空间连通区域@曲面积分为零问题@通量和散度@高斯公式物理意义
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沿任意闭曲面的曲面积分为0的条件
- 与讨论曲线积分中闭曲线积分为0的问题类似,这里讨论曲面积分
- ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \iint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy与具体的曲面 Σ \Sigma Σ无关而只取决于** Σ \Sigma Σ的边界曲线**的条件
- 即探索沿任意闭曲面的曲面积分为0的条件
- 这个问题可用高斯公式解决
空间连通区域概念
- 对空间区域 G G G,若 G G G内任一闭曲面 Σ \Sigma Σ所围成的区域全属于G,则称 G G G是空间二维单连通区域
- 若
G
G
G内任一闭曲线
L
L
L总是可以张成一片完全属于
G
G
G的曲面,称
G
G
G是空间一维单连通区域
- 注意是可以张成一张(存在一张)曲面,而不要求任意张成的曲面,更不要求平面
- 例如吹泡泡的情形,
小结
- 空间一维单连通区域考察的是闭曲面围成区域(闭曲面确定后,所围成的空间区域就唯一确定;而空间二维单连通区域考察闭曲线张成的曲面(可以张成无数张曲面中存在一张属于 G G G即可)
例
- 球面所围成的区域既是空间二维单连通的,又是空间一维单连通的
- 环面所围成的区域是空间二维单连通的,但不是空间一维单连通的
- 两个同心球面之间的区域是空间一维单连通的,但不是空间二维单连通的
充要条件定理
- 设
G
G
G是空间二维单连通区域,若
P
(
x
,
y
,
z
)
P(x,y,z)
P(x,y,z),
Q
(
x
,
y
,
z
)
Q(x,y,z)
Q(x,y,z)与
R
(
x
,
y
,
z
)
R(x,y,z)
R(x,y,z)在
G
G
G内具有一阶连续偏导数,则曲面积分
∬
Σ
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y
\iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y
Σ∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
(1)“在 G G G内与所取曲面 Σ \Sigma Σ无关而只取决于 Σ \Sigma Σ的边界曲线”(或"沿 G G G内任一闭曲面的曲面积分为0"这种说法更加便于推理)的充要条件为 P x + Q y + R z = 0 P_x+Q_{y}+R_{z}=0 Px+Qy+Rz=0(2)在 G G G内恒成立
证明
- 充分性:若(2)在 G G G内恒成立,则由高斯公式,立即推出沿 G G G内任意闭曲面的曲面积分为0,即 ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= ∭ Ω ( P x + Q y + R z ) d v \iiint_{\Omega}(P_x+Q_{y}+R_{z})\mathrm{d}v ∭Ω(Px+Qy+Rz)dv= 0 0 0
- 必要性:反证法
- 设沿 G G G内任一闭曲线的曲面积分为0,若(2)式在 G G G内不恒成立,即存在 M 0 ∈ G M_{0}\in{G} M0∈G,s.t. ( P x + Q y + R z ) M 0 ≠ 0 (P_x+Q_{y}+R_{z})_{M_{0}}\neq{0} (Px+Qy+Rz)M0=0,与求证平面上曲线积分和路径无关条件时类似,可得出假设不成立,即 G G G内存在着某个闭曲面使得沿该闭曲面的积分不等于0,因而与假设矛盾,说明条件(2)是必要的
通量和散度
- 曲面积分的应用
流量(通量)
- 设向量场
A
(
x
,
y
,
z
)
\bold{A}(x,y,z)
A(x,y,z)=
P
(
x
,
y
,
z
)
i
P(x,y,z)\bold{i}
P(x,y,z)i+
Q
(
x
,
y
,
z
)
j
Q(x,y,z)\bold{j}
Q(x,y,z)j+
R
(
x
,
y
,
z
)
k
R(x,y,z)\bold{k}
R(x,y,z)k
(1)- 其中
P
,
Q
,
R
P,Q,R
P,Q,R均具有一阶来连续偏导数,
Σ
\Sigma
Σ是场内的一片有向曲面;
n
\bold{n}
n是
Σ
\Sigma
Σ在点
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)处的单位法向量,在积分
∬
Σ
A
⋅
n
d
S
\iint_{\Sigma}\bold{A\cdot{n}}\mathrm{d}S
∬ΣA⋅ndS
(2)称为向量场 A \bold{A} A通过曲面 Σ \Sigma Σ向指定侧的通量(流量)
- 其中
P
,
Q
,
R
P,Q,R
P,Q,R均具有一阶来连续偏导数,
Σ
\Sigma
Σ是场内的一片有向曲面;
n
\bold{n}
n是
Σ
\Sigma
Σ在点
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)处的单位法向量,在积分
∬
Σ
A
⋅
n
d
S
\iint_{\Sigma}\bold{A\cdot{n}}\mathrm{d}S
∬ΣA⋅ndS
- 由两类曲面积分的关系,通量又可以表示为
-
Φ
\Phi
Φ=
∬
Σ
A
⋅
n
d
S
\iint\limits_{\Sigma}\bold{A}\cdot\bold{n}\mathrm{d}{S}
Σ∬A⋅ndS=
∬
Σ
A
⋅
d
S
\iint\limits_{\Sigma}\bold{A}\cdot\mathrm{d}\bold{S}
Σ∬A⋅dS=
∬
Σ
A
n
d
S
\iint\limits_{\Sigma}A_{n}\mathrm{d}S
Σ∬AndS=
∬
Σ
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y
\iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y
Σ∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
(3)
-
Φ
\Phi
Φ=
∬
Σ
A
⋅
n
d
S
\iint\limits_{\Sigma}\bold{A}\cdot\bold{n}\mathrm{d}{S}
Σ∬A⋅ndS=
∬
Σ
A
⋅
d
S
\iint\limits_{\Sigma}\bold{A}\cdot\mathrm{d}\bold{S}
Σ∬A⋅dS=
∬
Σ
A
n
d
S
\iint\limits_{\Sigma}A_{n}\mathrm{d}S
Σ∬AndS=
∬
Σ
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y
\iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y
Σ∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
例
- 求向量场
A
\bold{A}
A=
y
z
j
+
z
2
k
yz\bold{j}+z^2\bold{k}
yzj+z2k
(1)穿过曲面 Σ \Sigma Σ流向上侧的通量,- 其中
Σ
\Sigma
Σ为半侧柱面
y
2
+
z
2
=
1
y^2+z^2=1
y2+z2=1,
(
z
⩾
0
)
(z\geqslant{0})
(z⩾0)
(2)被平面 x = 0 , x = 1 x=0,x=1 x=0,x=1截下的有限部分
- 其中
Σ
\Sigma
Σ为半侧柱面
y
2
+
z
2
=
1
y^2+z^2=1
y2+z2=1,
(
z
⩾
0
)
(z\geqslant{0})
(z⩾0)
- 解
- 曲面
Σ
\Sigma
Σ上侧的法向量可以由
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f(x,y,z)=
y
2
+
z
2
y^2+z^2
y2+z2的梯度
∇
f
\nabla{f}
∇f得出,且其法向量表示为
n
\bold{n}
n=
∇
f
∣
∇
f
∣
\frac{\nabla{f}}{|\nabla{f}|}
∣∇f∣∇f=
2
y
j
+
2
z
(
k
)
(
2
y
)
2
+
(
2
z
)
2
\frac{2y\bold{j}+2z(\bold{k})}{\sqrt{(2y)^2+(2z)^2}}
(2y)2+(2z)22yj+2z(k)=
y
j
+
z
k
y
2
+
z
2
\frac{y\bold{j}+z\bold{k}}{\sqrt{y^2+z^2}}
y2+z2yj+zk,代入(2),得
n
\bold{n}
n=
y
j
+
z
k
y\bold{j}+z\bold{k}
yj+zk
(3) -
A
⋅
n
\bold{A\cdot{n}}
A⋅n=
y
2
z
+
z
3
y^2z+z^3
y2z+z3=
z
(
x
2
+
y
2
)
z(x^2+y^2)
z(x2+y2),代入(2),得
A
⋅
n
=
z
\bold{A\cdot{n}}=z
A⋅n=z
(4) - Φ \Phi Φ= ∬ Σ A ⋅ n d S \iint\limits_{\Sigma}\bold{A}\cdot\bold{n}\mathrm{d}{S} Σ∬A⋅ndS= ∬ Σ z d S \iint\limits_{\Sigma}z\mathrm{d}{S} Σ∬zdS= ∬ D x y 1 − y 2 1 1 − y 2 d S \iint\limits_{D_{xy}}\sqrt{1-y^2}\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\mathrm{d}{S} Dxy∬1−y21−y21dS= ∬ D x y 1 d S \iint\limits_{D_{xy}}1\mathrm{d}{S} Dxy∬1dS=2
- 计算分析和过程
- 将式(2)变形为 z = 1 − y 2 z=\sqrt{1-y^2} z=1−y2
- 1 + z x 2 + z y 2 \sqrt{1+z_{x}^2+z_{y}^2} 1+zx2+zy2= 1 + 0 + y 2 1 − y 2 \sqrt{1+0+\frac{y^2}{1-y^2}} 1+0+1−y2y2= 1 − y 2 + y 2 1 − y 2 \sqrt{\frac{1-y^2+y^2}{1-y^2}} 1−y21−y2+y2= 1 1 − y 2 \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} 1−y21
- 确定 D x y D_{xy} Dxy时,用截面 z = 0 z=0 z=0截取(代入)方程(2),得 y = ± 1 y=\pm{1} y=±1,分别和直线 x = 0 , 1 x=0,1 x=0,1相交,这四条 x O y xOy xOy面上得直线,围成一个矩形,面积为 2 2 2
- 曲面
Σ
\Sigma
Σ上侧的法向量可以由
f
(
x
,
y
,
z
)
f(x,y,z)
f(x,y,z)=
y
2
+
z
2
y^2+z^2
y2+z2的梯度
∇
f
\nabla{f}
∇f得出,且其法向量表示为
n
\bold{n}
n=
∇
f
∣
∇
f
∣
\frac{\nabla{f}}{|\nabla{f}|}
∣∇f∣∇f=
2
y
j
+
2
z
(
k
)
(
2
y
)
2
+
(
2
z
)
2
\frac{2y\bold{j}+2z(\bold{k})}{\sqrt{(2y)^2+(2z)^2}}
(2y)2+(2z)22yj+2z(k)=
y
j
+
z
k
y
2
+
z
2
\frac{y\bold{j}+z\bold{k}}{\sqrt{y^2+z^2}}
y2+z2yj+zk,代入(2),得
n
\bold{n}
n=
y
j
+
z
k
y\bold{j}+z\bold{k}
yj+zk
散度和高斯公式的物理意义
借助速度场讨论
-
速度是矢量(属于向量的范畴)
-
高斯公式: ∭ Ω ( P x + Q y + R z ) d v \iiint_\Omega{(P_{x}+Q_{y}+R_{z})}\mathrm{d}v ∭Ω(Px+Qy+Rz)dv= ∯ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \oiint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy
(0) -
设在闭区域 Ω \Omega Ω上由稳定流动的不可压缩的流体(设流体密度为1)的速度场为
-
v
(
x
,
y
,
z
)
\bold{v}(x,y,z)
v(x,y,z)=
P
(
x
,
y
,
z
)
i
P(x,y,z)\bold{i}
P(x,y,z)i+
Q
(
x
,
y
,
z
)
j
Q(x,y,z)\bold{j}
Q(x,y,z)j+
R
(
x
,
y
,
z
)
k
R(x,y,z)\bold{k}
R(x,y,z)k
(1)
-
v
(
x
,
y
,
z
)
\bold{v}(x,y,z)
v(x,y,z)=
P
(
x
,
y
,
z
)
i
P(x,y,z)\bold{i}
P(x,y,z)i+
Q
(
x
,
y
,
z
)
j
Q(x,y,z)\bold{j}
Q(x,y,z)j+
R
(
x
,
y
,
z
)
k
R(x,y,z)\bold{k}
R(x,y,z)k
-
其中函数 P , Q , R P,Q,R P,Q,R均具有一阶连续偏导数, Σ \Sigma Σ是闭区域 Ω \Omega Ω的边界曲面的外侧
-
n \bold{n} n是曲面 Σ \Sigma Σ在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的单位法向量,则由第二类曲面积分在流量问题的直接应用,和第一类曲面积分的向量形式,单位时间内经过曲面 Σ \Sigma Σ流向指定侧的流体总质量就是:
-
∬
Σ
v
⋅
n
d
S
\iint_{\Sigma}\bold{v\cdot{n}}\mathrm{d}S
∬Σv⋅ndS=
∬
Σ
v
n
d
S
\iint_{\Sigma}v_{n}\mathrm{d}S
∬ΣvndS=
∬
Σ
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y
\iint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy
(2) - 其中 v ⋅ n \bold{v\cdot{n}} v⋅n= v n v_{n} vn,恰好是 v \bold{v} v在单位向量 n \bold{n} n的投影
-
∬
Σ
v
⋅
n
d
S
\iint_{\Sigma}\bold{v\cdot{n}}\mathrm{d}S
∬Σv⋅ndS=
∬
Σ
v
n
d
S
\iint_{\Sigma}v_{n}\mathrm{d}S
∬ΣvndS=
∬
Σ
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y
\iint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy
-
因此高斯公式的右端可以解释为
- 速度场 v \bold{v} v通过闭曲面 Σ \Sigma Σ流向外侧的通量
- 即流体在单位时间内离开闭区域 Ω \Omega Ω的总质量
-
另一方,由于我们假定流体是不可压缩且流动稳定,因此在流体离开 Ω \Omega Ω的同时, Ω \Omega Ω内部必须有产生流体的源头产生出同样多的流体进行补充
-
因此高斯公式左端可以解释为
- 分布在 Ω \Omega Ω内的流体源头在单位时间内所产生的流体的总质量
-
用公式(2)改写高斯公式(0),得 ∭ Ω ( P x + Q y + R z ) d v \iiint_\Omega{(P_{x}+Q_{y}+R_{z})}\mathrm{d}v ∭Ω(Px+Qy+Rz)dv= ∯ Σ v n d S \oiint_{\Sigma}v_{n}\mathrm{d}S ∬ΣvndS
(3)(右端是闭曲面积分) -
设闭区域的体积为 V V V,同时除式(3),得 1 V ∭ Ω ( P x + Q y + R z ) d v \frac{1}{V} \iiint_\Omega{(P_{x}+Q_{y}+R_{z})}\mathrm{d}v V1∭Ω(Px+Qy+Rz)dv= 1 V ∯ Σ v n d S \frac{1}{V}\oiint_{\Sigma}v_{n}\mathrm{d}S V1∬ΣvndS
(4) -
式(4)左端表示: Ω \Omega Ω内的源头在单位时间和单位体积内所产生的流体的质量的平均值(而不仅仅是密度)
-
对(4)应用积分中值定理
- 存在 P 0 = ( ξ , η , ζ ) ∈ Ω P_{0}=(\xi,\eta,\zeta)\in{\Omega} P0=(ξ,η,ζ)∈Ω,s.t. V ⋅ [ 1 V ( P x + Q y + R z ) ] ∣ P 0 V\cdot[\frac{1}{V}(P_x+Q_{y}+R_{z})]|_{P_{0}} V⋅[V1(Px+Qy+Rz)]∣P0= 1 V ∯ Σ v n d S \frac{1}{V}\oiint_{\Sigma}v_{n}\mathrm{d}S V1∬ΣvndS,
- 即
(
P
x
+
Q
y
+
R
z
)
∣
P
0
(P_x+Q_{y}+R_{z})|_{P_{0}}
(Px+Qy+Rz)∣P0=
1
V
∯
Σ
v
n
d
S
\frac{1}{V}\oiint_{\Sigma}v_{n}\mathrm{d}S
V1∬ΣvndS
(5)
-
令 Ω \Omega Ω缩向一点 M ( x , y , z ) M(x,y,z) M(x,y,z),取(5)式极限,得 P x + Q y + R z P_x+Q_{y}+R_{z} Px+Qy+Rz= lim Ω → M 1 V ∯ Σ v n d S \lim\limits_{\Omega\to{M}} \frac{1}{V}\oiint_{\Sigma}v_{n}\mathrm{d}S Ω→MlimV1∬ΣvndS
(6) -
式(6)左端称为速度场 v \boldsymbol{v} v在 M M M的通量密度或散度,记为 d i v v ( M ) \mathrm{div}\;\boldsymbol{v}(M) divv(M),即 d i v v ( M ) \mathrm{div}\;\boldsymbol{v}(M) divv(M)= P x + Q y + R z P_{x}+Q_{y}+R_{z} Px+Qy+Rz
(7)- d i v v ( M ) \mathrm{div}\;\boldsymbol{v}(M) divv(M)可以看作稳定流动的不可压缩流体在点 M M M的源头强度
- d i v v ( M ) > 0 \mathrm{div}\;\boldsymbol{v}(M)>0 divv(M)>0的点处,流体从该点向外发散,表示流体在该点处有正源
- d i v v ( M ) < 0 \mathrm{div}\;\boldsymbol{v}(M)<0 divv(M)<0的点处,流体从该点汇聚,表示流体在该点处有吸收流体的负源(汇或洞)
- d i v v ( M ) = 0 \mathrm{div}\;\boldsymbol{v}(M)=0 divv(M)=0点处,表示流体在该点处无源
一般向量场的散度
- 对于一般的向量场:
A
(
x
,
y
,
z
)
\bold{A}(x,y,z)
A(x,y,z)=
P
(
x
,
y
,
z
)
i
P(x,y,z)\bold{i}
P(x,y,z)i+
Q
(
x
,
y
,
z
)
j
Q(x,y,z)\bold{j}
Q(x,y,z)j+
R
(
x
,
y
,
z
)
k
R(x,y,z)\bold{k}
R(x,y,z)k
(8),- 式:
P
x
+
Q
y
+
R
z
P_x+Q_{y}+R_{z}
Px+Qy+Rz称为向量场
A
\bold{A}
A的散度,记为
d
i
v
A
\mathrm{div}\;\boldsymbol{A}
divA,即
d
i
v
A
\mathrm{div}\;\boldsymbol{A}
divA=
P
x
+
Q
y
+
R
z
P_x+Q_{y}+R_{z}
Px+Qy+Rz
(9) - 利用向量微分算子
∇
\nabla
∇,
A
\bold{A}
A的散度也可以表达为
∇
⋅
A
\nabla\cdot{\bold{A}}
∇⋅A,即
d
i
v
A
\mathrm{div}\;\boldsymbol{A}
divA=
∇
⋅
A
\nabla\cdot{\bold{A}}
∇⋅A
(9-1)
- 式:
P
x
+
Q
y
+
R
z
P_x+Q_{y}+R_{z}
Px+Qy+Rz称为向量场
A
\bold{A}
A的散度,记为
d
i
v
A
\mathrm{div}\;\boldsymbol{A}
divA,即
d
i
v
A
\mathrm{div}\;\boldsymbol{A}
divA=
P
x
+
Q
y
+
R
z
P_x+Q_{y}+R_{z}
Px+Qy+Rz
小结
- 虽然通量和散度概念的建立看似复杂,但计算公式是十分简单的
例
- 求
A
\bold{A}
A=
y
z
j
+
z
2
k
yz\bold{j}+z^2\bold{k}
yzj+z2k
(1)的散度 - 解:
- d i v A \mathrm{div}\;\boldsymbol{A} divA= ( y z ) y + ( z 2 ) z (yz)_{y}+(z^2)_{z} (yz)y+(z2)z= z + 2 z z+2z z+2z= 3 z 3z 3z
高斯公式的向量场的通量和散度向量形式
-
利用向量场的通量和散度,高斯公式可以表示为
-
∭
Ω
d
i
v
A
d
v
\iiint_{\Omega} \mathrm{div}\;\boldsymbol{A}\mathrm{d}v
∭ΩdivAdv=
∬
Σ
A
n
d
S
\iint\limits_{\Sigma}A_{n}\mathrm{d}S
Σ∬AndS
(2)- 或
∭
Ω
∇
⋅
A
\iiint_{\Omega}\nabla\cdot{\bold{A}}
∭Ω∇⋅A=
∬
Σ
A
n
d
S
\iint\limits_{\Sigma}A_{n}\mathrm{d}S
Σ∬AndS
(2-1)
- 或
∭
Ω
∇
⋅
A
\iiint_{\Omega}\nabla\cdot{\bold{A}}
∭Ω∇⋅A=
∬
Σ
A
n
d
S
\iint\limits_{\Sigma}A_{n}\mathrm{d}S
Σ∬AndS
- 对调(2)两端:
∬
Σ
A
n
d
S
\iint\limits_{\Sigma}A_{n}\mathrm{d}S
Σ∬AndS=
∭
Ω
d
i
v
A
d
v
\iiint_{\Omega} \mathrm{div}\;\boldsymbol{A}\mathrm{d}v
∭ΩdivAdv
(2-2)
-
∭
Ω
d
i
v
A
d
v
\iiint_{\Omega} \mathrm{div}\;\boldsymbol{A}\mathrm{d}v
∭ΩdivAdv=
∬
Σ
A
n
d
S
\iint\limits_{\Sigma}A_{n}\mathrm{d}S
Σ∬AndS
-
公式(2-2)表示:向量场 A \bold{A} A通过闭曲面 Σ \Sigma Σ流向外侧的通量(等号右侧)等于向量场 A \bold{A} A的散度在闭曲面 Σ \Sigma Σ所围闭区域 Ω \Omega Ω上的积分
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