曲线积分@第二类曲线积分的应用@两类曲线积分的联系
abstract
- 曲线积分@第二类曲线积分的应用@两类曲线积分的联系
第二类曲线积分的应用
公式
-
设有向曲线 L L L由 x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t); y = ψ ( t ) y=\psi(t) y=ψ(t)描述
-
曲线积分 ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
(0)
存在,且有公式 ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy= ∫ α β { P [ ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ] ϕ ′ ( t ) + Q [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) } d t \int_{\alpha}^{\beta}\{P[(\phi(t),\psi(t))]\phi'(t)+Q[\phi(t),\psi(t)]\psi'(t)\}\mathrm{d}t ∫αβ{P[(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt(1)
-
特别的
- 当
Q
(
x
,
y
)
=
0
Q(x,y)=0
Q(x,y)=0时,
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
\int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x
∫LP(x,y)dx=
∫
α
β
P
[
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ϕ
′
(
t
)
d
t
\int_{\alpha}^{\beta}P[\phi(t),\psi(t)]\phi'(t)\mathrm{d}t
∫αβP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′(t)dt
(1-1)
- 当
P
(
x
,
y
)
=
0
P(x,y)=0
P(x,y)=0时:
∫
L
Q
(
x
,
y
)
d
y
\int_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y
∫LQ(x,y)dy=
∫
α
β
Q
[
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ψ
′
(
t
)
d
t
\int_{\alpha}^{\beta}Q[\phi(t),\psi(t)]\psi'(t)\mathrm{d}t
∫αβQ[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)dt
(1-2)
- 当
Q
(
x
,
y
)
=
0
Q(x,y)=0
Q(x,y)=0时,
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
\int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x
∫LP(x,y)dx=
∫
α
β
P
[
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ϕ
′
(
t
)
d
t
\int_{\alpha}^{\beta}P[\phi(t),\psi(t)]\phi'(t)\mathrm{d}t
∫αβP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′(t)dt
-
有时曲线方程形如 y = ψ ( x ) y=\psi(x) y=ψ(x),或 x = ϕ ( y ) x=\phi(y) x=ϕ(y),则参数 t t t分别可以取 x x x或 y y y;这时式(0)可以分别化为对 x x x或 y y y的定积分
-
计算曲线积分 ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy时,只需要将 x , y , d x , d y x,y,\mathrm{d}x,\mathrm{d}y x,y,dx,dy依次替换为 ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ϕ ′ ( t ) d t , ψ ′ ( t ) d t \phi(t),\psi(t),\phi'(t)\mathrm{d}t,\psi'(t)\mathrm{d}t ϕ(t),ψ(t),ϕ′(t)dt,ψ′(t)dt;这些替换可以独立进行,不分先后,全部替换即可
- 事实上: d x \mathrm{d}x dx= d ϕ ( t ) \mathrm{d}\phi(t) dϕ(t)= ϕ ′ ( t ) d t \phi'(t)\mathrm{d}t ϕ′(t)dt; d y = d ψ ( t ) \mathrm{d}y=\mathrm{d}\psi(t) dy=dψ(t)= ϕ ′ ( t ) d t \phi'(t)\mathrm{d}t ϕ′(t)dt
例
- 令 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)= x y xy xy.求 S = ∫ L f ( x , y ) d x S=\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}x S=∫Lf(x,y)dx,其中 L L L为抛物线 y 2 = x y^2=x y2=x上从 A ( 1 , − 1 ) A(1,-1) A(1,−1)到 B ( 1 , 1 ) B(1,1) B(1,1)的一段弧
方法1
- 本例适合化为对 y y y的定积分计算比较方便, x = y 2 ; y = y x=y^2;y=y x=y2;y=y,且 A → B A\to{B} A→B对应 y : − 1 → 1 y:-1\to{1} y:−1→1
- 所以 S S S= ∫ − 1 1 y 2 y ( 2 y ) d y \int_{-1}^{1}y^2y(2y)\mathrm{d}y ∫−11y2y(2y)dy= 2 ∫ − 1 2 y 4 d y 2\int_{-1}^{2}y^4\mathrm{d}y 2∫−12y4dy= 4 5 \frac{4}{5} 54
方法2
- 将所给积分化为对 x x x的定积分也可以做
- 但由于曲线弧方程 y 2 = x y^2=x y2=x对应于 y = ± x y=\pm\sqrt{x} y=±x不是单值函数(不是一般函数(一个自变量取值对应多个函数值,而不是指单调函数,不单调的函数也可以是单值函数)
- 因此需要将
L
L
L分段积分(各个分段内描述
L
L
L的函数是单值函数)
- 第一象限中弧段记为 L 1 L_1 L1: y = x y=\sqrt{x} y=x, x x x变化过程: 0 → 1 0\to{1} 0→1;
- 第二象限中弧段记为 L 2 L_2 L2: y = − x y=-\sqrt{x} y=−x, x x x变化过程: 1 → 0 1\to{0} 1→0
- S S S= ∫ L 1 x y d x \int_{L_1}xy\mathrm{d}x ∫L1xydx+ ∫ L 2 x y d x \int_{L_2}xy\mathrm{d}x ∫L2xydx= ∫ 0 1 x x d x \int_{0}^{1}x\sqrt{x}\mathrm{d}x ∫01xxdx+ ∫ 1 0 x ( − x ) d x \int_{1}^{0}x(-\sqrt{x})\mathrm{d}x ∫10x(−x)dx= 2 ∫ 0 1 x 3 2 d x 2\int_{0}^{1}x^{\frac{3}{2}}\mathrm{d}x 2∫01x23dx= 4 5 \frac{4}{5} 54
小结:显然,方法1对于本例比较方便
例
- 计算
S
=
∫
L
y
2
d
x
S=\int_{L}y^2\mathrm{d}x
S=∫Ly2dx,分别求
L
L
L为以下两种情形的有向弧时的积分
- 半圆:半径为 a a a,圆心为 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0),按逆时针方向绕行的上半圆周
- 直线段:从 A ( a , 0 ) A(a,0) A(a,0)沿 x x x轴到点 B ( − a , 0 ) B(-a,0) B(−a,0)的直线段
- 解
- (1)此时
L
L
L的参数方程为
x
=
a
cos
θ
x=a\cos\theta
x=acosθ,
y
=
a
sin
θ
y=a\sin\theta
y=asinθ
- 有向曲线弧的起点终点分别为 ( a , 0 ) (a,0) (a,0), ( − a , 0 ) (-a,0) (−a,0),
- 本例问题要求对
x
x
x的积分,因此其实只要关注起点和终点的横坐标对应的参数:
- 令 a = a cos θ 1 a=a\cos\theta_1 a=acosθ1; − a = a cos θ 2 -a=a\cos\theta_2 −a=acosθ2
- 分别解得积分下限和上限为 θ 1 = 0 \theta_{1}=0 θ1=0; θ 2 = π \theta_{2}=\pi θ2=π
- 所以 S S S= ∫ 0 π a 2 sin 2 θ ( − a sin θ ) d x \int_{0}^{\pi}a^2\sin^2\theta{(-a\sin\theta)}\mathrm{d}x ∫0πa2sin2θ(−asinθ)dx= a 3 ∫ 0 π sin 2 θ d ( cos θ ) a^3\int_{0}^{\pi}\sin^2\theta\mathrm{d}(\cos\theta) a3∫0πsin2θd(cosθ)= a 3 ∫ 0 π ( 1 − cos 2 θ ) d ( cos θ ) a^3\int_{0}^{\pi}(1-\cos^2\theta)\mathrm{d}(\cos\theta) a3∫0π(1−cos2θ)d(cosθ)= − 4 3 a 2 -\frac{4}{3}a^2 −34a2
- (2)此时
L
L
L的方程为
y
=
0
y=0
y=0,即
x
=
x
;
y
=
0
x=x;y=0
x=x;y=0,可将
x
x
x视为参数,而
y
=
0
⋅
x
y=0\cdot{x}
y=0⋅x
- 而 L L L的起点和终点的 x x x坐标分别为 a , − a a,-a a,−a,积分限从 a → − a a\to{-a} a→−a
- 所以 S S S= ∫ a − a 0 d x \int_{a}^{-a}0\mathrm{d}x ∫a−a0dx= 0 0 0
- (1)此时
L
L
L的参数方程为
x
=
a
cos
θ
x=a\cos\theta
x=acosθ,
y
=
a
sin
θ
y=a\sin\theta
y=asinθ
- 小结:两个曲线积分的被积函数相同,起点和终点也相同,但若路径不同,得出的积分值仍可能不同
例
-
求 ∫ L 2 x y d x + x 2 d y \int_{L}2xy\mathrm{d}x+x^2\mathrm{d}y ∫L2xydx+x2dy,其中 L L L分别为以下集中情形时的曲线积分值
- L 1 : L_1: L1:抛物线 y = x 2 y=x^2 y=x2上,从 O ( 0 , 0 ) O(0,0) O(0,0)到 B ( 1 , 1 ) B(1,1) B(1,1)的一段有向弧
- L 2 L_2 L2:抛物线 x = y 2 x=y^2 x=y2上,从 O ( 0 , 0 ) O(0,0) O(0,0)到 B ( 1 , 1 ) B(1,1) B(1,1)的一段有向弧
- L 3 L_3 L3:有向折线 O A B OAB OAB,其中 O , A , B O,A,B O,A,B分别为 ( 0 , 0 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) (0,0),(1,0),(1,1) (0,0),(1,0),(1,1)
-
解
-
(1):化为对 x x x的定积分: L : y = x 2 L:y=x^2 L:y=x2. x : 0 → 1 x:0\to{1} x:0→1,所以 S S S= ∫ 0 1 ( 2 x 3 + 2 x 3 ) d x \int_{0}^{1}(2x^3+2x^3)\mathrm{d}x ∫01(2x3+2x3)dx= 4 ∫ 0 1 x 3 d x 4\int_{0}^{1}x^3\mathrm{d}x 4∫01x3dx=1
-
(2):化为对 y y y的定积分: L : x = y 2 L:x=y^2 L:x=y2, y : 0 → 1 y:0\to{1} y:0→1,所以 S S S= ∫ 0 1 [ 2 y 2 y 2 y + y 4 ] d y \int_{0}^{1}[2y^2y2y+y^{4}]\mathrm{d}y ∫01[2y2y2y+y4]dy= 5 ∫ 0 1 y 4 d y 5\int_{0}^{1}y^4\mathrm{d}y 5∫01y4dy=1
-
(3):本情形显然要分段处理
- 在 O A OA OA上,积分弧段方程为 y = 0 y=0 y=0, x : 0 → 1 x:0\to{1} x:0→1,化为对 x x x定积分:所以 S 1 S_1 S1= ∫ 0 1 ( 0 + 0 ) d x \int_{0}^{1}(0+0)\mathrm{d}x ∫01(0+0)dx= 0 0 0
- 在 A B AB AB上,积分弧段方程为 x = 1 x=1 x=1, y : 0 → 1 y:0\to{1} y:0→1,化为对 y y y的定积分: S 2 S_2 S2= ∫ 0 1 ( 2 y ⋅ 0 + 1 ) d y \int_{0}^{1}(2y\cdot{0}+1)\mathrm{d}y ∫01(2y⋅0+1)dy= 1 1 1
- 从而 S S S= S 1 + S 2 S_1+S_2 S1+S2=1
-
例
- 计算 S = ∫ Γ x 3 d x + 3 z y 2 d y − x 2 y d z S=\int_{\Gamma}x^3\mathrm{d}x+3zy^2\mathrm{d}y-x^2y\mathrm{d}z S=∫Γx3dx+3zy2dy−x2ydz,其中 Γ \Gamma Γ是空间有向弧,从 A ( 3 , 2 , 1 ) → B ( 0 , 0 , 0 ) A(3,2,1)\to{B(0,0,0)} A(3,2,1)→B(0,0,0)的有向直线段
- 解
-
L
L
L是空间直线,利用截距式方程公式得方程
x
3
\frac{x}{3}
3x=
y
2
\frac{y}{2}
2y=
z
1
\frac{z}{1}
1z,该形式容易化为参数式方程:
- x = 3 t x=3t x=3t; y = 2 t y=2t y=2t; z = t z=t z=t
- 参数变化为 t : 1 → 0 t:1\to{0} t:1→0
- S S S= ∫ 1 0 [ ( 3 t ) 3 3 + 3 t ( 2 t ) 2 2 − ( 3 t ) 2 2 t ] d t \int_{1}^{0}[(3t)^33+3t(2t)^22-(3t)^22t]\mathrm{d}t ∫10[(3t)33+3t(2t)22−(3t)22t]dt= 87 ∫ 1 0 t 3 d t 87\int_{1}^{0}t^{3}\mathrm{d}t 87∫10t3dt= − 87 4 -\frac{87}{4} −487
-
L
L
L是空间直线,利用截距式方程公式得方程
x
3
\frac{x}{3}
3x=
y
2
\frac{y}{2}
2y=
z
1
\frac{z}{1}
1z,该形式容易化为参数式方程:
例
- 设质点
M
(
x
,
y
)
M(x,y)
M(x,y)处受到的力
F
\bold{F}
F的作用,
∣
F
(
x
,
y
)
∣
|\bold{F}(x,y)|
∣F(x,y)∣=
k
∣
O
M
∣
k|OM|
k∣OM∣,
k
k
k为某个常数(
k
>
0
k>0
k>0),且
F
\bold{F}
F方向恒指向原点
- 若质点由 A ( a , 0 ) A(a,0) A(a,0)沿 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2+b2y2=1按逆时针方向移动 B ( 0 , b ) B(0,b) B(0,b),求 F \bold{F} F所作的功
- 解:
-
m
=
O
M
→
\bold{m}=\overrightarrow{OM}
m=OM=
x
i
+
y
j
x\bold{i}+y\bold{j}
xi+yj
(1)
; ∣ m ∣ |\bold{m}| ∣m∣= x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2(2)
- 由假设,
∣
F
∣
|\bold{F}|
∣F∣=
k
∣
m
∣
k|\bold{m}|
k∣m∣
(3-1)
, ( k > 0 ) (k>0) (k>0), F \bold{F} F的方向指向原点,所以和向量 m \bold{m} m的方向相反,可知 F \bold{F} F是 m \bold{m} m的某个负倍数,由(3-1)和向量知识,可知这个倍数为 − k -k −k - 则:
F
\bold{F}
F=
−
k
m
-k\bold{m}
−km=
−
k
(
x
i
+
y
j
)
-k(x\bold{i}+y\bold{j})
−k(xi+yj)=
−
k
x
i
−
k
y
j
-kx\bold{i}-ky{\bold{j}}
−kxi−kyj
(3-2)
,其中 k < 0 k<0 k<0为比例常数,分别令 P ( x , y ) = k x P(x,y)=kx P(x,y)=kx, Q ( x , y ) = k y Q(x,y)=ky Q(x,y)=ky - 弧
A
B
AB
AB记为
L
L
L,则
W
W
W=
∫
L
F
⋅
d
r
\int_{L}\bold{F}\cdot \mathrm{d}\bold{r}
∫LF⋅dr=
∫
L
−
k
x
d
x
−
k
y
d
y
\int_{L}-kx\mathrm{d}x-ky\mathrm{d}y
∫L−kxdx−kydy=
−
k
∫
L
x
d
x
+
y
d
y
-k\int_{L}x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y
−k∫Lxdx+ydy
(4)
- 利用椭圆的参数方程
x
=
a
cos
t
x=a\cos{t}
x=acost;
y
=
b
sin
t
y=b\sin{t}
y=bsint
- x = a cos θ : 1 → 0 x=a\cos\theta:1\to{0} x=acosθ:1→0,起点 A A A,终点 B B B分别对应于参数 t = 0 , π 2 t=0,\frac{\pi}{2} t=0,2π
- W W W= − k ∫ 0 π 2 ( a cos t ⋅ ( − a sin t ) + b sin t ⋅ b cos t ) d t -k\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(a\cos{t}\cdot{(-a\sin{t})}+b\sin{t}\cdot{b}\cos{t})\mathrm{d}t −k∫02π(acost⋅(−asint)+bsint⋅bcost)dt= k ( a 2 − b 2 ) ∫ 0 π 2 cos t sin t d t k(a^2-b^2)\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos{t}\sin{t}\mathrm{d}t k(a2−b2)∫02πcostsintdt= k 2 ( a 2 − b 2 ) \frac{k}{2}(a^2-b^2) 2k(a2−b2)
-
m
=
O
M
→
\bold{m}=\overrightarrow{OM}
m=OM=
x
i
+
y
j
x\bold{i}+y\bold{j}
xi+yj
将一个平面向量分解为坐标表示
-
设 F \bold{F} F的大小和方向已知,向量的起点是坐标原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)
-
若 ∣ F ∣ = m |\bold{F}|=m ∣F∣=m,设 F = ( x , y ) \bold{F}=(x,y) F=(x,y),
-
当 F \bold{F} F的终点 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)位于第一象限时,则 x = m cos θ x=m\cos\theta x=mcosθ, y = m sin θ y=m\sin\theta y=msinθ,其中 θ \theta θ为 O F → \overrightarrow{OF} OF和 x x x轴正方向的夹角;
- 显然,此时 x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2= m m m
-
两类曲线积分之间的联系
-
设有向曲线弧 L L L的起点和终点分别为 A , B A,B A,B, L L L的参数方程为
(1)
:- x = ϕ ( t ) x=\phi(t) x=ϕ(t)
- y = ψ ( t ) y=\psi(t) y=ψ(t)
-
并设 A , B A,B A,B分别对应于参数 α , β \alpha,\beta α,β
-
不妨设 α < β \alpha<\beta α<β;并设 ϕ ( t ) , ψ ( t ) \phi(t),\psi(t) ϕ(t),ψ(t)在闭区间 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上具有一阶连续导数,且 ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0 \phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)\neq{0} ϕ′2(t)+ψ′2(t)=0
(2)
, P ( x , y ) P(x,y) P(x,y), Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)在 L L L上连续,则 -
第一类曲线积分公式:
- 若
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
\phi(t),\psi(t)
ϕ(t),ψ(t)在
[
α
,
β
]
[\alpha,\beta]
[α,β]上具有一阶连续导数,且
ϕ
′
2
+
ψ
′
2
(
t
)
≠
0
\phi'^2+\psi'^2(t)\neq{0}
ϕ′2+ψ′2(t)=0,则曲线积分
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s
∫Lf(x,y)ds存在,且
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s
∫Lf(x,y)ds=
∫
α
β
[
f
(
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
)
]
ϕ
′
2
(
t
)
+
ψ
′
2
(
t
)
d
t
\int_{\alpha}^{\beta}[f(\phi(t),\psi(t))]\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}\mathrm{d}t
∫αβ[f(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′2(t)+ψ′2(t)dt,
(
α
<
β
)
(\alpha<\beta)
(α<β)
(3-1)
- 若
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
\phi(t),\psi(t)
ϕ(t),ψ(t)在
[
α
,
β
]
[\alpha,\beta]
[α,β]上具有一阶连续导数,且
ϕ
′
2
+
ψ
′
2
(
t
)
≠
0
\phi'^2+\psi'^2(t)\neq{0}
ϕ′2+ψ′2(t)=0,则曲线积分
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s
∫Lf(x,y)ds存在,且
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s
∫Lf(x,y)ds=
∫
α
β
[
f
(
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
)
]
ϕ
′
2
(
t
)
+
ψ
′
2
(
t
)
d
t
\int_{\alpha}^{\beta}[f(\phi(t),\psi(t))]\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}\mathrm{d}t
∫αβ[f(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′2(t)+ψ′2(t)dt,
(
α
<
β
)
(\alpha<\beta)
(α<β)
-
第二类曲线积分公式:
-
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
\int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=
∫
α
β
{
P
[
(
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
)
]
ϕ
′
(
t
)
+
Q
[
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ψ
′
(
t
)
}
d
t
\int_{\alpha}^{\beta}\{P[(\phi(t),\psi(t))]\phi'(t)+Q[\phi(t),\psi(t)]\psi'(t)\}\mathrm{d}t
∫αβ{P[(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt
(3-2)
-
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
\int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=
∫
α
β
{
P
[
(
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
)
]
ϕ
′
(
t
)
+
Q
[
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ψ
′
(
t
)
}
d
t
\int_{\alpha}^{\beta}\{P[(\phi(t),\psi(t))]\phi'(t)+Q[\phi(t),\psi(t)]\psi'(t)\}\mathrm{d}t
∫αβ{P[(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt
-
弧长微分: d s \mathrm{d}s ds= ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}\mathrm{d}t ϕ′2(t)+ψ′2(t)dt
(3-3)
-
由曲线切向量公式可知 τ \tau τ= ϕ ′ ( t ) i + ψ ′ ( t ) j \phi'(t)\bold{i}+\psi'(t)\bold{j} ϕ′(t)i+ψ′(t)j
(4)
是曲线弧 L L L在点 M ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) M(\phi(t),\psi(t)) M(ϕ(t),ψ(t))处的一个切向量,它的指向和参数 t t t的增长方向一致 -
当 α < β \alpha<\beta α<β时,这个指向就是有向曲线弧 L L L的方向,
- 我们称指向和有向曲线弧的方向一致的切向量为有向曲线弧的切向量
- 我们取 t t t"从 α \alpha α单调地增加到 β \beta β"的方向作为曲线的正向;且在曲线上每一点的切线的正向取作与曲线的正向一致
-
所以,有向曲线弧 L L L的切向量为(4),它的方向余弦为
- cos α \cos\alpha cosα= ϕ ′ ( t ) ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) \frac{\phi'(t)}{\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}} ϕ′2(t)+ψ′2(t)ϕ′(t)
- cos β \cos\beta cosβ= ψ ′ ( t ) ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}} ϕ′2(t)+ψ′2(t)ψ′(t)
-
由公式(3-2)变形: ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy
- = ∫ α β [ P ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ] ϕ ′ ( t ) + Q [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) ] d t \int_{\alpha}^{\beta}[P(\phi(t),\psi(t))]\phi'(t)+Q[\phi(t),\psi(t)]\psi'(t)]\mathrm{d}t ∫αβ[P(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)]dt
- =
∫
α
β
{
P
[
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ϕ
′
(
t
)
ϕ
′
2
(
t
)
+
ψ
′
2
(
t
)
+
Q
[
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ψ
′
(
t
)
ϕ
′
2
(
t
)
+
ψ
′
2
(
t
)
}
ϕ
′
2
(
t
)
+
ψ
′
2
(
t
)
d
t
\int_{\alpha}^{\beta}\{P[\phi(t),\psi(t)]\frac{\phi'(t)}{\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}} +Q[\phi(t),\psi(t)] \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}}\} \sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}\mathrm{d}t
∫αβ{P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′2(t)+ψ′2(t)ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′2(t)+ψ′2(t)ψ′(t)}ϕ′2(t)+ψ′2(t)dt
(5-1)
- =
∫
α
β
[
P
(
x
,
y
)
cos
α
+
Q
(
x
,
y
)
cos
β
]
d
s
\int_{\alpha}^{\beta}[P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta]\mathrm{d}s
∫αβ[P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]ds
(5-2)
-
也可以从公式(3-1)通过变形推导到公式(3-2)
- 令
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)=
[
P
(
x
,
y
)
cos
α
+
Q
(
x
,
y
)
cos
β
]
[P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta]
[P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]
(6)
- 则由公式(3-1),
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
s
\int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s
∫Lf(x,y)ds=
∫
α
β
{
P
[
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ϕ
′
(
t
)
ϕ
′
2
(
t
)
+
ψ
′
2
(
t
)
+
Q
[
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ψ
′
(
t
)
ϕ
′
2
(
t
)
+
ψ
′
2
(
t
)
}
ϕ
′
2
(
t
)
+
ψ
′
2
(
t
)
d
t
\int_{\alpha}^{\beta}\{P[\phi(t),\psi(t)]\frac{\phi'(t)}{\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}} +Q[\phi(t),\psi(t)] \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}}\} \sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}\mathrm{d}t
∫αβ{P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′2(t)+ψ′2(t)ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′2(t)+ψ′2(t)ψ′(t)}ϕ′2(t)+ψ′2(t)dt=
∫
α
β
[
P
(
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
)
]
ϕ
′
(
t
)
+
Q
[
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ψ
′
(
t
)
]
d
t
\int_{\alpha}^{\beta}[P(\phi(t),\psi(t))]\phi'(t)+Q[\phi(t),\psi(t)]\psi'(t)]\mathrm{d}t
∫αβ[P(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)]dt
(6-1)
- 令
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)=
[
P
(
x
,
y
)
cos
α
+
Q
(
x
,
y
)
cos
β
]
[P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta]
[P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβ]
-
式(5-2),(6-1)都表明关系: ∫ L P d x + Q d y \int_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y ∫LPdx+Qdy= ∫ L ( P cos α , Q cos β ) d s \int_{L}(P\cos\alpha,Q\cos\beta)\mathrm{d}s ∫L(Pcosα,Qcosβ)ds
(7)
- 其中 α ( x , y ) \alpha(x,y) α(x,y), β ( x , y ) \beta(x,y) β(x,y)为有向曲线弧 L L L在 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的切向量的方向角
推广
-
类似地,空间曲线弧 Γ \Gamma Γ上的两类曲线积分之间的联系:
-
∫ L P d x + Q d y + R d z \int_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z ∫LPdx+Qdy+Rdz= ∫ L ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d s \int_{L}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\mathrm{d}s ∫L(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds
(7)
-
其中 α ( x , y , z ) \alpha(x,y,z) α(x,y,z), β ( x , y , z ) \beta(x,y,z) β(x,y,z), γ ( x , y , z ) \gamma(x,y,z) γ(x,y,z)为有向曲线弧 Γ \Gamma Γ在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的切向量的方向角
-
向量表示
- 将式(7)用向量式改写:
∫
Γ
A
⋅
d
r
\int_{\Gamma}\bold{A}\cdot{\mathrm{d}\bold{r}}
∫ΓA⋅dr=
∫
Γ
A
⋅
τ
d
s
\int_{\Gamma}\bold{A}\cdot\boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s
∫ΓA⋅τds
(8-1)
或 ∫ Γ A τ d s \int_{\Gamma}A_{\tau}\mathrm{d}s ∫ΓAτds(8-2)
- 其中
A
=
(
P
,
Q
,
R
)
\bold{A}=(P,Q,R)
A=(P,Q,R),
τ
\boldsymbol{\tau}
τ=
(
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
)
(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)
(cosα,cosβ,cosγ)为有向曲线弧
Γ
\Gamma
Γ在点
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)处的单位切向量
- A ⋅ τ \bold{A}\cdot\boldsymbol{\tau} A⋅τ= ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) (P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma) (Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)
-
d
r
\mathrm{d}\bold{r}
dr=
τ
d
s
\boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s
τds=
(
d
x
,
d
y
,
d
z
)
(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)
(dx,dy,dz),称为有向曲线元
- τ d s \boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s τds= ( cos α d s , cos β d s , cos γ d s ) (\cos\alpha\mathrm{d}s,\cos\beta\mathrm{d}s,\cos\gamma\mathrm{d}s) (cosαds,cosβds,cosγds)= ( d x , d y , d z ) (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z) (dx,dy,dz)
- A ⋅ d r \bold{A}\cdot{\mathrm{d}\bold{r}} A⋅dr= P d x + Q d y + R d z P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z Pdx+Qdy+Rdz
- A r {A}_{r} Ar为向量 A \bold{A} A在向量 τ \boldsymbol{\tau} τ上的投影
- 其中
A
=
(
P
,
Q
,
R
)
\bold{A}=(P,Q,R)
A=(P,Q,R),
τ
\boldsymbol{\tau}
τ=
(
cos
α
,
cos
β
,
cos
γ
)
(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)
(cosα,cosβ,cosγ)为有向曲线弧
Γ
\Gamma
Γ在点
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)处的单位切向量
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