格林公式及其应用
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abstract
- 格林公式是牛顿莱布尼兹公式在二重积分中的体现
- Newton-Leibniz公式:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x
∫abf(x)dx=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
F(b)-F(a)
F(b)−F(a),即:
∫
a
b
F
′
(
x
)
d
x
\int_{a}^{b}F'(x)\mathrm{d}x
∫abF′(x)dx=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
F(b)-F(a)
F(b)−F(a)
(0)
- Newton-Leibniz公式:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x
∫abf(x)dx=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
F(b)-F(a)
F(b)−F(a),即:
∫
a
b
F
′
(
x
)
d
x
\int_{a}^{b}F'(x)\mathrm{d}x
∫abF′(x)dx=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
F(b)-F(a)
F(b)−F(a)
曲线积分和二重积分的关系
- 在平面闭区域 D D D上的二重积分可以通过沿闭区域 D D D的边界曲线 L L L上的曲线积分来表示
平面单连通区域
- 设 D D D为平面区域,若 D D D内任意一闭曲线所围的部分都属于 D D D,则称 D D D为平面单连通区域,否则称复连通区域
- 通俗地说,平面单连通区域就是不含有洞(包括点洞)的区域,而复连通区域就是包含洞的区域
- 平面单连通区域例如:
- { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 < 1 } \set{(x,y)|x^2+y^2<1} {(x,y)∣x2+y2<1}
- { ( x , y ) ∣ y > 0 } \set{(x,y)|y>0} {(x,y)∣y>0}
- 复连通区域例如:
- { ( x , y ) ∣ 1 < x 2 + y 2 < 4 } \set{(x,y)|1<x^2+y^2<4} {(x,y)∣1<x2+y2<4}
- { ( x , y ) ∣ 0 < x 2 + y 2 < 2 } \set{(x,y)|0<x^2+y^2<2} {(x,y)∣0<x2+y2<2}
边界曲线的正方向
- 对平面区域
D
D
D的边界曲线
L
L
L,规定:
- L L L的正向为:当观察者沿 L L L的正方向行走时, D D D内在他近处的那一部分总是在他左边
- 例如,一个平面圆环区域,有2条边界线,其外边界 L L L的正方向为逆时针方向,而内边界 l l l的正方向为顺时针方向
二元函数的定积分
- 设
Q
(
x
,
y
)
Q(x,y)
Q(x,y)可偏导,则
∫
a
b
∂
Q
(
x
,
y
)
∂
x
d
x
\int_{a}^{b}\frac{\partial{Q(x,y)}}{\partial{x}}\mathrm{d}x
∫ab∂x∂Q(x,y)dx存在,且
∫
a
b
∂
Q
(
x
,
y
)
∂
x
d
x
\int_{a}^{b}\frac{\partial{Q(x,y)}}{\partial{x}}\mathrm{d}x
∫ab∂x∂Q(x,y)dx=
Q
(
b
,
y
)
−
Q
(
a
,
y
)
Q(b,y)-Q(a,y)
Q(b,y)−Q(a,y)
- 对二元函数的积分相当于二元函数偏微分的逆运算
- 例如,以二元函数 q ( x , y ) q(x,y) q(x,y)的自变量 x x x为积分变量求积分,就把 y y y看作常数,即化为一元函数定积分: f ( x ) = q ( x , y ) f(x)=q(x,y) f(x)=q(x,y)
- 若 q ( x , y ) q(x,y) q(x,y)= ∂ Q ( x , y ) ∂ x \frac{\partial{Q(x,y)}}{\partial{x}} ∂x∂Q(x,y), ∫ q ( x , y ) d x \int{q(x,y)}\mathrm{d}x ∫q(x,y)dx= Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)
格林公式👺
- 设闭区域
D
D
D由分段光滑的曲线
L
L
L围成,若函数
P
(
x
,
y
)
P(x,y)
P(x,y),
Q
(
x
,
y
)
Q(x,y)
Q(x,y)在
D
D
D上具有一阶连续偏导数(显然
P
,
Q
P,Q
P,Q本身连续),则
∬
D
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
d
x
d
y
\iint\limits_{D}(\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}})\mathrm{d}x\mathrm{d}y
D∬(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=
∮
L
P
d
x
+
Q
d
y
\oint_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∮LPdx+Qdy
(1),该公式称为格林公式- 其中 L L L是 D D D的取正向的边界曲线
- Note:对于复连通区域,个边界做曲线积分时的曲线弧方向取对于 D D D是正向的方向
- 如果 P , Q P,Q P,Q在 D D D某处不连续,那么不能直接应用格林公式,可以考虑挖洞(这引入了新的边界),来利用格林公式,然后把引入的新边界去掉(相应的曲线积分)
- 公式(1)的简单写法:
∬
D
(
Q
x
−
P
y
)
d
x
d
y
\iint\limits_{D}(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y
D∬(Qx−Py)dxdy=
∮
L
P
d
x
+
Q
d
y
\oint_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∮LPdx+Qdy
(1-0-0) - 公式的逆用:
∮
L
P
d
x
+
Q
d
y
\oint_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∮LPdx+Qdy=
∬
D
(
Q
x
−
P
y
)
d
x
d
y
\iint\limits_{D}(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y
D∬(Qx−Py)dxdy
(1-0-1)
证明
- 我们将式(1)拆成两部分证明:
-
−
∬
D
∂
P
∂
y
d
x
d
y
-\iint\limits_{D}\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
−D∬∂y∂Pdxdy=
∮
L
P
d
x
\oint_{L}P\mathrm{d}x
∮LPdx
(1-1) -
∬
D
∂
Q
∂
x
d
x
d
y
\iint\limits_{D}\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
D∬∂x∂Qdxdy=
∮
L
Q
d
y
\oint_{L}Q\mathrm{d}y
∮LQdy
(1-2)
-
−
∬
D
∂
P
∂
y
d
x
d
y
-\iint\limits_{D}\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
−D∬∂y∂Pdxdy=
∮
L
P
d
x
\oint_{L}P\mathrm{d}x
∮LPdx
既是 X X X又是 Y Y Y型的区域
- 假设穿过区域
D
D
D内部且平行于坐标轴的直线与
D
D
D的边界曲线
L
L
L的交点恰好为2点,即区域
D
D
D即是
X
X
X型,又是
Y
Y
Y型
- 设区域
D
D
D由矩形或平行四边形
A
B
C
G
ABCG
ABCG拉伸而来,其中
G
,
C
G,C
G,C分别在
A
,
B
A,B
A,B正上方,
- 对 A B AB AB, C G CG CG两线段内分别取 E , F E,F E,F,
- 对 A , E , B A,E,B A,E,B三点分别下拉若干距离, C , F , G C,F,G C,F,G分别向上拉伸若干距离,拉伸过程保持各段曲线光滑, E , F E,F E,F分别是弧 A E B AEB AEB(记为 L 1 L_1 L1)的唯一极小值点, C F G CFG CFG(记为 L 2 L_2 L2)的唯一极大值点
- 记弧 F G A E FGAE FGAE为 L 1 ′ L_1' L1′,弧 E B C F EBCF EBCF为 L 2 ′ L_2' L2′
- A , G A,G A,G的 x x x坐标都为 a a a, B , C B,C B,C的 x x x坐标都为 b b b,设 a < b a<b a<b
- E , F E,F E,F的 y y y坐标分别为 c , d c,d c,d, ( c < d ) (c<d) (c<d)
- 设区域
D
D
D由矩形或平行四边形
A
B
C
G
ABCG
ABCG拉伸而来,其中
G
,
C
G,C
G,C分别在
A
,
B
A,B
A,B正上方,
- 先讨论
X
X
X型区域
- 设 D D D= { ( x , y ) ∣ ϕ 1 ( x ) ⩽ y ⩽ ϕ 2 ( x ) , a ⩽ x ⩽ b } \set{(x,y)|\phi_1(x)\leqslant{y}\leqslant{\phi_{2}(x)},a\leqslant{x}\leqslant{b}} {(x,y)∣ϕ1(x)⩽y⩽ϕ2(x),a⩽x⩽b}
- 因为
∂
P
∂
y
\frac{\partial{P}}{\partial{y}}
∂y∂P(即
∂
P
(
x
,
y
)
∂
y
\frac{\partial{P}(x,y)}{\partial{y}}
∂y∂P(x,y),是二元函数)连续,所以根据区域
D
D
D并由二重积分的计算方法(化为累次积分):
- ∬ D ∂ P ∂ y d x d y \iint\limits_{D}\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬∂y∂Pdxdy= ∫ a b d x ∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 2 ( x ) ∂ P ∂ y d y \int_{a}^{b}\mathrm{d}x \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\mathrm{d}y ∫abdx∫ϕ1(x)ϕ2(x)∂y∂Pdy
- 其中 ∫ ϕ 1 ( x ) ϕ 2 ( x ) ∂ P ( x , y ) ∂ y d y \int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}\frac{\partial{P(x,y)}}{\partial{y}}\mathrm{d}y ∫ϕ1(x)ϕ2(x)∂y∂P(x,y)dy对 y y y积分,将 x x x视为常数,应用Newton-Leibniz公式: P ( x , ϕ 2 ( x ) ) − P ( x , ϕ 1 ( x ) ) P(x,\phi_2(x))-P(x,\phi_1(x)) P(x,ϕ2(x))−P(x,ϕ1(x))
- 从而
∬
D
∂
P
∂
y
d
x
d
y
\iint\limits_{D}\frac{\partial{P}}{\partial{y}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
D∬∂y∂Pdxdy=
∫
a
b
[
P
(
x
,
ϕ
2
(
x
)
)
−
P
(
x
,
ϕ
1
(
x
)
)
]
d
x
\int_{a}^{b}[P(x,\phi_2(x))-P(x,\phi_1(x))]\mathrm{d}x
∫ab[P(x,ϕ2(x))−P(x,ϕ1(x))]dx
(2-1) - 另一方面,由对坐标的曲线积分的性质和公式
-
∮
L
P
d
x
\oint_{L}P\mathrm{d}x
∮LPdx=
∫
L
1
P
d
x
\int_{L_1}P\mathrm{d}x
∫L1Pdx+
∫
B
C
P
d
x
\int_{BC}P\mathrm{d}x
∫BCPdx+
∫
L
2
P
d
x
\int_{L_2}P\mathrm{d}x
∫L2Pdx+
∫
G
A
P
d
x
\int_{GA}P\mathrm{d}x
∫GAPdx
- = ∫ L 1 P d x + ∫ L 2 P d x \int_{L_1}P\mathrm{d}x+\int_{L_2}P\mathrm{d}x ∫L1Pdx+∫L2Pdx
- = ∫ a b P ( x , ϕ 1 ( x ) ) d x \int_{a}^{b}P(x,\phi_1(x))\mathrm{d}x ∫abP(x,ϕ1(x))dx+ ∫ b a P ( x , ϕ 2 ( x ) ) d x \int_{b}^{a}P(x,\phi_2(x))\mathrm{d}x ∫baP(x,ϕ2(x))dx
- = ∫ a b P ( x , ϕ 1 ( x ) ) d x \int_{a}^{b}P(x,\phi_1(x))\mathrm{d}x ∫abP(x,ϕ1(x))dx- ∫ a b P ( x , ϕ 2 ( x ) ) d x \int_{a}^{b}P(x,\phi_2(x))\mathrm{d}x ∫abP(x,ϕ2(x))dx
- =
∫
a
b
[
P
(
x
,
ϕ
1
(
x
)
)
−
P
(
x
,
ϕ
2
(
x
)
)
]
d
x
\int_{a}^{b}[P(x,\phi_1(x))-P(x,\phi_2(x))]\mathrm{d}x
∫ab[P(x,ϕ1(x))−P(x,ϕ2(x))]dx
(2-2)
- 比较(2-1,2-2)可得(1-1)
-
∮
L
P
d
x
\oint_{L}P\mathrm{d}x
∮LPdx=
∫
L
1
P
d
x
\int_{L_1}P\mathrm{d}x
∫L1Pdx+
∫
B
C
P
d
x
\int_{BC}P\mathrm{d}x
∫BCPdx+
∫
L
2
P
d
x
\int_{L_2}P\mathrm{d}x
∫L2Pdx+
∫
G
A
P
d
x
\int_{GA}P\mathrm{d}x
∫GAPdx
- 在讨论
Y
Y
Y型区域(同样是那个区域
D
D
D)
- 设
D
D
D=
{
(
x
,
y
)
∣
ψ
1
(
y
)
⩽
x
⩽
ψ
2
(
y
)
,
c
⩽
y
⩽
d
}
\set{(x,y)|\psi_1(y)\leqslant{x}\leqslant{\psi_{2}(y)},c\leqslant{y}\leqslant{d}}
{(x,y)∣ψ1(y)⩽x⩽ψ2(y),c⩽y⩽d}
- L 1 ′ : x = ψ 1 ( y ) L_1':x=\psi_1(y) L1′:x=ψ1(y)
- L 2 ′ : x = ψ 2 ( y ) L_2':x=\psi_2(y) L2′:x=ψ2(y)
-
∬
D
∂
Q
∂
x
d
x
d
y
\iint\limits_{D}\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
D∬∂x∂Qdxdy=
∫
c
d
d
y
∫
ψ
1
(
y
)
ψ
2
(
y
)
∂
Q
∂
x
d
x
\int_{c}^{d}\mathrm{d}y \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}\mathrm{d}x
∫cddy∫ψ1(y)ψ2(y)∂x∂Qdx
- ∫ ψ 1 ( y ) ψ 2 ( y ) ∂ Q ∂ x d x \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}\mathrm{d}x ∫ψ1(y)ψ2(y)∂x∂Qdx= Q ( x , y ) ∣ ψ 1 ( y ) ψ 2 ( y ) Q(x,y)|_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} Q(x,y)∣ψ1(y)ψ2(y)= Q ( ψ 2 ( y ) , y ) − Q ( ψ 1 ( y ) , y ) Q(\psi_2(y),y)-Q(\psi_1(y),y) Q(ψ2(y),y)−Q(ψ1(y),y)
- =
∫
c
d
[
Q
(
ψ
2
(
y
)
,
y
)
−
Q
(
ψ
1
(
y
)
,
y
)
]
d
y
\int_{c}^{d}[Q(\psi_2(y),y)-Q(\psi_1(y),y)]\mathrm{d}{y}
∫cd[Q(ψ2(y),y)−Q(ψ1(y),y)]dy
(3-1)
-
∮
L
Q
d
y
\oint_{L}Q\mathrm{d}y
∮LQdy=
∫
L
1
′
Q
d
y
\int_{L_1'}Q\mathrm{d}y
∫L1′Qdy+
∫
L
2
′
Q
d
y
\int_{L_2'}Q\mathrm{d}y
∫L2′Qdy
- = ∫ d c Q ( ψ 1 ( y ) , y ) d y \int_{d}^{c}Q(\psi_1(y),y)\mathrm{d}y ∫dcQ(ψ1(y),y)dy+ ∫ c d Q ( ψ 2 ( y ) , y ) d y \int_{c}^{d}Q(\psi_2(y),y)\mathrm{d}y ∫cdQ(ψ2(y),y)dy
- = − ∫ c d Q ( ψ 1 ( y ) , y ) d y -\int_{c}^{d}Q(\psi_1(y),y)\mathrm{d}y −∫cdQ(ψ1(y),y)dy+ ∫ c d Q ( ψ 2 ( y ) , y ) d y \int_{c}^{d}Q(\psi_2(y),y)\mathrm{d}y ∫cdQ(ψ2(y),y)dy
- =
∫
c
d
[
Q
(
ψ
2
(
y
)
,
y
)
−
Q
(
ψ
1
(
y
)
,
y
)
]
d
y
\int_{c}^{d}[Q(\psi_2(y),y)-Q(\psi_1(y),y)]\mathrm{d}{y}
∫cd[Q(ψ2(y),y)−Q(ψ1(y),y)]dy
(3-2)
- 比较(3-1,3-2)可知(1-2)成立
- 设
D
D
D=
{
(
x
,
y
)
∣
ψ
1
(
y
)
⩽
x
⩽
ψ
2
(
y
)
,
c
⩽
y
⩽
d
}
\set{(x,y)|\psi_1(y)\leqslant{x}\leqslant{\psi_{2}(y)},c\leqslant{y}\leqslant{d}}
{(x,y)∣ψ1(y)⩽x⩽ψ2(y),c⩽y⩽d}
- 可见对于既是 X X X型又是 Y Y Y型的区域,(1-1,1-2)同时成立,合并它们得到式(1)
- 对于 D D D旋转 π 2 \frac{\pi}{2} 2π后的区域类型也类似可证明式(1)成立
其他情形区域类型
- 通过引入辅助线分割法,将区域
D
D
D分成有限的几个部分闭区域,将问题转化为若干个第一类情形
- 例如 D D D分割成 D 1 , D 2 , D 3 D_1,D_2,D_3 D1,D2,D3,对 D i D_{i} Di, ( i = 1 , 2 , 3 ) (i=1,2,3) (i=1,2,3)分别应用公式(1),
- 将得到的三个等式相加,并注意将相加时沿辅助曲线来回的曲线积分相互抵消,便仅剩下边界曲线
- 可得公式(1)仍然成立
- 综上,公式(1)对于分段光滑曲线围成的闭区域都成立
复连通区域
- 对于复连通区域 D D D,公式(1)右端应包括沿区域 D D D的全部边界的曲线积分,各边界的方向对区域 D D D都是正向的
辅助线分割
- 通常辅助线是平行于坐标轴的,在不满足既 X X X形又是 Y Y Y形的区域下(包括复连通区域),都使用辅助线来转换为前一种情形
应用和实例
- 利用公式(1),可以将第二类曲线积分问题转化为二重积分计算
- 这需要根据曲线积分中的 P , Q P,Q P,Q两函数构造偏导组合式 G = Q x − P y G=Q_{x}-P_{y} G=Qx−Py
- 当直接计算曲线积分繁琐而 G G G的二重积分容易计算时,使用公式(1)可以简化计算
- 这种转换可以避免求积分弧段的参数方程,如果参数方程比较复杂时就可以考虑格林公式的此用途
- 反之亦然,二重积分可以考虑转化为曲线积分计算
- 这首先从二重积分中确定两个函数 P , Q P,Q P,Q
- 设二重积分被积函数为 G = Q x − P y G=Q_{x}-P_{y} G=Qx−Py
- 例:
G
=
e
−
y
2
G=e^{-y^2}
G=e−y2,则可以令
G
=
e
−
y
2
−
0
G=e^{-y^2}-0
G=e−y2−0,即
Q
x
=
e
−
y
2
Q_{x}=e^{-y^2}
Qx=e−y2,
P
y
=
0
P_{y}=0
Py=0
- 可分别取 Q = e − y 2 x Q=e^{-y^2}x Q=e−y2x, P = 0 P=0 P=0
- 取法不唯一,尽可能简单
- 此外,格林公式可以用于求解有向曲线弧满足一定特点但是没有具体方程的情形
- 二重积分化为第二类曲线积分时要考虑方向(积分区域边界的正方向作为曲线积分的积分弧段的方向)
- 反之,第二类曲线积分化为二重积分求解时,如果曲线积分的曲线是区域的负方向,则在二重积分数值后取一个负号
面积问题
-
合适的 P , Q P,Q P,Q函数代入格林公式可以解决特定类型的问题
-
令公式(1)中 P = − y P=-y P=−y, Q = x Q=x Q=x,则 ∮ L − y d x + x d y \oint_{L}-y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y ∮L−ydx+xdy= ∬ D 1 − ( − 1 ) d x d y \iint_{D}1-(-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬D1−(−1)dxdy= 2 ∬ D d x d y 2\iint\limits_{D}\mathrm{d}x\mathrm{d}y 2D∬dxdy
(4)- 式(4)右端表示闭区域
D
D
D的面积
A
A
A的2倍,因此
A
A
A=
1
2
∮
L
x
d
y
−
y
d
x
\frac{1}{2}\oint_{L}x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x
21∮Lxdy−ydx
(4-1)
- 式(4)右端表示闭区域
D
D
D的面积
A
A
A的2倍,因此
A
A
A=
1
2
∮
L
x
d
y
−
y
d
x
\frac{1}{2}\oint_{L}x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x
21∮Lxdy−ydx
-
公式(4-1)指出,可以通过构造合适的第二类曲线积分,可以用来求解闭区域的面积
- 构造的2个被积函数为 P = − y , Q = x P=-y,Q=x P=−y,Q=x
例
- 计算
S
=
∮
L
x
2
y
d
x
−
x
y
2
d
y
S=\oint_{L}x^2y\mathrm{d}x-xy^2\mathrm{d}y
S=∮Lx2ydx−xy2dy,其中
- (1) L L L为正向圆周 x 2 + y 2 = a 2 x^2+y^2=a^2 x2+y2=a2
- (2) L L L为上半圆周 y = R 2 − x 2 y=\sqrt{R^2-x^2} y=R2−x2,方向从 A ( a , 0 ) → B ( − a , 0 ) A(a,0)\to{B(-a,0)} A(a,0)→B(−a,0)
- 解:
- (1)
- 令 P = x 2 y P=x^2y P=x2y, Q = − x y 2 Q=-xy^2 Q=−xy2
- 构造 G = Q x − P y G=Q_{x}-P_{y} G=Qx−Py= − y 2 − x 2 -y^2-x^2 −y2−x2
- 则由公式(1), S S S= ∬ D G d x d y \iint\limits_{D}G\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬Gdxdy= − ∬ D ( x 2 + y 2 ) d x d y -\iint\limits_{D}(x^2+y^2)\mathrm{d}x\mathrm{d}y −D∬(x2+y2)dxdy= − ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a ρ 3 d ρ -\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{a}\rho^{3}\mathrm{d}\rho −∫02πdθ∫0aρ3dρ= − π 2 a 4 -\frac{\pi}{2}a^{4} −2πa4
- (2)
- 为了使用格林公式,需要将半圆周补充一条直径使得半圆构成封闭区域
- 然后减回去一条直径,表示为:
- 令被积函数 T T T= x 2 y d x − x y 2 d y x^2y\mathrm{d}x-xy^2\mathrm{d}y x2ydx−xy2dy
- ∫ L + B A − B A T \int_{L+BA-BA} T ∫L+BA−BAT= f L + B A T f_{L+BA}T fL+BAT- ∫ B A T \int_{BA} T ∫BAT
-
f
L
+
B
A
T
f_{L+BA}T
fL+BAT=
∬
D
G
d
σ
\iint_{D}G\mathrm{d}\sigma
∬DGdσ=
−
∫
0
π
d
θ
∫
0
a
r
2
r
d
r
-\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{a}r^2r\mathrm{d}r
−∫0πdθ∫0ar2rdr=
−
a
2
4
π
-\frac{a^2}{4}\pi
−4a2π
- 这个二重积分计算的快捷方法是利用对称性和偶函数
- 被积函数 G G G关于 x x x的偶函数,而且积分区域关于 x = 0 x=0 x=0对称,从而为上一问结果的 1 2 \frac{1}{2} 21,即 − a 2 4 π -\frac{a^2}{4}\pi −4a2π
- ∫ B A T \int_{BA} T ∫BAT= ∫ B A x 2 y d x − x y 2 d y \int_{BA}x^2y\mathrm{d}x-xy^2\mathrm{d}y ∫BAx2ydx−xy2dy= ∫ − a a 0 d y \int_{-a}^{a}0\mathrm{d}y ∫−aa0dy=0
- 所以 S S S= − a 2 4 π -\frac{a^2}{4}\pi −4a2π
例
- 计算
S
=
∬
D
e
−
y
2
d
x
d
y
S=\iint\limits_{D}e^{-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
S=D∬e−y2dxdy,其中
D
D
D为
O
(
0
,
0
)
O(0,0)
O(0,0),
A
(
1
,
1
)
A(1,1)
A(1,1),
B
(
0
,
1
)
B(0,1)
B(0,1)为顶点的三角形闭区域
- 令 G G G= Q x − P y Q_{x}-P_{y} Qx−Py= e − y 2 − 0 e^{-y^2}-0 e−y2−0,则 Q = x e − y 2 Q=xe^{-y^2} Q=xe−y2, P = 0 P=0 P=0满足 G G G= e − y 2 e^{-y^2} e−y2
- 由公式(1),
S
S
S=
∮
L
0
d
x
+
x
e
−
y
2
d
y
\oint_{L}0\mathrm{d}x+xe^{-y^2}\mathrm{d}y
∮L0dx+xe−y2dy=
∫
O
A
+
A
B
+
B
O
x
e
−
y
2
d
y
\int_{OA+AB+BO}xe^{-y^2}\mathrm{d}y
∫OA+AB+BOxe−y2dy=
∫
O
A
x
e
−
y
2
d
y
\int_{OA}xe^{-y^2}\mathrm{d}y
∫OAxe−y2dy+0+0=
∫
0
1
x
e
−
x
2
d
x
\int_{0}^{1}xe^{-x^2}\mathrm{d}x
∫01xe−x2dx=
−
1
2
∫
0
1
e
−
x
2
d
(
−
x
2
)
-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}e^{-x^2}\mathrm{d}(-x^2)
−21∫01e−x2d(−x2)=
1
2
(
1
−
e
−
1
)
\frac{1}{2}(1-e^{-1})
21(1−e−1)
- 其中
∫
A
B
x
e
−
y
2
d
y
\int_{AB}xe^{-y^2}\mathrm{d}y
∫ABxe−y2dy=
∫
1
1
x
e
1
⋅
0
d
y
\int_{1}^{1}xe^{1}\cdot 0\mathrm{d}y
∫11xe1⋅0dy=0;
- ∫ B O x e − y 2 d y \int_{BO}xe^{-y^2}\mathrm{d}y ∫BOxe−y2dy= ∫ 1 0 0 ⋅ e − y 2 d y \int_{1}^{0}0\cdot{e^{-y^2}}\mathrm{d}y ∫100⋅e−y2dy=0
- 其中
∫
A
B
x
e
−
y
2
d
y
\int_{AB}xe^{-y^2}\mathrm{d}y
∫ABxe−y2dy=
∫
1
1
x
e
1
⋅
0
d
y
\int_{1}^{1}xe^{1}\cdot 0\mathrm{d}y
∫11xe1⋅0dy=0;
例
- 椭圆 x = a cos θ x=a\cos\theta x=acosθ, y = b sin θ y=b\sin\theta y=bsinθ面积
- 根据公式(4-1),
A
A
A=
1
2
∮
L
x
d
y
−
y
d
x
\frac{1}{2}\oint_{L}x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x
21∮Lxdy−ydx=
1
2
∫
0
2
π
a
cos
θ
⋅
b
cos
θ
−
b
sin
θ
⋅
(
−
a
sin
θ
)
d
θ
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}a\cos\theta\cdot{b\cos\theta}-b\sin\theta\cdot(-a\sin\theta)\mathrm{d}\theta
21∫02πacosθ⋅bcosθ−bsinθ⋅(−asinθ)dθ=
1
2
a
b
∫
0
2
π
d
θ
\frac{1}{2}ab\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta
21ab∫02πdθ=
π
a
b
\pi{ab}
πab
- 虽然曲线起点和终点位于同一位置,但这里取它们为不同的参数值,参数对应的积分区间处理为 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π],可以避免分段
- 如果要分段,可以分别计算上半椭圆和下半椭圆(两个半椭圆的含有 [ − a , a ] [-a,a] [−a,a]区间对应的线段,才能构成独立的闭区域,分别利用公式(4)计算 1 2 π a b \frac{1}{2}\pi{ab} 21πab)
例
- 计算 S = ∮ L 1 x 2 + y 2 ( x d y − y d x ) S=\oint_{L}\frac{1}{x^2+y^2}(x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x) S=∮Lx2+y21(xdy−ydx);其中 L L L是一条无重点(仅首尾有重合点),分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L L L的方向为逆时针
- 解
- 令 P P P= 1 x 2 + y 2 ( − y ) \frac{1}{x^2+y^2}(-y) x2+y21(−y); Q Q Q= 1 x 2 + y 2 x \frac{1}{x^2+y^2}x x2+y21x
- 当
x
2
+
y
2
≠
0
x^2+y^2\neq0
x2+y2=0,
P
y
P_{y}
Py=
y
2
−
x
2
(
x
2
+
y
2
)
2
\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}
(x2+y2)2y2−x2,
Q
x
Q_x
Qx=
y
2
−
x
2
(
x
2
+
y
2
)
2
\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}
(x2+y2)2y2−x2;则
G
=
Q
x
−
P
y
G=Q_{x}-P_{y}
G=Qx−Py=
0
0
0
(1) - 记
L
L
L所围成的闭区域为
D
D
D,
- 当
(
0
,
0
)
∉
D
(0,0)\notin{D}
(0,0)∈/D时,由格林公式,
S
S
S=
∬
D
G
d
σ
\iint\limits_{D}G\mathrm{d}\sigma
D∬Gdσ=0
(2) - 当
(
0
,
0
)
∈
D
(0,0)\in{D}
(0,0)∈D时,此时
D
D
D是复连通区域,
- 选取适当小的
r
>
0
r>0
r>0,作位于
D
D
D内的圆周
l
:
x
2
+
y
2
=
r
2
l:x^2+y^2=r^2
l:x2+y2=r2
(3),记 L , l L,l L,l所围成的闭区域为 D 1 D_1 D1;而 l l l围成的小圆记为 D 2 D_2 D2 - 对
D
1
D_1
D1应用格林公式
-
∫
L
\int_{L}
∫L=
∫
L
+
l
−
l
\int_{L+l-l}
∫L+l−l=
∫
L
+
l
−
∫
l
\int_{L+l}-\int_{l}
∫L+l−∫l
(4),这里 l l l取顺时针方向(相对于 D 1 D_1 D1是正方向) -
S
0
=
∮
L
+
l
1
x
2
+
y
2
(
x
d
y
−
y
d
x
)
S_0=\oint_{L+l}\frac{1}{x^2+y^2}(x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x)
S0=∮L+lx2+y21(xdy−ydx)=
∬
L
\iint_{L}
∬L=0
(5) -
S
1
=
∮
l
1
x
2
+
y
2
(
x
d
y
−
y
d
x
)
S_1=\oint_{l}\frac{1}{x^2+y^2}(x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x)
S1=∮lx2+y21(xdy−ydx)=
1
r
2
∮
l
x
d
y
−
y
d
x
\frac{1}{r^2}\oint_{l}x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x
r21∮lxdy−ydx (这里代入了式(3),将被积函数分母化为非零常数
r
2
r^2
r2)
- =
−
1
r
2
∮
l
−
x
d
y
−
y
d
x
-\frac{1}{r^2}\oint_{l^{-}}x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x
−r21∮l−xdy−ydx,
- l − l^{-} l−为逆时针,此时 P = − y , Q = x P=-y,Q=x P=−y,Q=x在 D 2 D_2 D2上连续,从而可以应用格林公式
- = − 1 r 2 ∬ D 2 ( 1 − ( − 1 ) ) d σ -\frac{1}{r^2}\iint\limits_{D_2}(1-(-1))\mathrm{d}\sigma −r21D2∬(1−(−1))dσ= − 2 r 2 ∬ D d σ -\frac{2}{r^2}\iint\limits_{D}\mathrm{d}\sigma −r22D∬dσ
- =
−
2
r
2
π
r
2
-\frac{2}{r^2}\pi{r^2}
−r22πr2=
−
2
π
-2\pi
−2π
(6)
- =
−
1
r
2
∮
l
−
x
d
y
−
y
d
x
-\frac{1}{r^2}\oint_{l^{-}}x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x
−r21∮l−xdy−ydx,
-
∫
L
\int_{L}
∫L=
∫
L
+
l
−
l
\int_{L+l-l}
∫L+l−l=
∫
L
+
l
−
∫
l
\int_{L+l}-\int_{l}
∫L+l−∫l
- S S S= S 0 − S 1 S_0-S_1 S0−S1= 0 − ( − 2 π ) 0-(-2\pi) 0−(−2π)= 2 π 2\pi 2π
- 选取适当小的
r
>
0
r>0
r>0,作位于
D
D
D内的圆周
l
:
x
2
+
y
2
=
r
2
l:x^2+y^2=r^2
l:x2+y2=r2
- Note:上述方法不是唯一的方法
- 当
(
0
,
0
)
∉
D
(0,0)\notin{D}
(0,0)∈/D时,由格林公式,
S
S
S=
∬
D
G
d
σ
\iint\limits_{D}G\mathrm{d}\sigma
D∬Gdσ=0
平面上曲线积分和路径无关条件
- 问题对应的物理问题是,势场问题,即研究场力所作的功和路径无关的情形
- 重点是在什么条件下,场力所作的功和路径无关,对应数学上的问题是曲线积分和路径无关条件
曲线积分与路径无关的定义
- 设
G
G
G是一个区域,
P
(
x
,
y
)
P(x,y)
P(x,y)以及
Q
(
x
,
y
)
Q(x,y)
Q(x,y)在区域
G
G
G内具有一阶连续偏导数
- 若
G
G
G内任意指定的两个点
A
,
B
A,B
A,B,以及
G
G
G内从
A
→
B
A\to{B}
A→B的任意两条曲线
L
1
,
L
2
L_1,L_2
L1,L2,等式
∫
L
1
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L1Pdx+Qdy=
∫
L
2
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_2}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L2Pdx+Qdy
(0)恒成立 - 则称曲线积分
∫
L
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫LPdx+Qdy
(1)在 G G G内与路径无关,否则说明路径有关
- 若
G
G
G内任意指定的两个点
A
,
B
A,B
A,B,以及
G
G
G内从
A
→
B
A\to{B}
A→B的任意两条曲线
L
1
,
L
2
L_1,L_2
L1,L2,等式
∫
L
1
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L1Pdx+Qdy=
∫
L
2
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_2}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L2Pdx+Qdy
等价描述
- 若曲线积分和路径无关,则式(1)成立
- 而
∫
L
2
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_2}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L2Pdx+Qdy=
−
∫
L
2
−
P
d
x
+
Q
d
y
-\int_{L_2^{-}}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
−∫L2−Pdx+Qdy
(2) - 代入式(1),得
∫
L
1
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L1Pdx+Qdy=
−
∫
L
2
−
P
d
x
+
Q
d
y
-\int_{L_2^{-}}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
−∫L2−Pdx+Qdy,即
∫
L
1
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L1Pdx+Qdy+
∫
L
2
−
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_2^{-}}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L2−Pdx+Qdy=
0
0
0
(3) - 观察到
L
1
,
L
2
−
L_1,L_2^{-}
L1,L2−构成有向闭曲线,从而式(3)可以表示为
∮
L
1
+
L
2
−
P
d
x
+
Q
d
y
\oint_{L_1+L_{2}^{-}}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∮L1+L2−Pdx+Qdy=
0
0
0
(4)
小结
-
在区域 G G G内由曲线积分与路径无关可以推得在 G G G内沿闭曲线的曲线积分为0
- 反之,若在区域 G G G内沿任意闭曲线的曲线积分为0,可以推得在 G G G内曲线积分和路径无关
-
曲线积分 ∫ L P d x + Q d y \int_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y ∫LPdx+Qdy在 G G G内与路径无关相当于:沿 G G G内任意闭曲线 C C C的曲线积分 ∮ C P d x + Q d y = 0 \oint_{C}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0 ∮CPdx+Qdy=0
(4-1),这种形式更便于论述
充要条件定理
-
下面介绍上述问题中的条件是什么(充要条件)
-
设区域 G G G式一个单连通域,若函数 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)与 Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)在 G G G内具有一阶连续偏导数
-
则曲线积分 ∫ L P d x + Q d y \int_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y ∫LPdx+Qdy在 G G G内与路径无关(或沿 G G G内任意闭曲线的曲线积分为0)的充要条件是 ∂ P ∂ y \frac{\partial{P}}{\partial{y}} ∂y∂P= ∂ Q ∂ x \frac{\partial{Q}}{\partial{x}} ∂x∂Q
(5)(或写作 ( P y = Q x ) (P_{y}=Q_{x}) (Py=Qx)在 G G G内恒成立
充分性
- 在 G G G内任意取一条闭曲线 C C C
- 这里要证的命题为:当条件式(5)成立时有(4-1)成立
- 因为 G G G是单连通的,所以闭曲线 C C C所围成的闭区域 D D D全部在 G G G内,于是由假定,式(5)在 D D D上恒成立
- 应用格林公式:
∬
D
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
d
x
d
y
\iint\limits_{D}(\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}})\mathrm{d}x\mathrm{d}y
D∬(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=
∮
C
P
d
x
+
Q
d
y
\oint_{C}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∮CPdx+Qdy
(6)由式(5)可知,式(6)左端为0 - 从而式(6)右端为0,这就证明了充分性
必要性
- 这里用反证法证明
- 这里要证的命题为:若沿着
G
G
G内任意闭曲线的曲线积分为0,则式(5)在
G
G
G内成立
- 假设上述命题不成立,那么 G G G内至少存在一点 M 0 M_{0} M0,使得(5)不成立
- 不妨设
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
M
0
(\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}})_{M_{0}}
(∂x∂Q−∂y∂P)M0=
η
>
0
\eta>0
η>0(简写为
Q
x
−
P
y
=
η
>
0
Q_{x}-P_{y}=\eta>0
Qx−Py=η>0)
(7) - 由于
P
y
,
Q
x
P_{y},Q_{x}
Py,Qx在
G
G
G内连续,可以在
G
G
G内取得一个以
M
0
M_{0}
M0为圆心,半径足够小的圆形闭区域
K
K
K,使得在
K
K
K上恒有
Q
x
−
P
y
⩾
1
2
η
Q_{x}-P_{y}\geqslant{\frac{1}{2}\eta}
Qx−Py⩾21η
(8) - 于是由格林公式和二重积分性质:
-
∮
γ
P
d
x
+
Q
d
y
\oint_{\gamma}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∮γPdx+Qdy=
∬
K
(
Q
x
−
P
y
)
d
x
d
y
\iint\limits_{K}(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y
K∬(Qx−Py)dxdy
⩾
\geqslant
⩾
1
2
η
⋅
σ
{\frac{1}{2}\eta\cdot\sigma}
21η⋅σ
(9)- 其中 ∬ K ( 1 2 η ) d x d y \iint\limits_{K}(\frac{1}{2}\eta)\mathrm{d}x\mathrm{d}y K∬(21η)dxdy= 1 2 η ∬ K 1 d x d y \frac{1}{2}\eta \iint\limits_{K}1\mathrm{d}x\mathrm{d}y 21ηK∬1dxdy= 1 2 η ⋅ σ {\frac{1}{2}\eta\cdot\sigma} 21η⋅σ
- 这里 γ \gamma γ是 K K K的正向边界曲线, σ \sigma σ是 K K K的面积
-
∮
γ
P
d
x
+
Q
d
y
\oint_{\gamma}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∮γPdx+Qdy=
∬
K
(
Q
x
−
P
y
)
d
x
d
y
\iint\limits_{K}(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y
K∬(Qx−Py)dxdy
⩾
\geqslant
⩾
1
2
η
⋅
σ
{\frac{1}{2}\eta\cdot\sigma}
21η⋅σ
- 因为
η
>
0
,
σ
>
0
\eta>0,\sigma>0
η>0,σ>0所以
1
2
η
⋅
σ
>
0
\frac{1}{2}\eta\cdot{\sigma}>0
21η⋅σ>0即有式(9)左端
∮
γ
P
d
x
+
Q
d
y
>
0
\oint_{\gamma}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y>0
∮γPdx+Qdy>0
(10) - γ \gamma γ是 G G G内的闭曲线,式(10)指出 G G G内的闭曲线 γ \gamma γ的曲线积分不为0(大于0)
- 而我们知道(命题条件指出) G G G内的闭曲线的曲线积分为0,因此式(10)与之矛盾,因此反证法中的假设不成立,即不存在这样的点 M 0 M_0 M0,所以式(5)在 G G G内处处成立
说明
- 定理中要求2个条件:
- G G G式单连通的
- P , Q P,Q P,Q在 G G G内有一阶连续偏导数
- 若两个条件之一不满足,则定理结论不一定成立
- 例如,即使区域 G G G仅有一个点 T T T不满足判定式(5)(比如无定义),就不能保证式(4-1)成立,因为点 T T T破坏了函数 P , Q , Q x , P y P,Q,Q_{x},P_{y} P,Q,Qx,Py的连续性,点 T T T通常称为奇点
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