形闭区域
      • D x y D_{xy} Dxy​= {   ( ρ , θ ) ∣ ρ ∈ [ 0 , 2 ] , θ ∈ [ 0 , 2 π ]   } \set{(\rho,\theta)|\rho\in[0,2],\theta\in[0,2\pi]} {(ρ,θ)∣ρ∈[0,2],θ∈[0,2π]}
    • 采用三次积分(先一后二),在 D x y D_{xy} Dxy​内任意取一点 ( ρ , θ ) (\rho,\theta) (ρ,θ),过其做平行于 z z z轴的直线,此直线过曲面 z = x 2 + y 2 z=x^2+y^2 z=x2+y2(即 z = ρ z=\rho z=ρ)穿入 Ω \Omega Ω内,然后通过平面 z = 4 z=4 z=4穿出 Ω \Omega Ω外
    • 因此 Ω \Omega Ω= {   ( x , y , z ) ∣ z ∈ [ ρ 2 , 4 ] , ρ ∈ [ 0 , 2 ] , θ ∈ [ 0 , 2 π ]   } \set{(x,y,z)|z\in{[\rho^2,4]},\rho\in[0,2],\theta\in[0,2\pi]} {(x,y,z)∣z∈[ρ2,4],ρ∈[0,2],θ∈[0,2π]}
    • 据此: ∭ Ω z d x d y d z \iiint\limits_{\Omega}z \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{dz} Ω∭​zdxdydz= ∭ Ω z ρ d ρ d θ d z \iiint\limits_{\Omega}z \rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z Ω∭​zρdρdθdz= ∬ D x y z ρ d ρ d θ ∫ ρ 2 4 d z \iint\limits_{D_{xy}}z\rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta \int_{\rho^{2}}^{4}\mathrm{d}z Dxy​∬​zρdρdθ∫ρ24​dz= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 ρ d ρ ∫ ρ 2 4 z d z \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{2}\rho\mathrm{d}\rho\int_{\rho^2}^{4}z\mathrm{d}z ∫02π​dθ∫02​ρdρ∫ρ24​zdz
      • = 1 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 ρ ( 16 − ρ 4 ) d ρ \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^{2}\rho(16-\rho^4)\mathrm{d}\rho 21​∫02π​dθ∫02​ρ(16−ρ4)dρ= 64 3 π \frac{64}{3}\pi 364​π

球面坐标

  • 和柱面坐标类似,可以基于空间直角坐标系来建立球面坐标,可以立即为极坐标系在三维空间的推广
    • 向径的活动范围不再是平面,而是这个空间,确定一个向径需要知道它与直角坐标系的 z z z轴的夹角 ϕ \phi ϕ,以及向径在 x O y xOy xOy面上的投影与 x x x轴的夹角 θ \theta θ才能唯一确定
    • 而要在给定的向径上确定一个点 M M M,还需要知道 M M M和原点的空间直线段距离 r r r
  • 综上,设 M ( x , y , z ) M(x,y,z) M(x,y,z)为空间内一点, M M M点可以用三个有序数 r , ϕ , θ r,\phi,\theta r,ϕ,θ来确定,
    • 其中 r r r为原点 O O O与 M M M间的距离,
    • ϕ \phi ϕ为有向线段 O M → \overrightarrow{OM} OM 与 z z z轴的夹角,
    • θ \theta θ为从正轴自 x x x轴按逆时针旋转到有向线段 O P → \overrightarrow{OP} OP 的角,而 P P P为 M M M在 x O y xOy xOy面上的投影
  • 这三个数 r , ϕ , θ r,\phi,\theta r,ϕ,θ称为点 M M M的球面坐标,三个数的变化范围约定为
    • r ∈ [ 0 , + ∞ ) r\in[0,+\infin) r∈[0,+∞)
    • ϕ ∈ [ 0 , π ] \phi\in[0,\pi] ϕ∈[0,π]
    • θ ∈ [ 0 , 2 π ] \theta\in[0,2\pi] θ∈[0,2π]

坐标面

  • 三组坐标面可以分别表示为
    • r = r i r=r_i r=ri​,即以原点为心的球面
    • ϕ = ϕ i \phi=\phi_i ϕ=ϕi​,即以原点为顶点, z z z轴为轴的圆锥面
    • θ = θ i \theta=\theta_i θ=θi​,即过 z z z轴的半平面

坐标转换公式

  • 设点 M M M在 x O y xOy xOy面上的投影为 P P P,点 P P P在 x x x轴上的投影为 A A A,则 O A = x OA=x OA=x, P M = z PM=z PM=z
    • O P = r sin ⁡ ϕ OP=r\sin\phi OP=rsinϕ;
      • O A = x = O P cos ⁡ θ = r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ OA=x=OP\cos{\theta}=r\sin\phi\cos\theta OA=x=OPcosθ=rsinϕcosθ;
      • A P = y = O P sin ⁡ θ = r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ AP=y=OP\sin{\theta}=r\sin\phi\sin\theta AP=y=OPsinθ=rsinϕsinθ
    • M P = z = r cos ⁡ ϕ MP=z=r\cos\phi MP=z=rcosϕ
  • 综上,的公式组(1)
    • x = r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ x=r\sin\phi\cos\theta x=rsinϕcosθ
    • y = r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ y=r\sin\phi\sin\theta y=rsinϕsinθ
    • z = r cos ⁡ ϕ z=r\cos\phi z=rcosϕ

三重积分的球面坐标计算

  • 为了把三重积分的变量从直角坐标百年换为球面坐标,用球面坐标的三组合适的坐标面 r = r i r=r_i r=ri​, ϕ = ϕ i \phi=\phi_i ϕ=ϕi​, θ = θ i \theta=\theta_i θ=θi​把积分区域 Ω \Omega Ω分成许多小的闭区域

  • 考虑由 r , ϕ , θ r,\phi,\theta r,ϕ,θ各取得微小增量 d r , d ϕ , d θ \mathrm{d}r,\mathrm{d}\phi,\mathrm{d}\theta dr,dϕ,dθ所称的六面体的体积 d v \mathrm{d}v dv

  • 不计高阶无穷小,可以把这个六面体近似看作是长方体,根据圆弧长公式 l = α r l=\alpha{r} l=αr其

    • 经线方向的长为 L = r d ϕ L=r\mathrm{d}\phi L=rdϕ,
    • 纬线方向的宽为 W = r sin ⁡ ϕ d θ W=r\sin\phi\mathrm{d}\theta W=rsinϕdθ,
    • 向径方向的高为 H = d r H=\mathrm{d}r H=dr,

  • 于是 d v \mathrm{d}v dv= L W H LWH LWH= r 2 sin ⁡ ϕ ⋅ d r d ϕ d θ r^2\sin\phi \cdot \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta r2sinϕ⋅drdϕdθ(2),这就是球面坐标系中的体积元素

  • 将公式(1,2)代入三重积分式: ∭ Ω f ( x , y , z ) d x d y d z \iiint\limits_{\Omega}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{dz} Ω∭​f(x,y,z)dxdydz= ∭ Ω F ( r , ϕ , θ ) r 2 sin ⁡ ϕ d r d ϕ d θ \iiint\limits_{\Omega}F(r,\phi,\theta)r^2\sin\phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d\theta} Ω∭​F(r,ϕ,θ)r2sinϕdrdϕdθ(3)

    • 其中 F ( r , ϕ , θ ) F(r,\phi,\theta) F(r,ϕ,θ)= f ( r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ , r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ , r cos ⁡ ϕ ) f(r\sin\phi\cos\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\phi) f(rsinϕcosθ,rsinϕsinθ,rcosϕ)(3-1)

  • 式(3-1)就是把三重积分的变量从直角坐标变换为球坐标的公式

    • 公式(3)可以不记忆
    • 只需要记忆(1),(2),代入到直角坐标系下的三重积分式即可

  • 要计算变量变换为球面坐标后的三重积分,可以它化为对 r , ϕ , θ r,\phi,\theta r,ϕ,θ的三次积分

包含原点的空间闭区域

  • 此处介绍的类型是适合用球面坐标计算的最简单类型, θ , ϕ \theta,\phi θ,ϕ的积分区间都是确定的,分别为 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π], [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π],并且 r ∈ [ 0 , r ( ϕ , θ ) ] r\in[0,r(\phi,\theta)] r∈[0,r(ϕ,θ)]
  • 特别的,若积分区域 Ω \Omega Ω的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面,其球面坐标方程为 r = r ( ϕ , θ ) r=r(\phi,\theta) r=r(ϕ,θ),则公式(3)化为三次积分,作 I I I= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π d ϕ ∫ 0 r ( ϕ , θ ) F ( r , ϕ , θ ) r 2 sin ⁡ ϕ d r d ϕ d θ \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\phi\int_{0}^{r(\phi,\theta)} F(r,\phi,\theta)r^2\sin\phi \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d\theta} ∫02π​dθ∫0π​dϕ∫0r(ϕ,θ)​F(r,ϕ,θ)r2sinϕdrdϕdθ(4)
  • 当积分区域 Ω \Omega Ω为求面 r = a r=a r=a所围成时,则 I I I= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π d ϕ ∫ 0 a [ F ( r , ϕ , θ ) r 2 sin ⁡ ϕ ] d r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\phi\int_{0}^{a} [F(r,\phi,\theta)r^2\sin\phi] \mathrm{d}r ∫02π​dθ∫0π​dϕ∫0a​[F(r,ϕ,θ)r2sinϕ]dr(5)

体积计算

  • 特别的,当 F ( r , ϕ , θ ) = 1 F(r,\phi,\theta)=1 F(r,ϕ,θ)=1(6)时,式(4)为球体的体积公式: V V V= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π d ϕ ∫ 0 r ( ϕ , θ ) ( 1 r 2 sin ⁡ ϕ ) d r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\phi\int_{0}^{r(\phi,\theta)} (1r^2\sin\phi) \mathrm{d}r ∫02π​dθ∫0π​dϕ∫0r(ϕ,θ)​(1r2sinϕ)dr= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π sin ⁡ ϕ d ϕ ∫ 0 r ( ϕ , θ ) 1 r 2 d r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\pi}\sin\phi\mathrm{d}\phi\int_{0}^{r(\phi,\theta)} 1r^2\mathrm{d}{r} ∫02π​dθ∫0π​sinϕdϕ∫0r(ϕ,θ)​1r2dr= 2 π ⋅ 2 ⋅ a 3 3 2\pi\cdot{2}\cdot{\frac{a^3}{3}} 2π⋅2⋅3a3​= 4 3 π a 3 \frac{4}{3}\pi{a^3} 34​πa3

  • 这和二重积分 ∬ D d x d y \iint\limits_{D}\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬​dxdy在数值上等于积分区域的面积是类似的

  • 当积分区域 Ω \Omega Ω不是球面但是和球面相关时,将(6)代入(5)也表示球面坐标下计算 Ω \Omega Ω的体积

例

  • 球半径为 a a a的球面与半顶角为 α \alpha α的内接锥面所围成的立体 Ω \Omega Ω的体积 V V V
    • 这个问题容易用球面坐标建立两个曲面和它们所围成的闭区域 Ω \Omega Ω
  • 设球面通过原点 O O O,球心在 z z z轴上,又内接锥面的顶点在原点 O O O,其轴与 z z z轴重合,则求面方程为 ϕ \phi ϕ= α \alpha α
  • 立体 Ω \Omega Ω所占有的空间闭区域 Ω \Omega Ω可表示为 r ∈ [ 0 , 2 a cos ⁡ ϕ ] r\in[0,2a\cos\phi] r∈[0,2acosϕ], ϕ ∈ [ 0 , α ] \phi\in[0,\alpha] ϕ∈[0,α], θ ∈ [ 0 , 2 π ] \theta\in{[0,2\pi]} θ∈[0,2π],所以 V V V= ∭ Ω r 2 sin ⁡ ϕ d r d ϕ θ \iiint\limits_{\Omega}r^2\sin\phi\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm\theta Ω∭​r2sinϕdrdϕθ= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 α d ϕ ∫ 0 2 a cos ⁡ ϕ ( r 2 sin ⁡ ϕ ) d r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\alpha}\mathrm{d}\phi\int_{0}^{2a\cos\phi} (r^2\sin\phi) \mathrm{d}r ∫02π​dθ∫0α​dϕ∫02acosϕ​(r2sinϕ)dr= 4 π a 3 3 ( 1 − cos ⁡ 4 α ) \frac{4\pi{a^3}}{3}(1-\cos^{4}\alpha) 34πa3​(1−cos4α)
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