曲面积分@高斯公式及其应用

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abstract

  • 格林公式表达了平面闭区域上的二重积分和其边界曲线上的曲线积分之间的关系
  • 而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分和其边界曲面上的曲面积分之间的关系(相比于格林公式升了一维)

高斯公式(定理)👺

  • 设空间闭区域 Ω \Omega Ω是由分片光滑的闭曲面 Σ \Sigma Σ所围成,若函数 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z), Q ( x , y , z ) Q(x,y,z) Q(x,y,z), R ( x , y , z ) R(x,y,z) R(x,y,z)在 Ω \Omega Ω上具有一阶连续偏导数,则
    • ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d v \iiint_{\Omega}(\frac{\partial{P}}{\partial{x}}+\frac{\partial{Q}}{\partial{y}}+\frac{\partial{R}}{\partial{z}})\mathrm{d}v ∭Ω​(∂x∂P​+∂y∂Q​+∂z∂R​)dv= ∯ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \oiint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬ ​Σ​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy(1)
      • 简写为 ∭ Ω ( P x + Q y + R z ) d v \iiint_\Omega{(P_{x}+Q_{y}+R_{z})}\mathrm{d}v ∭Ω​(Px​+Qy​+Rz​)dv= ∯ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \oiint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬ ​Σ​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy(1')
    • 由两类曲面积分的联系公式,还可以写作
      • ∭ Ω ( P x + Q y + R z ) d v \iiint_\Omega{(P_{x}+Q_{y}+R_{z})}\mathrm{d}v ∭Ω​(Px​+Qy​+Rz​)dv= ∯ Σ ( P cos ⁡ α + Q cos ⁡ β + R cos ⁡ γ ) d S \oiint_{\Sigma}{(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)}\mathrm{d}S ∬ ​Σ​(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS(2)
    • 这类 Σ \Sigma Σ是 Ω \Omega Ω的整个边界曲面的外侧,
    • cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma cosα,cosβ,cosγ是 Σ \Sigma Σ在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的法向量的方向余弦
    • 公式(1),(2)称为高斯公式

证明

  • 设闭区域 Ω \Omega Ω在 x O y xOy xOy面上的投影区域为 D x y D_{xy} Dxy​

  • 假定穿过 Ω \Omega Ω内部且平行于 z z z轴的直线与 Ω \Omega Ω的边界曲面 Σ \Sigma Σ的交点恰好是2个

    • 从相对简单的空间区域入手

  • 这样可以设 Σ \Sigma Σ是由 Σ 1 , Σ 2 , Σ 3 \Sigma_1,\Sigma_2,\Sigma_3 Σ1​,Σ2​,Σ3​三部分组成

    • 例如一个柱体的上底面,侧面,下底面
    • 例如一个球的上半球面和下半球面中间部分面积为0

  • 设其中 Σ 1 , Σ 2 \Sigma_1,\Sigma_2 Σ1​,Σ2​分别由方程 z = z 1 ( x , y ) z=z_1(x,y) z=z1​(x,y), z = z 2 ( x , y ) z=z_2(x,y) z=z2​(x,y)给定;这里设 z 1 ⩽ z 2 z_1\leqslant{z_2} z1​⩽z2​; Σ 1 , Σ 2 \Sigma_1,\Sigma_2 Σ1​,Σ2​分别取下侧和上侧

  • Σ 3 \Sigma_3 Σ3​是以 D x y D_{xy} Dxy​的边界曲线为准线,而母线平行于 z z z轴的柱面上的一部分,取外侧

  • 根据三重积分公式

    • ∭ Ω R z d v \iiint_{\Omega} R_{z}\mathrm{d}v ∭Ω​Rz​dv= ∬ D x y ( ∫ z 1 z 2 R z d z ) d x d y \iint_{D_{xy}}(\int_{z_1}^{z_2}R_{z}\mathrm{d}z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Dxy​​(∫z1​z2​​Rz​dz)dxdy= ∬ D x y { R [ x , y , z 2 ( x , y ) ] − R [ x , y , z 1 ( x , y ) ] } d z d x d y \iint_{D_{xy}}\{R[x,y,z_2(x,y)]-R[x,y,z_1(x,y)]\}\mathrm{d}z\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Dxy​​{R[x,y,z2​(x,y)]−R[x,y,z1​(x,y)]}dzdxdy(1)

  • 根据曲面积分公式:

    • ∬ Σ 1 R d x d y \iint_{\Sigma_1}R\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Σ1​​Rdxdy= − ∬ D x y R [ x , y , z 1 ( x , y ) ] d x d y -\iint_{D_{xy}}R[x,y,z_1(x,y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y −∬Dxy​​R[x,y,z1​(x,y)]dxdy(2)
    • ∬ Σ 2 R d x d y \iint_{\Sigma_2}R\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Σ2​​Rdxdy= ∬ D x y R [ x , y , z 1 ( x , y ) ] d x d y \iint_{D_{xy}}R[x,y,z_1(x,y)]\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Dxy​​R[x,y,z1​(x,y)]dxdy(3)

  • 而 Σ 3 \Sigma_3 Σ3​上任意一块曲面在 x O y xOy xOy面上的投影为0,所以根据第二类曲面积分定义:

    • ∬ Σ 3 R d x d y \iint_{\Sigma_3}R\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Σ3​​Rdxdy=0(4)

  • 将式(2,3,4)相加,得 ∬ Σ R d x d y \iint_{\Sigma}R\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Σ​Rdxdy= ∬ D x y { R [ x , y , z 2 ( x , y ) ] − R [ x , y , z 1 ( x , y ) ] } d z d x d y \iint_{D_{xy}}\{R[x,y,z_2(x,y)]-R[x,y,z_1(x,y)]\}\mathrm{d}z\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Dxy​​{R[x,y,z2​(x,y)]−R[x,y,z1​(x,y)]}dzdxdy(5)

  • 比较式(1),(5),得 ∭ Ω R z d v \iiint_{\Omega} R_{z}\mathrm{d}v ∭Ω​Rz​dv= ∬ Σ R d x d y \iint_{\Sigma}R\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Σ​Rdxdy(6),

    • 由于右端式闭曲面,所以式(6)可以写作 ∭ Ω R z d v \iiint_{\Omega} R_{z}\mathrm{d}v ∭Ω​Rz​dv= ∯ Σ R d x d y \oiint_{\Sigma}R\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬ ​Σ​Rdxdy,(7)

其他投影面情形

  • 若穿过 Ω \Omega Ω内部且平行于 x x x轴的直线以及平行于 y y y轴的直线与 Ω \Omega Ω的边界曲面 Σ \Sigma Σ的交点也都恰好是2点,则类似地得到
    • ∭ Ω P x d v \iiint_{\Omega} P_{x}\mathrm{d}v ∭Ω​Px​dv= ∯ Σ P d y d z \oiint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z ∬ ​Σ​Pdydz,(8)
    • ∭ Ω Q y d v \iiint_{\Omega} Q_{y}\mathrm{d}v ∭Ω​Qy​dv= ∯ Σ Q d z d x \oiint_{\Sigma}Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x ∬ ​Σ​Qdzdx,(9)

小结

  • 将公式(7,8,9)两端分别相加,可得到高斯公式(1’),即(1)

曲面分割

  • 上述证明中假设了曲面满足穿过 Ω \Omega Ω内部且平行于坐标轴地直线与 Ω \Omega Ω的边界曲面的交点恰好是2点
  • 若 Ω \Omega Ω不满足这样的条件,可以引入适当的辅助曲面把 Ω \Omega Ω划分为有限个闭区域,这些闭区域都满足上述条件
  • 并注意到,沿辅曲面相反两侧的两个曲面积分的绝对值相等而符号相反,相加时正号抵消,因此公式(1)对于这样的闭区域仍然正确(这和格林公式的推导推广过程类似)

高斯公式的应用和逆向公式👺

  • 利用高斯公式,可以将闭曲面积分的计算转化为三重积分计算

  • 反之,可以将三重积分化为闭曲面积分的计算

  • 根据计算的方便性和被积曲面的封闭条件,选择是否使用高斯公式转换计算

    • ∭ Ω ( P x + Q y + R z ) d v \iiint_\Omega{(P_{x}+Q_{y}+R_{z})}\mathrm{d}v ∭Ω​(Px​+Qy​+Rz​)dv= ∯ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \oiint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬ ​Σ​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
    • ∯ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \oiint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬ ​Σ​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= ∭ Ω ( P x + Q y + R z ) d v \iiint_\Omega{(P_{x}+Q_{y}+R_{z})}\mathrm{d}v ∭Ω​(Px​+Qy​+Rz​)dv
      • 根据被积表达式面积元,分别确定 P , Q , R P,Q,R P,Q,R,并将它们依次替换为偏导数 P x , Q y , R z P_x,Q_{y},R_z Px​,Qy​,Rz​
    • ∯ Σ ( P cos ⁡ α + Q cos ⁡ β + R cos ⁡ γ ) d S \oiint_{\Sigma}{(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)}\mathrm{d}S ∬ ​Σ​(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS= ∭ Ω ( P x + Q y + R z ) d v \iiint_\Omega{(P_{x}+Q_{y}+R_{z})}\mathrm{d}v ∭Ω​(Px​+Qy​+Rz​)dv
      • 也是类似的,此时 P , Q , R P,Q,R P,Q,R是方向余弦的系数,分别求偏导替换

  • 如果曲面不是封闭的可以考虑使用补面后减回去,创造封闭条件使用高斯公式

例

  • 计算 I = ∯ Σ ( x − y ) d x d y + ( y − z ) x d y d z I=\oiint_{\Sigma}(x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+(y-z)x\mathrm{d}y\mathrm{d}z I=∬ ​Σ​(x−y)dxdy+(y−z)xdydz(1)
    • 其中 Σ \Sigma Σ为柱面 x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x2+y2=1以及平面 z = 0 , z = 3 z=0,z=3 z=0,z=3所围成的空间闭区域 Ω \Omega Ω的整个边界曲面的外侧
  • 解
    • 这是个闭曲面,可以考虑直接使用高斯公式化为三重积分计算
    • 容易确定 R = x − y R=x-y R=x−y, P = ( y − z ) x P=(y-z)x P=(y−z)x; Q = 0 Q=0 Q=0
    • 即 P x = y − z P_{x}=y-z Px​=y−z; Q y = 0 Q_{y}=0 Qy​=0; R z R_{z} Rz​= 0 0 0
    • 利用高斯公式, I I I= ∭ Ω ( y − z ) d v \iiint_{\Omega}(y-z)\mathrm{d}v ∭Ω​(y−z)dv
      • 利用柱坐标计算(积分区域易于用极坐标表示)
        • r ∈ [ 0 , 1 ] r\in[0,1] r∈[0,1]; θ ∈ [ 0 , 2 π ] \theta\in[0,2\pi] θ∈[0,2π]; z ∈ [ 0 , 3 ] z\in[0,3] z∈[0,3]
      • I I I= ∭ Ω ( ρ sin ⁡ θ − z ) ρ d ρ d θ d z \iiint_{\Omega}(\rho\sin\theta-z)\rho\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta\mathrm{d}z ∭Ω​(ρsinθ−z)ρdρdθdz= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ρ d ρ ∫ 0 3 ( ρ sin ⁡ θ − z ) d z \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}\rho\mathrm{d}\rho\int_{0}^{3}(\rho\sin\theta-z)\mathrm{d}z ∫02π​dθ∫01​ρdρ∫03​(ρsinθ−z)dz= − 9 2 π -\frac{9}{2}\pi −29​π
      • 上述积分式计算,比较快的方法是分项积分: I I I= ∭ Ω ( y ) d v \iiint_{\Omega}(y)\mathrm{d}v ∭Ω​(y)dv- ∭ Ω ( z ) d v \iiint_{\Omega}(z)\mathrm{d}v ∭Ω​(z)dv,第一项利用对称性和奇函数性质,积分结果为0,因此 I I I= − ∭ Ω z d v -\iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v −∭Ω​zdv= − ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 1 ρ d ρ ∫ 0 3 z d z -\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{1}\rho\mathrm{d}\rho\int_{0}^{3}z\mathrm{d}z −∫02π​dθ∫01​ρdρ∫03​zdz
        • 观察这个积分,其实很好算,三次积分,每次都可以独立计算
        • − ( θ ∣ 0 2 π ⋅ 1 2 ρ 2 ∣ 0 1 ⋅ 1 2 z 2 ∣ 0 3 ) -(\theta|_{0}^{2\pi}\cdot{\frac{1}{2}}\rho^2|_{0}^{1}\cdot{\frac{1}{2}z^2|_{0}^{3}}) −(θ∣02π​⋅21​ρ2∣01​⋅21​z2∣03​)= − ( 2 π ⋅ 1 2 ⋅ 9 2 ) -(2\pi\cdot{\frac{1}{2}}\cdot{\frac{9}{2}}) −(2π⋅21​⋅29​)= − 9 π 2 -\frac{9\pi}{2} −29π​

例

  • 利用高斯公式计算 I = ∬ Σ ( x 2 cos ⁡ α + y 2 cos ⁡ β + z 2 cos ⁡ γ ) d S I=\iint_{\Sigma}(x^2\cos\alpha+y^2\cos\beta+z^2\cos\gamma)\mathrm{d}S I=∬Σ​(x2cosα+y2cosβ+z2cosγ)dS
    • 其中 Σ \Sigma Σ为锥面 x 2 + y 2 = z 2 x^2+y^2=z^2 x2+y2=z2介于平面 z = 0 z=0 z=0以及平面 z = h z=h z=h, ( h > 0 ) (h>0) (h>0)之间的部分的下侧;
    • cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma cosα,cosβ,cosγ是 Σ \Sigma Σ在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的法向量的方向余弦
  • 解:由于曲面 Σ \Sigma Σ不是封闭曲面,故不能直接利用高斯公式
    • 若设有向曲面 Σ 1 \Sigma_1 Σ1​为平面 z = h z=h z=h的上侧 ( x 2 + y 2 ⩽ h 2 ) (x^2+y^2\leqslant{h^2}) (x2+y2⩽h2)
    • 则 Σ , Σ 1 \Sigma,\Sigma_1 Σ,Σ1​一起构成一个封闭曲面,记它们围成的空间闭区域为 Ω \Omega Ω,利用高斯公式:
      • P = x 2 P=x^2 P=x2, Q = y 2 Q=y^2 Q=y2, R R R= z 2 z^2 z2
      • I 1 I_1 I1​= ∯ Σ + Σ 1 ( x 2 cos ⁡ α + y 2 cos ⁡ β + z 2 cos ⁡ γ ) d S \oiint_{\Sigma+\Sigma_1}(x^2\cos\alpha+y^2\cos\beta+z^2\cos\gamma)\mathrm{d}S ∬ ​Σ+Σ1​​(x2cosα+y2cosβ+z2cosγ)dS= ∭ Ω 2 ( x + y + z ) d v \iiint_{\Omega}2(x+y+z)\mathrm{d}v ∭Ω​2(x+y+z)dv
        • 注意到积分区域的对称性和奇偶性, x + y x+y x+y的积分为0,即 I 0 I_0 I0​= 2 ∭ Ω ( x + y ) d v 2\iiint_{\Omega}(x+y)\mathrm{d}v 2∭Ω​(x+y)dv=0
        • I 1 I_1 I1​= 2 ∭ Ω z d v 2\iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v 2∭Ω​zdv= 1 2 π h 4 \frac{1}{2}\pi{h^4} 21​πh4,这个积分的计算过程和方法放在末尾
      • I 2 = ∬ Σ 1 ( x 2 cos ⁡ α + y 2 cos ⁡ β + z 2 cos ⁡ γ ) d S I_2=\iint_{\Sigma_1}(x^2\cos\alpha+y^2\cos\beta+z^2\cos\gamma)\mathrm{d}S I2​=∬Σ1​​(x2cosα+y2cosβ+z2cosγ)dS
        • Σ 1 \Sigma_1 Σ1​的一个法向量为 ( 0 , 0 , 1 ) (0,0,1) (0,0,1), cos ⁡ α = cos ⁡ β = 0 \cos\alpha=\cos\beta=0 cosα=cosβ=0, cos ⁡ γ \cos\gamma cosγ= 1 1 1
        • 而 Σ 1 \Sigma_1 Σ1​的方程为 z = h z=h z=h,则 1 + z x 2 + z y 2 = 1 \sqrt{1+z_x^2+z_{y}^2}=1 1+zx2​+zy2​ ​=1
        • 由 Σ 1 \Sigma_1 Σ1​在各坐标面投影中仅 d x d y ≠ 0 \mathrm{d}x\mathrm{d}y\neq{0} dxdy=0;而所以
          • I 2 I_2 I2​= ∬ Σ 1 z 2 d S \iint_{\Sigma_{1}}z^{2}\mathrm{d}S ∬Σ1​​z2dS
        • 再由第一类曲面积分公式
          • I 2 I_2 I2​= ∬ D x y h 2 d x d y \iint_{D_{xy}}h^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Dxy​​h2dxdy= π h 4 \pi{h^4} πh4
      • I I I= I 1 − I 2 I_1-I_2 I1​−I2​= 1 2 π h 4 \frac{1}{2}\pi{h^4} 21​πh4- π h 4 \pi{h^4} πh4= − 1 2 π h 4 -\frac{1}{2}\pi{h^4} −21​πh4
附:计算 I 1 I_1 I1​的过程和方法
  1. 这个积分的可以用直角坐标方法中的先一后二
    • I 1 I_1 I1​= 2 ∬ D x y d x d y ∫ x 2 + y 2 h z d z 2\iint_{D_{xy}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{h}z\mathrm{d}z 2∬Dxy​​dxdy∫x2+y2 ​h​zdz= ∬ D x y ( h 2 − x 2 − y 2 ) \iint_{D_{xy}}(h^2-x^2-y^2) ∬Dxy​​(h2−x2−y2),再用极坐标的方法计算这二重积分 I 1 I_1 I1​= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 h ( h 2 − r 2 ) r d r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{h}(h^2-r^2)r\mathrm{d}r ∫02π​dθ∫0h​(h2−r2)rdr= π 2 h 4 \frac{\pi}{2}h^4 2π​h4
  2. 而先二后一更加简单方便(推荐)
    • 注意此时 D z : x 2 + y 2 = z 2 D_{z}:x^2+y^2=z^2 Dz​:x2+y2=z2.对应投影的面积为 π z 2 \pi z^2 πz2
      • 而不是 D x y : x 2 + y 2 = h 2 D_{xy}:x^2+y^2=h^2 Dxy​:x2+y2=h2
    • I 1 I_{1} I1​= 2 ∫ 0 h z d z ∬ D z d x d y 2\int_{0}^{h}z\mathrm{d}z\iint_{D_{z}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y 2∫0h​zdz∬Dz​​dxdy= 2 ( ∫ 0 h π z 3 d z ) 2(\int_{0}^{h}\pi{z^3}\mathrm{d}z) 2(∫0h​πz3dz)= 2 π 1 4 h 4 2\pi\frac{1}{4}h^4 2π41​h4= π 2 h 4 \frac{\pi}{2}h^4 2π​h4
  3. 也可以直接用柱面坐标计算
    • 锥面方程的柱面坐标表示 r 2 = z 2 r^2=z^2 r2=z2,取 r = z r=z r=z
    • r ∈ [ 0 , z ] r\in[0,z] r∈[0,z](从 z z z轴到锥面的距离)
    • θ ∈ [ 0 , 2 π ] \theta\in[0,2\pi] θ∈[0,2π]
    • z ∈ [ 0 , h ] z\in[0,h] z∈[0,h]
    • I 1 I_1 I1​= 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 z r d r ∫ 0 h z d z 2\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{z}r\mathrm{d}r\int_{0}^{h}z\mathrm{d}z 2∫02π​dθ∫0z​rdr∫0h​zdz= 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 h 1 2 z 3 d z 2\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{h}\frac{1}{2}z^3\mathrm{d}z 2∫02π​dθ∫0h​21​z3dz= 1 2 π h 4 \frac{1}{2}\pi{h^4} 21​πh4(注意积分次序的调整)
  4. 球坐标
    • 球坐标的坐标面 ϕ = ϕ 0 \phi=\phi_0 ϕ=ϕ0​就表示的是锥面
    • 令 x = 0 x=0 x=0截锥面(得到柱面在 x = 0 x=0 x=0坐标面上的投影), y 2 = z 2 y^2=z^2 y2=z2,直线 z = ± y z=\pm{y} z=±y在 y O z yOz yOz面上是斜率绝对值为1的直线,可得 ϕ 0 = π 4 \phi_0=\frac{\pi}{4} ϕ0​=4π​
    • 而 cos ⁡ ϕ 0 \cos\phi_0 cosϕ0​= h r \frac{h}{r} rh​= 2 2 \frac{\sqrt 2}{2} 22 ​​,即 r r r= 2 h \sqrt{2}h 2 ​h
    • 顶部曲面的球坐标描述满足 cos ⁡ α = h r \cos\alpha=\frac{h}{r} cosα=rh​,即 r r r= h cos ⁡ ϕ \frac{h}{\cos\phi} cosϕh​
    • θ ∈ [ 0 , 2 π ] \theta\in[0,2\pi] θ∈[0,2π]. ϕ ∈ [ 0 , π 4 ] \phi\in[0,\frac{\pi}{4}] ϕ∈[0,4π​], r ∈ [ 0 , h cos ⁡ ϕ ] r\in[0,\frac{h}{\cos\phi}] r∈[0,cosϕh​]
    • I 1 I_1 I1​= 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π 4 d ϕ ∫ 0 h cos ⁡ ϕ r cos ⁡ ϕ ⋅ r 2 sin ⁡ ϕ d r 2\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\mathrm{d}\phi\int_{0}^{\frac{h}{\cos\phi}}r\cos\phi\cdot{r^2\sin\phi}\mathrm{d}r 2∫02π​dθ∫04π​​dϕ∫0cosϕh​​rcosϕ⋅r2sinϕdr
      • = 4 π ⋅ ∫ 0 π 4 [ 1 4 r 4 ∣ 0 h cos ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ ] d ϕ 4\pi\cdot\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}[\frac{1}{4}r^{4}|_{0}^{\frac{h}{\cos\phi}}\cos\phi\sin\phi]\mathrm{d}\phi 4π⋅∫04π​​[41​r4∣0cosϕh​​cosϕsinϕ]dϕ= π 2 h 4 ∫ 0 π 4 sin ⁡ 2 ϕ cos ⁡ 4 ϕ d ϕ \frac{\pi}{2}h^4 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin{2\phi}}{\cos^{4}\phi}\mathrm{d}\phi 2π​h4∫04π​​cos4ϕsin2ϕ​dϕ
      • 这个积分算起来就费劲一些
        • ∫ 0 π 4 sin ⁡ 2 ϕ cos ⁡ 4 ϕ d ϕ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin{2\phi}}{\cos^{4}\phi}\mathrm{d}\phi ∫04π​​cos4ϕsin2ϕ​dϕ= 2 ∫ 0 π 4 sin ⁡ ϕ cos ⁡ 3 ϕ d ϕ 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin{\phi}}{\cos^{3}\phi}\mathrm{d}\phi 2∫04π​​cos3ϕsinϕ​dϕ= 2 ∫ 0 π 4 tan ⁡ ϕ d ( tan ⁡ ϕ ) 2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan\phi\mathrm{d}(\tan\phi) 2∫04π​​tanϕd(tanϕ)= 2 1 2 tan ⁡ ϕ ∣ 0 π 4 2\frac{1}{2}\tan{\phi}|_{0}^{\frac{\pi}{4}} 221​tanϕ∣04π​​= 1 1 1
        • 注意 ∫ 1 c o s 2 ϕ d ϕ \int\frac{1}{cos^2\phi}\mathrm{d}\phi ∫cos2ϕ1​dϕ= ∫ sec ⁡ 2 ϕ d ϕ \int{\sec^2\phi}\mathrm{d}\phi ∫sec2ϕdϕ= tan ⁡ ϕ + C \tan{\phi}+C tanϕ+C
      • 所以 I 1 I_1 I1​= 1 2 π h 4 \frac{1}{2}\pi{h^4} 21​πh4
  • 小结:上述4种计算方法,最方便的是方法2

格林第一公式

  • 设函数 u ( x , y , z ) u(x,y,z) u(x,y,z)和 v ( x , y , z ) v(x,y,z) v(x,y,z)在闭区域 Ω \Omega Ω上由一阶和二阶连续偏导数,求证
    • ∭ Ω u Δ v d x d y d z \iiint_{\Omega} u\Delta{v}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z ∭Ω​uΔvdxdydz= ∯ Σ u v n d S \oiint_{\Sigma} uv_{n}\mathrm{d}S ∬ ​Σ​uvn​dS- ∭ Ω ( u x v x + u y v y + u z v z ) d x d y d z \iiint_{\Omega}(u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}+u_{z}v_{z})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z ∭Ω​(ux​vx​+uy​vy​+uz​vz​)dxdydz(1)
      • 该公式称为格林第一公式
      • 其中 Σ \Sigma Σ是闭区域 Ω \Omega Ω的整个边界区面, u n u_{n} un​为函数 v ( x , y , z ) v(x,y,z) v(x,y,z)沿 Σ \Sigma Σ的外法线方向的方向导数
      • 公式左端中出现的符号 Δ \Delta Δ= ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 \frac{\partial^{2}}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial{z^2}} ∂x2∂2​+∂y2∂2​+∂z2∂2​称为Laplace算子,即
        • Δ v \Delta{v} Δv= ∂ 2 ∂ x 2 v + ∂ 2 ∂ y 2 v + ∂ 2 ∂ z 2 v \frac{\partial^{2}}{\partial{x^2}}v+\frac{\partial^{2}}{\partial{y^2}}v+\frac{\partial^{2}}{\partial{z^2}}v ∂x2∂2​v+∂y2∂2​v+∂z2∂2​v= v x x + v y y + v z z v_{xx}+v_{yy}+v_{zz} vxx​+vyy​+vzz​(1-1)
  • 证明
    • 设 cos ⁡ α , cos ⁡ β , cos ⁡ γ \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma cosα,cosβ,cosγ是 Σ \Sigma Σ在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的外法线向量的方向余弦
    • 方向导数 v n v_{n} vn​= v x cos ⁡ α + v y cos ⁡ β + v z cos ⁡ γ v_{x}\cos\alpha+v_{y}\cos\beta+v_{z}\cos\gamma vx​cosα+vy​cosβ+vz​cosγ(2)
    • 于是曲面积分: ∯ Σ u v n d S \oiint_{\Sigma} uv_{n}\mathrm{d}S ∬ ​Σ​uvn​dS= ∯ Σ u ( v x cos ⁡ α + v y cos ⁡ β + v z cos ⁡ γ ) d S \oiint_{\Sigma} u(v_{x}\cos\alpha+v_{y}\cos\beta+v_{z}\cos\gamma)\mathrm{d}S ∬ ​Σ​u(vx​cosα+vy​cosβ+vz​cosγ)dS= ∯ Σ ( u v x cos ⁡ α + u v y cos ⁡ β + u v z cos ⁡ γ ) d S \oiint_{\Sigma} (uv_{x}\cos\alpha+uv_{y}\cos\beta+uv_{z}\cos\gamma)\mathrm{d}S ∬ ​Σ​(uvx​cosα+uvy​cosβ+uvz​cosγ)dS(3)
    • 对(3)利用高斯公式: ∯ Σ u v n d S \oiint_{\Sigma} uv_{n}\mathrm{d}S ∬ ​Σ​uvn​dS= ∯ Σ ( ( u v x ) x + ( u v y ) y + ( u v z ) z ) d S \oiint_{\Sigma} ((uv_{x})_{x}+(uv_{y})_{y}+(uv_{z})_{z})\mathrm{d}S ∬ ​Σ​((uvx​)x​+(uvy​)y​+(uvz​)z​)dS= ∯ Σ u ( v x x + v y y + v z z ) d x d y d z \oiint_{\Sigma} u(v_{xx}+v_{yy}+v_{zz}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z ∬ ​Σ​u(vxx​+vyy​+vzz​)dxdydz+ ∯ Σ ( u x v x + u y v y + u z v z ) d x d y d z \oiint_{\Sigma} (u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}+u_{z}v_{z}) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z ∬ ​Σ​(ux​vx​+uy​vy​+uz​vz​)dxdydz(4)
      • 其中: ( u v x ) x + ( u v y ) y + ( u v z ) z (uv_{x})_{x}+(uv_{y})_{y}+(uv_{z})_{z} (uvx​)x​+(uvy​)y​+(uvz​)z​= u x v x + u v x x u_xv_{x}+uv_{xx} ux​vx​+uvxx​+ u y v y + u v y y u_{y}v_{y}+uv_{yy} uy​vy​+uvyy​+ u z v z + u v z z u_{z}v_{z}+uv_{zz} uz​vz​+uvzz​
        • = u ( v x x + v y y + v z z ) u(v_{xx}+v_{yy}+v_{zz}) u(vxx​+vyy​+vzz​)+ ( u x v x + u y v y + u z v z ) (u_{x}v_{x}+u_{y}v_{y}+u_{z}v_{z}) (ux​vx​+uy​vy​+uz​vz​)
      • 将式(1-1)代入式(4),并移项,即得式(1)
posted @   xuchaoxin1375  阅读(39)  评论(0)  编辑  收藏  举报  
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