重积分的应用@曲面的面积计算
abstract
- 重积分的应用@曲面的面积计算
重积分的应用
- 由重积分的定义可以直接得出以下应用:
- 二重积分:
- 曲定柱体的体积
- 平面薄片的质量
- 三重积分:
- 空间物体的质量
- 将定积分中的元素法推广到重积分的应用中,利用重积分的元素法来讨论重积分在几何和物理上的一些其他应用
- 曲面的面积
- 质心
- 转动惯量
区域投影面积关系
设两平面
Π
1
,
Π
2
\Pi_1,\Pi_2
Π1,Π2的夹角为
θ
(
θ
∈
[
0
,
π
2
]
)
\theta(\theta\in{[0,\frac{\pi}{2}]})
θ(θ∈[0,2π]),并设
Π
1
\Pi_1
Π1上的闭区域
D
D
D在
Π
2
\Pi_2
Π2上的投影区域
D
0
D_{0}
D0,则
D
D
D的面积
A
A
A和
D
0
D_{0}
D0的面积满足
A
=
σ
cos
θ
A=\frac{\sigma}{\cos\theta}
A=cosθσ(0)
- 从简单的情形入手,当 D D D是一个矩形(一组邻边长度分别为 a , b a,b a,b ,且有一边平行于两平面的交线 l l l(不妨设边长为 a a a的边平行于 l l l),则容易得出 A = a b A=ab A=ab, σ \sigma σ= a b cos θ ab\cos\theta abcosθ,此时式(0)成立
- 一般情况下,可以把 D D D划分称上述类型的 m m m个小矩形闭区域(不计含边界点的不规则部分),则小矩形闭区域面积的 A k A_{k} Ak及其投影区域的面积 σ k \sigma_{k} σk之间均符合 A k = σ k cos θ A_{k}=\frac{\sigma_{k}}{\cos\theta} Ak=cosθσk, ( k = 1 , 2 , ⋯ , m ) (k=1,2,\cdots,m) (k=1,2,⋯,m),从而 ∑ k = 1 m A k = ∑ i = 1 m σ k cos θ \sum_{k=1}^{m}A_{k}=\frac{\sum_{i=1}^{m}\sigma_{k}}{\cos\theta} ∑k=1mAk=cosθ∑i=1mσk;再使各小闭区域的直径最大 λ → 0 \lambda\to{0} λ→0,取极限得式(0)成立
曲面的面积👺
- 设曲面
S
S
S由方程
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)
(1)
给出, D D D为曲面 S S S在 x O y xOy xOy面上的投影区域- 函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 D D D上具有连续偏导数 f x ( x , y ) , f y ( x , y ) f_{x}(x,y),f_{y}(x,y) fx(x,y),fy(x,y),求 S S S的面积 A A A
- 在闭区域 D D D上任取一直径很小的闭区域 d σ \mathrm{d}\sigma dσ(这个小闭区域的面积也记为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ)
- 在 d σ \mathrm{d}\sigma dσ上任取一点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y),曲面 S S S上对应地有一点 M ( x , y , f ( x , y ) ) M(x,y,f(x,y)) M(x,y,f(x,y)),点 M M M在 x O y xOy xOy平面上的投影即为 P P P
- 点 M M M处曲面的切平面设为 T T T以小闭区域 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的边界为准线,作母线平行于 z z z轴的柱面
- 该柱面在曲面 S S S上截下一小片曲面 d s \mathrm{d}s ds(面积也记为 d s \mathrm{d}s ds),在切平面 T T T上截下一小片平面,其面积记为 d A \mathrm{d}A dA
- 由于 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的直径很小, d A \mathrm{d}A dA可以近似代替 d s \mathrm{d}s ds
- 设点
M
M
M处,曲面
S
S
S上的法线(指向朝上)与
z
z
z轴所成的角为
γ
\gamma
γ,
- 易得 γ \gamma γ就是平面 T , x O y T,xOy T,xOy的夹角
- 再由式(0),则
d
A
\mathrm{d}A
dA=
d
σ
cos
γ
\frac{\mathrm{d}\sigma}{\cos\gamma}
cosγdσ
(2)
- 方程(1)可以改写为
F
(
x
,
y
,
z
)
=
z
−
f
(
x
,
y
)
F(x,y,z)=z-f(x,y)
F(x,y,z)=z−f(x,y)=
0
0
0,其法向量为
- 平面
T
T
T的法向量,
n
1
\bold{n}_1
n1=
(
F
x
,
F
y
,
F
z
)
(F_{x},F_{y},F_{z})
(Fx,Fy,Fz)=
(
−
f
x
,
−
f
y
,
1
)
(-f_{x},-f_{y},1)
(−fx,−fy,1)
(3)
或写作 ( − z x , − z y , 1 ) (-z_{x},-z_{y},1) (−zx,−zy,1) - 而平面 x O y xOy xOy的一个法向量可取 n 2 \bold{n}_{2} n2= ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) (0,0,1)
- 由空间解析几何的知识,两平面的夹角为
cos
γ
\cos\gamma
cosγ=
n
1
⋅
n
2
∣
n
1
∣
∣
n
2
∣
\Large\frac{\bold{n}_1\cdot{\bold{n}_2}}{|\bold{n}_1||\bold{n}_2|}
∣n1∣∣n2∣n1⋅n2=
1
1
+
f
x
2
+
f
y
2
\frac{1}{\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}
1+fx2+fy21
(4)
- 平面
T
T
T的法向量,
n
1
\bold{n}_1
n1=
(
F
x
,
F
y
,
F
z
)
(F_{x},F_{y},F_{z})
(Fx,Fy,Fz)=
(
−
f
x
,
−
f
y
,
1
)
(-f_{x},-f_{y},1)
(−fx,−fy,1)
- 所以
d
A
\mathrm{d}A
dA=
1
+
f
x
2
+
f
y
2
d
σ
\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\mathrm{d}\sigma
1+fx2+fy2dσ
(5)
,这就是曲面 S S S的面积元素 - 以(5)为被积表达式在闭区域
D
D
D上的积分,得
A
=
∬
D
1
+
f
x
2
+
f
y
2
d
σ
A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}\mathrm{d}\sigma
A=D∬1+fx2+fy2dσ
(6)
,- 或 A = ∬ D 1 + z x 2 + z y 2 d σ A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}\mathrm{d}\sigma A=D∬1+zx2+zy2dσ
- 也可以作
A
=
∬
D
1
+
(
∂
z
∂
x
)
2
+
(
∂
z
∂
y
)
2
d
x
d
y
A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+(\frac{\partial{z}}{\partial{x}})^{2}+(\frac{\partial{z}}{\partial{y}})^{2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y
A=D∬1+(∂x∂z)2+(∂y∂z)2dxdy
(6-1)
,前一种更方便,后一种更正式
公式总结👺
-
上面推导的是曲面方程 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y),并投影在 x O y xOy xOy平面的情形, A = ∬ D 1 + z x 2 + z y 2 d σ A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}\mathrm{d}\sigma A=D∬1+zx2+zy2dσ即式(6)
-
设曲面的方程 x = g ( y , z ) x=g(y,z) x=g(y,z)
(7-1)
或 y = h ( z , x ) y=h(z,x) y=h(z,x)(7-2)
,有和公式(6)类似的结论- 对于曲面(7-1)投影到
y
O
z
yOz
yOz面上,得到
A
=
∬
D
1
+
x
y
2
+
x
z
2
d
σ
A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+x_{y}^{2}+x_{z}^{2}}\mathrm{d}\sigma
A=D∬1+xy2+xz2dσ,
d
σ
\mathrm{d}\sigma
dσ=
d
y
d
z
\mathrm{d}y\mathrm{d}z
dydz
(8)
- 对于曲面(8-1)投影到
x
O
z
xOz
xOz面上,得
A
=
∬
D
1
+
y
x
2
+
y
z
2
d
σ
A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+y_{x}^{2}+y_{z}^{2}}\mathrm{d}\sigma
A=D∬1+yx2+yz2dσ,
d
σ
\mathrm{d}\sigma
dσ=
d
x
d
z
\mathrm{d}x\mathrm{d}z
dxdz
(9)
- 对于曲面(7-1)投影到
y
O
z
yOz
yOz面上,得到
A
=
∬
D
1
+
x
y
2
+
x
z
2
d
σ
A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+x_{y}^{2}+x_{z}^{2}}\mathrm{d}\sigma
A=D∬1+xy2+xz2dσ,
d
σ
\mathrm{d}\sigma
dσ=
d
y
d
z
\mathrm{d}y\mathrm{d}z
dydz
小结
- 假设被求面积的曲面为 Σ \Sigma Σ(通常是直角坐标方程),公式的运用需要先求 Σ \Sigma Σ在合适坐标面上的投影
- 以投影到
z
=
0
z=0
z=0面上的情形为例,构造
G
=
1
+
z
x
2
+
z
y
2
G=\sqrt{1+z_{x}^2+z_{y}^2}
G=1+zx2+zy2
- 这就需要分别求出 z x z_{x} zx, z y z_{y} zy,再代入上式 G G G,
- 再构造积分式
∬
D
x
y
G
d
σ
\iint\limits_{D_{xy}}G\mathrm{d}\sigma
Dxy∬Gdσ
- 这里要注意 G G G是否为有界函数,( Σ \Sigma Σ有界不保证 G G G也有界)
- 如果不是 G G G无界(反常二重积分),这无法直接利用上述公式计算,需要引入截面,求解 Σ \Sigma Σ的部分区域面积,创造条件使公式能够使用,再利用极限的方法间接计算
例
- 求半径为 a a a的球的表面积
- 解:建立半径为
a
a
a的一个球的方程
x
2
+
y
2
+
z
2
=
a
2
x^2+y^2+z^2=a^2
x2+y2+z2=a2
(1)
,而球是对称图形,求半球的体积即可,取 z = 0 z=0 z=0面上方的半球,即 z = a 2 − x 2 − y 2 z=\sqrt{a^2-x^2-y^2} z=a2−x2−y2, ( z ⩾ 0 ) (z\geqslant{0}) (z⩾0)(1-1)
- 则区域(1-1)在
z
=
0
z=0
z=0上的投影为
D
=
{
(
x
,
y
)
∣
x
2
+
y
2
⩽
a
2
}
D=\set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{a^2}}
D={(x,y)∣x2+y2⩽a2},这是一个半径为
a
a
a的圆形区域
-
z
x
z_{x}
zx=
−
x
a
2
−
x
2
−
y
2
-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}
−a2−x2−y2x,
z
y
z_y
zy=
−
y
a
2
−
x
2
−
y
2
-\frac{y}{\sqrt{a^2}-x^2-y^2}
−a2−x2−y2y
(2)
- 令
G
G
G=
1
+
z
x
2
+
z
y
2
\sqrt{1+z_x^2+z_{y}^2}
1+zx2+zy2,代入(2),得
G
G
G=
a
a
2
−
x
2
−
y
2
\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}
a2−x2−y2a
(3)
- 函数 G G G在 D D D上无界( a 2 − x 2 − y 2 → 0 \sqrt{a^2-x^2-y^2}\to{0} a2−x2−y2→0时,即 x 2 + y 2 → a 2 x^2+y^2\to{a^2} x2+y2→a2, G → ∞ G\to{\infin} G→∞),
- 则 ∬ D G d σ \iint\limits_{D}G\mathrm{d}\sigma D∬Gdσ无法直接计算,因此无法直接利用曲面面积公式计算(反常二重积分)
- 这里引入截面,使得投影区域收缩为
D
1
=
{
(
x
,
y
)
∣
x
2
+
y
2
⩽
b
2
}
D_{1}=\set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{b^2}}
D1={(x,y)∣x2+y2⩽b2},
(
0
<
b
<
a
)
(0<b<a)
(0<b<a)
- 此时, G G G在 D 1 D_1 D1上是有界的
- 先算出 D 1 D_1 D1上的部分曲面(球面)面积 A 1 A_1 A1
-
A
1
A_1
A1=
∬
D
1
G
d
σ
\iint\limits_{D_1}G\mathrm{d}\sigma
D1∬Gdσ
- 该积分适合用极坐标计算,
A
1
A_1
A1=
∫
0
2
π
d
θ
∫
0
b
a
a
2
−
r
2
r
d
r
\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{b}\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}r\mathrm{d}r
∫02πdθ∫0ba2−r2ardr
(4-1)
- 观察这个二次积分式子,两次积分,第一次积分结果必不含 θ \theta θ,因此两次积分可以独立计算
-
A
1
A_1
A1=
2
π
a
∫
0
b
r
a
2
−
r
2
d
r
2\pi{a}\int_{0}^{b}\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}\mathrm{d}r
2πa∫0ba2−r2rdr=
2
π
a
(
a
−
a
2
−
b
2
)
2\pi{a}(a-\sqrt{a^2-b^2})
2πa(a−a2−b2)
(4-2)
- 其中 ∫ 0 b r a 2 − r 2 d r \int_{0}^{b}\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}\mathrm{d}r ∫0ba2−r2rdr= − 1 2 ∫ 0 b 1 a 2 − r 2 d ( a 2 − r 2 ) -\frac{1}{2}\int_{0}^{b}\frac{1}{\sqrt{a^2-r^2}}\mathrm{d}{(a^2-r^2)} −21∫0ba2−r21d(a2−r2)= − a 2 − b 2 + a -\sqrt{a^2-b^2}+a −a2−b2+a
- 该积分适合用极坐标计算,
A
1
A_1
A1=
∫
0
2
π
d
θ
∫
0
b
a
a
2
−
r
2
r
d
r
\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{b}\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}r\mathrm{d}r
∫02πdθ∫0ba2−r2ardr
- 再令 b → a b\to{a} b→a,即 A A A= lim b → a A 1 \lim\limits_{b\to{a}}A_{1} b→alimA1= 2 π a 2 2\pi{a^2} 2πa2
- 从而整个球面积为 2 A 2A 2A= 4 π a 2 4\pi{a^2} 4πa2
-
z
x
z_{x}
zx=
−
x
a
2
−
x
2
−
y
2
-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}
−a2−x2−y2x,
z
y
z_y
zy=
−
y
a
2
−
x
2
−
y
2
-\frac{y}{\sqrt{a^2}-x^2-y^2}
−a2−x2−y2y
利用曲面的参数方程球曲面的面积
-
此公式形式比较复杂
-
若曲面 S S S由参数方程
- x = x ( u , v ) x=x(u,v) x=x(u,v)
- y = y ( u , v ) y=y(u,v) y=y(u,v)
- z = z ( u , v ) z=z(u,v) z=z(u,v)
-
其中 ( u , v ) ∈ D (u,v)\in{D} (u,v)∈D给出,其中 D D D是一个平面有界闭区域,上述三个函数在 D D D上具有连续的一阶偏导数,且 ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) \frac{\partial{(x,y)}}{\partial{(u,v)}} ∂(u,v)∂(x,y), ∂ ( y , z ) ∂ ( u , v ) \frac{\partial{(y,z)}}{\partial{(u,v)}} ∂(u,v)∂(y,z), ∂ ( z , x ) ∂ ( u , v ) \frac{\partial{(z,x)}}{\partial{(u,v)}} ∂(u,v)∂(z,x)不全为0,则曲面 S S S的面积 A A A= ∬ D E G − F 2 d u d v \iint\limits_{D}\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v D∬EG−F2dudv
(5)
其中:- E = x u 2 + y u 2 + z u 2 E=x_{u}^2+y_{u}^2+z_{u}^2 E=xu2+yu2+zu2
- F = x u x v + y u y v + z u z v F=x_ux_v+y_{u}y_{v}+z_uz_{v} F=xuxv+yuyv+zuzv
- G = x v 2 + y v 2 + z v 2 G=x_{v}^2+y_{v}^2+z_{v}^{2} G=xv2+yv2+zv2
例
-
同步卫星覆盖地球面积(比例)问题
- 同步通信卫星覆盖的面积 Σ \Sigma Σ是上班求面积被半顶角为 α \alpha α的圆锥面(圆锥面过坐标原点,从球的内部向外延申)所截的部分球面
- 可以确定
cos
α
\cos\alpha
cosα=
R
h
+
R
\frac{R}{h+R}
h+RR
(1)
-
Σ \Sigma Σ的普通方程为 z = R 2 − x 2 − y 2 z=\sqrt{R^2-x^2-y^2} z=R2−x2−y2, ( x 2 + y 2 ⩽ R 2 sin 2 α ) (x^2+y^2\leqslant{R^2\sin^2\alpha}) (x2+y2⩽R2sin2α)
- Σ \Sigma Σ在 z = 0 z=0 z=0上的投影为半径为 r = R sin α r=R\sin\alpha r=Rsinα; D = D x y D=D_{xy} D=Dxy= { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ R 2 sin 2 α } \set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{R^2\sin^2\alpha}} {(x,y)∣x2+y2⩽R2sin2α}
- 若使用普通方程的曲面面积公式, A = ∬ D 1 + z x 2 + z y 2 d σ A=\iint\limits_{D}\sqrt{1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}\mathrm{d}\sigma A=D∬1+zx2+zy2dσ= ∬ D R R 2 − x 2 − y 2 d x d y \iint\limits_{D}\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬R2−x2−y2Rdxdy
- 用极坐标计算得
A
A
A=
2
π
R
2
(
1
−
cos
α
)
2\pi{R^2}(1-\cos\alpha)
2πR2(1−cosα)
(2)
,将(1)代入,得 A A A= 2 π R 2 h R + h \frac{2\pi{R^2}h}{R+h} R+h2πR2h - 若代入地球数据 R = 6.4 × 1 0 3 R=6.4\times{10^{3}} R=6.4×103, h = 36 × 1 0 3 h=36\times{10^{3}} h=36×103,得 A ≈ 42.5 % > 1 3 A\approx{42.5\%}>\frac{1}{3} A≈42.5%>31,这说明,3个同步卫星足以覆盖全球
-
Σ \Sigma Σ的参数方程为
-
x = R sin ϕ cos θ x=R\sin\phi\cos\theta x=Rsinϕcosθ
-
y = R sin ϕ sin θ y=R\sin\phi\sin\theta y=Rsinϕsinθ
-
z = R cos ϕ z=R\cos\phi z=Rcosϕ
-
-
其中 ( ϕ , θ ) ∈ D ϕ θ (\phi,\theta)\in{D_{\phi\theta}} (ϕ,θ)∈Dϕθ,而 D ϕ θ D_{\phi\theta} Dϕθ= { ( ϕ , θ ) ∣ ϕ ∈ [ 0 , α ] , θ ∈ [ 0 , 2 π ] } \set{(\phi,\theta)|\phi\in[0,\alpha],\theta\in[0,2\pi]} {(ϕ,θ)∣ϕ∈[0,α],θ∈[0,2π]}
-
E G − F 2 \sqrt{EG-F^2} EG−F2= R 2 sin ϕ R^2\sin\phi R2sinϕ
-
A A A= ∬ D E G − F 2 d ϕ d θ \iint\limits_{D}\sqrt{EG-F^2}\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta D∬EG−F2dϕdθ= ∬ D R 2 sin ϕ d ϕ d θ \iint\limits_{D}R^2\sin\phi\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta D∬R2sinϕdϕdθ= R 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 a sin ϕ d ϕ R^2\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{a}\sin\phi\mathrm{d}\phi R2∫02πdθ∫0asinϕdϕ= 2 π R 2 h R + h \frac{2\pi{R^2}h}{R+h} R+h2πR2h
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