重积分的应用@曲面的面积计算

abstract

  • 重积分的应用@曲面的面积计算

重积分的应用

  • 由重积分的定义可以直接得出以下应用:
  • 二重积分:
    • 曲定柱体的体积
    • 平面薄片的质量
  • 三重积分:
    • 空间物体的质量
  • 将定积分中的元素法推广到重积分的应用中,利用重积分的元素法来讨论重积分在几何和物理上的一些其他应用
    • 曲面的面积
    • 质心
    • 转动惯量

区域投影面积关系

设两平面 Π 1 , Π 2 \Pi_1,\Pi_2 Π1,Π2的夹角为 θ ( θ ∈ [ 0 , π 2 ] ) \theta(\theta\in{[0,\frac{\pi}{2}]}) θ(θ[0,2π]),并设 Π 1 \Pi_1 Π1上的闭区域 D D D Π 2 \Pi_2 Π2上的投影区域 D 0 D_{0} D0,则 D D D的面积 A A A D 0 D_{0} D0的面积满足 A = σ cos ⁡ θ A=\frac{\sigma}{\cos\theta} A=cosθσ(0)

  • 从简单的情形入手,当 D D D是一个矩形(一组邻边长度分别为 a , b a,b a,b ,且有一边平行于两平面的交线 l l l(不妨设边长为 a a a的边平行于 l l l),则容易得出 A = a b A=ab A=ab, σ \sigma σ= a b cos ⁡ θ ab\cos\theta abcosθ,此时式(0)成立
  • 一般情况下,可以把 D D D划分称上述类型的 m m m个小矩形闭区域(不计含边界点的不规则部分),则小矩形闭区域面积的 A k A_{k} Ak及其投影区域的面积 σ k \sigma_{k} σk之间均符合 A k = σ k cos ⁡ θ A_{k}=\frac{\sigma_{k}}{\cos\theta} Ak=cosθσk, ( k = 1 , 2 , ⋯   , m ) (k=1,2,\cdots,m) (k=1,2,,m),从而 ∑ k = 1 m A k = ∑ i = 1 m σ k cos ⁡ θ \sum_{k=1}^{m}A_{k}=\frac{\sum_{i=1}^{m}\sigma_{k}}{\cos\theta} k=1mAk=cosθi=1mσk;再使各小闭区域的直径最大 λ → 0 \lambda\to{0} λ0,取极限得式(0)成立

曲面的面积👺

  • 设曲面 S S S由方程 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)(1)给出, D D D为曲面 S S S x O y xOy xOy面上的投影区域
    • 函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) D D D上具有连续偏导数 f x ( x , y ) , f y ( x , y ) f_{x}(x,y),f_{y}(x,y) fx(x,y),fy(x,y),求 S S S的面积 A A A
  • 在闭区域 D D D上任取一直径很小的闭区域 d σ \mathrm{d}\sigma dσ(这个小闭区域的面积也记为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ)
  • d σ \mathrm{d}\sigma dσ上任取一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y),曲面 S S S上对应地有一点 M ( x , y , f ( x , y ) ) M(x,y,f(x,y)) M(x,y,f(x,y)),点 M M M x O y xOy xOy平面上的投影即为 P P P
  • M M M处曲面的切平面设为 T T T以小闭区域 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的边界为准线,作母线平行于 z z z轴的柱面
  • 该柱面在曲面 S S S上截下一小片曲面 d s \mathrm{d}s ds(面积也记为 d s \mathrm{d}s ds),在切平面 T T T上截下一小片平面,其面积记为 d A \mathrm{d}A dA
  • 由于 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的直径很小, d A \mathrm{d}A dA可以近似代替 d s \mathrm{d}s ds
  • 设点 M M M处,曲面 S S S上的法线(指向朝上)与 z z z轴所成的角为 γ \gamma γ,
    • 易得 γ \gamma γ就是平面 T , x O y T,xOy T,xOy的夹角
    • 再由式(0),则 d A \mathrm{d}A dA= d σ cos ⁡ γ \frac{\mathrm{d}\sigma}{\cos\gamma} cosγdσ(2)
  • 方程(1)可以改写为 F ( x , y , z ) = z − f ( x , y ) F(x,y,z)=z-f(x,y) F(x,y,z)=zf(x,y)= 0 0 0,其法向量为
    • 平面 T T T的法向量, n 1 \bold{n}_1 n1= ( F x , F y , F z ) (F_{x},F_{y},F_{z}) (Fx,Fy,Fz)= ( − f x , − f y , 1 ) (-f_{x},-f_{y},1) (fx,fy,1)(3)或写作 ( − z x , − z y , 1 ) (-z_{x},-z_{y},1) (zx,zy,1)
    • 而平面 x O y xOy xOy的一个法向量可取 n 2 \bold{n}_{2} n2= ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) (0,0,1)
    • 由空间解析几何的知识,两平面的夹角为 cos ⁡ γ \cos\gamma cosγ= n 1 ⋅ n 2 ∣ n 1 ∣ ∣ n 2 ∣ \Large\frac{\bold{n}_1\cdot{\bold{n}_2}}{|\bold{n}_1||\bold{n}_2|} n1∣∣n2n1n2= 1 1 + f x 2 + f y 2 \frac{1}{\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}} 1+fx2+fy2 1(4)
  • 所以 d A \mathrm{d}A dA= 1 + f x 2 + f y 2 d σ \sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\mathrm{d}\sigma 1+fx2+fy2 dσ(5),这就是曲面 S S S的面积元素
  • 以(5)为被积表达式在闭区域 D D D上的积分,得 A = ∬ D 1 + f x 2 + f y 2 d σ A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\mathrm{d}\sigma A=D1+fx2+fy2 dσ(6),
    • A = ∬ D 1 + z x 2 + z y 2 d σ A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}\mathrm{d}\sigma A=D1+zx2+zy2 dσ
    • 也可以作 A = ∬ D 1 + ( ∂ z ∂ x ) 2 + ( ∂ z ∂ y ) 2 d x d y A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+(\frac{\partial{z}}{\partial{x}})^{2}+(\frac{\partial{z}}{\partial{y}})^{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y A=D1+(xz)2+(yz)2 dxdy(6-1),前一种更方便,后一种更正式

公式总结👺

  • 上面推导的是曲面方程 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y),并投影在 x O y xOy xOy平面的情形, A = ∬ D 1 + z x 2 + z y 2 d σ A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}\mathrm{d}\sigma A=D1+zx2+zy2 dσ即式(6)

  • 设曲面的方程 x = g ( y , z ) x=g(y,z) x=g(y,z)(7-1) y = h ( z , x ) y=h(z,x) y=h(z,x)(7-2),有和公式(6)类似的结论

    • 对于曲面(7-1)投影到 y O z yOz yOz面上,得到 A = ∬ D 1 + x y 2 + x z 2 d σ A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+x_{y}^{2}+x_{z}^{2}}\mathrm{d}\sigma A=D1+xy2+xz2 dσ, d σ \mathrm{d}\sigma dσ= d y d z \mathrm{d}y\mathrm{d}z dydz(8)
    • 对于曲面(8-1)投影到 x O z xOz xOz面上,得 A = ∬ D 1 + y x 2 + y z 2 d σ A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+y_{x}^{2}+y_{z}^{2}}\mathrm{d}\sigma A=D1+yx2+yz2 dσ, d σ \mathrm{d}\sigma dσ= d x d z \mathrm{d}x\mathrm{d}z dxdz(9)

小结

  • 假设被求面积的曲面为 Σ \Sigma Σ(通常是直角坐标方程),公式的运用需要先求 Σ \Sigma Σ在合适坐标面上的投影
  • 以投影到 z = 0 z=0 z=0面上的情形为例,构造 G = 1 + z x 2 + z y 2 G=\sqrt{1+z_{x}^2+z_{y}^2} G=1+zx2+zy2
    • 这就需要分别求出 z x z_{x} zx, z y z_{y} zy,再代入上式 G G G,
    • 再构造积分式 ∬ D x y G d σ \iint\limits_{D_{xy}}G\mathrm{d}\sigma DxyGdσ
      • 这里要注意 G G G是否为有界函数,( Σ \Sigma Σ有界不保证 G G G也有界)
      • 如果不是 G G G无界(反常二重积分),这无法直接利用上述公式计算,需要引入截面,求解 Σ \Sigma Σ的部分区域面积,创造条件使公式能够使用,再利用极限的方法间接计算

  • 求半径为 a a a的球的表面积
  • 解:建立半径为 a a a的一个球的方程 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 x^2+y^2+z^2=a^2 x2+y2+z2=a2(1),而球是对称图形,求半球的体积即可,取 z = 0 z=0 z=0面上方的半球,即 z = a 2 − x 2 − y 2 z=\sqrt{a^2-x^2-y^2} z=a2x2y2 , ( z ⩾ 0 ) (z\geqslant{0}) (z0)(1-1)
  • 则区域(1-1)在 z = 0 z=0 z=0上的投影为 D = {   ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ a 2   } D=\set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{a^2}} D={(x,y)x2+y2a2},这是一个半径为 a a a的圆形区域
    • z x z_{x} zx= − x a 2 − x 2 − y 2 -\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} a2x2y2 x, z y z_y zy= − y a 2 − x 2 − y 2 -\frac{y}{\sqrt{a^2}-x^2-y^2} a2 x2y2y(2)
    • G G G= 1 + z x 2 + z y 2 \sqrt{1+z_x^2+z_{y}^2} 1+zx2+zy2 ,代入(2),得 G G G= a a 2 − x 2 − y 2 \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} a2x2y2 a(3)
    • 函数 G G G D D D无界( a 2 − x 2 − y 2 → 0 \sqrt{a^2-x^2-y^2}\to{0} a2x2y2 0时,即 x 2 + y 2 → a 2 x^2+y^2\to{a^2} x2+y2a2, G → ∞ G\to{\infin} G),
    • ∬ D G d σ \iint\limits_{D}G\mathrm{d}\sigma DGdσ无法直接计算,因此无法直接利用曲面面积公式计算(反常二重积分)
    • 这里引入截面,使得投影区域收缩为 D 1 = {   ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ b 2   } D_{1}=\set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{b^2}} D1={(x,y)x2+y2b2}, ( 0 < b < a ) (0<b<a) (0<b<a)
      • 此时, G G G D 1 D_1 D1上是有界的
      • 先算出 D 1 D_1 D1上的部分曲面(球面)面积 A 1 A_1 A1
      • A 1 A_1 A1= ∬ D 1 G d σ \iint\limits_{D_1}G\mathrm{d}\sigma D1Gdσ
        • 该积分适合用极坐标计算, A 1 A_1 A1= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 b a a 2 − r 2 r d r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{b}\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}r\mathrm{d}r 02πdθ0ba2r2 ardr(4-1)
          • 观察这个二次积分式子,两次积分,第一次积分结果必不含 θ \theta θ,因此两次积分可以独立计算
          • A 1 A_1 A1= 2 π a ∫ 0 b r a 2 − r 2 d r 2\pi{a}\int_{0}^{b}\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}\mathrm{d}r 2πa0ba2r2 rdr= 2 π a ( a − a 2 − b 2 ) 2\pi{a}(a-\sqrt{a^2-b^2}) 2πa(aa2b2 )(4-2)
            • 其中 ∫ 0 b r a 2 − r 2 d r \int_{0}^{b}\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}\mathrm{d}r 0ba2r2 rdr= − 1 2 ∫ 0 b 1 a 2 − r 2 d ( a 2 − r 2 ) -\frac{1}{2}\int_{0}^{b}\frac{1}{\sqrt{a^2-r^2}}\mathrm{d}{(a^2-r^2)} 210ba2r2 1d(a2r2)= − a 2 − b 2 + a -\sqrt{a^2-b^2}+a a2b2 +a
      • 再令 b → a b\to{a} ba,即 A A A= lim ⁡ b → a A 1 \lim\limits_{b\to{a}}A_{1} balimA1= 2 π a 2 2\pi{a^2} 2πa2
    • 从而整个球面积为 2 A 2A 2A= 4 π a 2 4\pi{a^2} 4πa2

利用曲面的参数方程球曲面的面积

  • 此公式形式比较复杂

  • 若曲面 S S S由参数方程

    1. x = x ( u , v ) x=x(u,v) x=x(u,v)
    2. y = y ( u , v ) y=y(u,v) y=y(u,v)
    3. z = z ( u , v ) z=z(u,v) z=z(u,v)
  • 其中 ( u , v ) ∈ D (u,v)\in{D} (u,v)D给出,其中 D D D是一个平面有界闭区域,上述三个函数在 D D D上具有连续的一阶偏导数,且 ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) \frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(u,v)}} (u,v)(x,y), ∂ ( y , z ) ∂ ( u , v ) \frac{\partial{(y,z)}}{\partial{(u,v)}} (u,v)(y,z), ∂ ( z , x ) ∂ ( u , v ) \frac{\partial{(z,x)}}{\partial{(u,v)}} (u,v)(z,x)不全为0,则曲面 S S S的面积 A A A= ∬ D E G − F 2 d u d v \iint\limits_{D}\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v DEGF2 dudv(5)其中:

    • E = x u 2 + y u 2 + z u 2 E=x_{u}^2+y_{u}^2+z_{u}^2 E=xu2+yu2+zu2
    • F = x u x v + y u y v + z u z v F=x_ux_v+y_{u}y_{v}+z_uz_{v} F=xuxv+yuyv+zuzv
    • G = x v 2 + y v 2 + z v 2 G=x_{v}^2+y_{v}^2+z_{v}^{2} G=xv2+yv2+zv2

  • 同步卫星覆盖地球面积(比例)问题

    • 同步通信卫星覆盖的面积 Σ \Sigma Σ是上班求面积被半顶角为 α \alpha α的圆锥面(圆锥面过坐标原点,从球的内部向外延申)所截的部分球面
    • 可以确定 cos ⁡ α \cos\alpha cosα= R h + R \frac{R}{h+R} h+RR(1)
  • Σ \Sigma Σ的普通方程为 z = R 2 − x 2 − y 2 z=\sqrt{R^2-x^2-y^2} z=R2x2y2 , ( x 2 + y 2 ⩽ R 2 sin ⁡ 2 α ) (x^2+y^2\leqslant{R^2\sin^2\alpha}) (x2+y2R2sin2α)

    • Σ \Sigma Σ z = 0 z=0 z=0上的投影为半径为 r = R sin ⁡ α r=R\sin\alpha r=Rsinα; D = D x y D=D_{xy} D=Dxy= {   ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ R 2 sin ⁡ 2 α   } \set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{R^2\sin^2\alpha}} {(x,y)x2+y2R2sin2α}
    • 若使用普通方程的曲面面积公式, A = ∬ D 1 + z x 2 + z y 2 d σ A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}\mathrm{d}\sigma A=D1+zx2+zy2 dσ= ∬ D R R 2 − x 2 − y 2 d x d y \iint\limits_{D}\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y DR2x2y2 Rdxdy
    • 用极坐标计算得 A A A= 2 π R 2 ( 1 − cos ⁡ α ) 2\pi{R^2}(1-\cos\alpha) 2πR2(1cosα) (2),将(1)代入,得 A A A= 2 π R 2 h R + h \frac{2\pi{R^2}h}{R+h} R+h2πR2h
    • 若代入地球数据 R = 6.4 × 1 0 3 R=6.4\times{10^{3}} R=6.4×103, h = 36 × 1 0 3 h=36\times{10^{3}} h=36×103,得 A ≈ 42.5 % > 1 3 A\approx{42.5\%}>\frac{1}{3} A42.5%>31,这说明,3个同步卫星足以覆盖全球
  • Σ \Sigma Σ的参数方程为

    • x = R sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ x=R\sin\phi\cos\theta x=Rsinϕcosθ

    • y = R sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ y=R\sin\phi\sin\theta y=Rsinϕsinθ

    • z = R cos ⁡ ϕ z=R\cos\phi z=Rcosϕ

  • 其中 ( ϕ , θ ) ∈ D ϕ θ (\phi,\theta)\in{D_{\phi\theta}} (ϕ,θ)Dϕθ,而 D ϕ θ D_{\phi\theta} Dϕθ= {   ( ϕ , θ ) ∣ ϕ ∈ [ 0 , α ] , θ ∈ [ 0 , 2 π ]   } \set{(\phi,\theta)|\phi\in[0,\alpha],\theta\in[0,2\pi]} {(ϕ,θ)ϕ[0,α],θ[0,2π]}

  • E G − F 2 \sqrt{EG-F^2} EGF2 = R 2 sin ⁡ ϕ R^2\sin\phi R2sinϕ

  • A A A= ∬ D E G − F 2 d ϕ d θ \iint\limits_{D}\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta DEGF2 dϕdθ= ∬ D R 2 sin ⁡ ϕ d ϕ d θ \iint\limits_{D}R^2\sin\phi\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta DR2sinϕdϕdθ= R 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a sin ⁡ ϕ d ϕ R^2\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{a}\sin\phi\mathrm{d}\phi R202πdθ0asinϕdϕ= 2 π R 2 h R + h \frac{2\pi{R^2}h}{R+h} R+h2πR2h

posted @   xuchaoxin1375  阅读(20)  评论(0编辑  收藏  举报  
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