斯托克斯公式及其应用

文章目录

• • 斯托克斯公式
  • • 定理
    • • 定理条件
      • 右手规则
      • 定理结论和公式👺
      • 公式形式的选用
  • 斯托克斯公式和格林公式的关系
  • • 例
    • 例
    • 例
    • • 分析

斯托克斯公式

• 斯托克斯(Stokes)公式是格林公式的推广
• 格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系
• 而斯托克斯公式把曲面$\Sigma$上的曲面积分与沿曲面$\Sigma$的边界曲线的曲线积分来联系起来

定理

定理条件

• 设$\Gamma$为分段光滑的空间有向闭曲线,$\Sigma$是以$\Gamma$为边界的分片光滑的有向曲面,$\Gamma$的正向与$\Sigma$的侧(侧向)符合右手规则

右手规则

• 当右手除拇指外的四指依着(指向)$\Gamma$的绕行方向时,拇指所指的方向和$\Sigma$上法向量的指向相同,这时称$\Gamma$是有向曲面$\Sigma$的正向边界曲线

定理结论和公式👺

• 若函数$P(x,y,z)$,$Q(x,y,z)$,$R(x,y,z)$在曲面$\Sigma$(连同边界$\Gamma$)上具有一阶连续偏导数,则

  • ${\iint }_{\Sigma }(R_y-Q_z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(P_z-R_x)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(Q_x-P_y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=${\oint }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$(1),将其等号左端记为(1-0)
    • 公式(1)两端对调,得${\oint }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$=${\iint }_{\Sigma }(R_y-Q_z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(P_z-R_x)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(Q_x-P_y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$(1')

• 公式(1)左端(即公式(1’)的右端有规律可循

  • 借助式${\oint }_{\Gamma }P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$的被积表达式:$P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$(a)
  • 先写出框架$()\mathrm{d}y\mathrm{d}z+()\mathrm{d}z\mathrm{d}x+()\mathrm{d}x\mathrm{d}y$(有向曲面元三个分量前加括号)
    • 第一个括号内是式(a)中$\mathrm{d}z$的系数$P$和$\mathrm{d}y$的系数$Q$分别对$y,z$求偏导做差.即$R_y-Q_z$
    • 类似的填充后面2个括号
    • 左后得$(R_y-Q_z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(P_z-R_x)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(Q_x-P_y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

• 但是仍不如下面的形式好记

  • 利用行列式记号(以及微分算子)把斯托克斯公式(1)的左端写成
    • ${\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d}y\mathrm{d}z& \mathrm{d}z\mathrm{d}x& \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$​(1-1)或${\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|\cdot \mathrm{d}S$(1-2)
    • 应用行列式降阶展开规则(Laplace展开),即得到式(1-1)得到公式(1)的形式;展开时要注意偏微分符号和函数的乘积理解为偏导,例如,将$\frac{\partial }{\partial x}$和$R$的乘积理解为$\frac{\partial R}{\partial x}$,其他组合类似
    • 而公式(1-2)式利用(2)(两类曲面积分间的联系)
      1. $\mathrm{d}y\mathrm{d}z$=$\cos \alpha \mathrm{d}S$
      2. $\mathrm{d}z\mathrm{d}x$=$\cos \beta \mathrm{d}S$
      3. $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$\cos \gamma \mathrm{d}S$
    • 代换式(1-1),即可得到式(1-2),向量$\mathbf{n}$=$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$为有向曲面$\Sigma$在$(x,y,z)$处的单位法向量

• 公式(1)称为斯托克斯公式

  • 式(1-0),(1-1)都是曲面积分中的第二类积分;而式(1-2)则是第一类曲面积分

公式形式的选用

• 而公式(1-2)在$\Gamma$张成的$\Sigma$是平面的情形使用比较合适,这时候计算比较简单,
  • 给出具体平面(方程)时的单位法向量($\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$)是常数
• 否则$\Sigma$不是平面,那么求法向量可能就复杂,则应该使用(1-0)或(1-1)

斯托克斯公式和格林公式的关系

• 若$\Sigma$是$xOy$面上的一块平面闭区域,斯托克斯公式就变成格林公式
• 因此格林公式是斯托克斯公式的一种特殊情形

例

• 利用斯托克斯公式计算$I={\oint }_{\Gamma }z\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y+y\mathrm{d}z$
  • 其中$\Gamma$为平面$x+y+z=1$被三个坐标面面所截成的三角形的整个边界
  • $\Gamma$的正向与这个平面三角形$\Sigma$上侧的法向量之间符合右手规则
• 按斯托克斯公式:
  • $I$=${\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{d}y\mathrm{d}z& \mathrm{d}z\mathrm{d}x& \mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ z& x& y\end{array}\right|$=${\iint }_{\Sigma }\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
    • 分项积分,得$I$=${\iint }_{D_{yz}}\mathrm{d}\sigma$+${\iint }_{D_{zx}}\mathrm{d}\sigma$+${\iint }_{D_{xy}}\mathrm{d}\sigma$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$
    • 这里$D_{yz},D_{yz},D_{xy}$分别为$\Sigma$在$yOz,zOx,xOy$面上的投影区域

例

• 利用斯托克斯公式计算$I={\oint }_{\Gamma }(y^2-z^2)\mathrm{d}x+(z^2-x^2)\mathrm{d}y+(x^2-y^2)\mathrm{d}z$

  • 其中$\Gamma$是用平面$\Pi :x+y+z=\frac{3}{2}$截立方体$\Omega =\{(x,y,z)\mid x\in [0,1],y\in [0,1],z\in [0,1]\}$的表面所得的截痕
  • 若从$Ox$轴的正向看去,取逆时针方向

• 分析

  • 平面$\Pi$和三个坐标轴的交点坐标分别是$A(\frac{3}{2},0,0)$,$B(0,\frac{3}{2},0)$,$C(0,0,\frac{3}{2})$
  • 并且通过计算可知,原点$O(0,0,0)$到直线$AB,BC,AC$的距离都是$\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$
  • 而立方体在三个坐标面到$O$的距离都是$\sqrt{2}$;
  • 而$(\frac{3\sqrt{2}}{4}{)}^2$=$\frac{9}{8}$=,而${\sqrt{2}}^2=2$,显然后者更大,因此$AB,BC,AC$分别穿过立方体在坐标面上的2条棱,将这些交点连结,得到一个六边形(属于平面$\Pi$的一部分)
    • 这些交点也可以求,例如求令$y=0,z=1$两平面解平面$\Pi$,可以求出$x=\frac{1}{2}$,即点$(\frac{1}{2},0,1)$就是其中一个交点

• 解

  • 为了利用Stokes公式,我们要曲定一个有向面

  • 这里取有向面$\Sigma$为$\Pi$的上侧被$\Gamma$所围成的部分区域

  • $\Sigma$的一个法向量为$(1,1,1)$单位化,得到一个单位法向量:$\mathbf{n}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$即$\cos \alpha =\cos \beta =\cos \gamma$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$,按stokes公式

    • $I$=${\iint }_{\Sigma }\left|\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ y^2-z^2& z^2-x^2& x^2-y^2\end{array}\right|\cdot \mathrm{d}S$=$\frac{1}{\sqrt{3}}[(-2y-2z)-(2x+2z)+(-2x-2y)]$=$-\frac{4}{\sqrt{3}}{\iint }_{\Sigma }(x+y+z)\mathrm{d}S$

  • 利用第一类曲面积分公式

    • 而$\Sigma$是$\Pi$上的一部分,将$\Pi$方程变形为$z=\frac{3}{2}-x-y$,所以被积函数为$x+y+z$=$x+y+(\frac{3}{2}-x-y)$=$\frac{3}{2}$

    • 且$G=\sqrt{1+(-1{)}^2+(-1{)}^2}$=$\sqrt{3}$

    • 所以:$I$=$-\frac{4}{\sqrt{3}}{\iint }_{D_{xy}}\frac{3}{2}\sqrt{3}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$-6{\iint }_{D_{xy}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$-6{\sigma }_{xy}$

    • 或者分步计算$I$=$-\frac{4}{\sqrt{3}}\frac{3}{2}{\iint }_{\Sigma }\mathrm{d}S$=$-2\sqrt{3}{\iint }_{D_{xy}}\sqrt{3}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$-6{\sigma }_{xy}$

    • 其中$D_{xy}$为$xOy$面上的投影区域,其面积${\sigma }_{xy}$=$1-2\times \frac{1}{8}$=$\frac{3}{4}$

      • 将$D_{xy}$单独分析:容易确定,$D_{xy}$会落在$xOy$面上以$(0,0,0),(1,0,0)$,$(1,1,0),(0,1,0)$的连线而成的正方形$S_1$内部的一个坐标面内六边形
      • 将6顶点分别求出:
        • $(\frac{1}{2},0)$,$(1,0)$,$(1,\frac{1}{2})$,$(\frac{1}{2},1)$,$(0,1)$,$(0,\frac{1}{2})$
      • 分析其草图,可以用边长为1的正方形$S_1$的面积减去两个相同的,直角边为$\frac{1}{2}$的等腰直角小三角形的面积得到

  • 所以$I$=$-6{\sigma }_{xy}$=$-\frac{9}{2}$

例

• $I={\oint }_{\Gamma }(y-z)\mathrm{d}x+(z-x)\mathrm{d}y+(x-y)\mathrm{d}z$(0)
  • 其中$\Gamma$是曲线$x^2+y^2=1$(0-1);$x-y+z=2$(0-2)的交线
  • 从$z$轴正向(往$z$轴负向)看时,$\Gamma$的方向是顺时针

分析

• 使用原始的曲线积分方法计算
  • 需要得到空间有向曲线$\Gamma$的参数方程形式(设其由两个曲面${\Sigma }_1,{\Sigma }_2$相交)
  • 为了得到参数方程,通常是做$\Gamma$的投影(到坐标面,例如$xOy$面),先得到投影(记为$C$)的方程
    • 曲线$C$的参数方程通常是容易直接得到
    • 然后将得到的两个变量的参数方程代入到${\Sigma }_1,{\Sigma }_2$(其中的一个),得第三个变量的参数方程
  • 对于参数方程而言,其三个变量的参数方程(设参数为$t$)都是关于参数$t$的式子,因此具有相对独立的特点,可以分批求参数方程
  • 对于本例:曲线$\Gamma$的投影$C$方程为$x^2+y^2=1$其参数方程为$x=\cos \theta$,(1-1)$y=\sin \theta$;(1-2)
    • 再将两者代入$x-y+z=2$,可得$z$=$2-x+y$=$2-\cos \theta +\sin \theta$(1-3)
  • 将所以(1-1,1-2,1-3)代入式(0),可以算得$I$=${\int }_{2\pi }^0-2(\cos \theta +\sin \theta )+2\cos 2\theta +1\mathrm{d}\theta$=$-2\pi$(2)
    • 代入过程中以及化简有一定计算量,注意${\int }_0^{2\pi }$是逆时针圆周的情形,而${\int }_{2\pi }^0$才是本例的情形
    • 掌握几个常用三角定积分特点可以加速某些计算过程,例如${\int }_0^{2\pi }$或${\int }_{2\pi }^0$或积分区间宽度为被积函数的正数倍时,积分为0,这里被积函数为$\sin \theta ,\cos \theta$时结果总是为0,因为两个函数都是周期为$2\pi$的函数,它们的定积分区间由恰好是周期的整数倍,验证可知,确实如此
• 使用Stokes公式计算
  • 首先要选择一个$\Gamma$张成的有向曲面$\Sigma$,选取尽量简单的面
  • 不妨取$\Sigma$为$\Gamma$在平面$x-y+z=2$(即平面(0-2))的部分
  • 在根据右手法则,结合$\Gamma$的方向,可定出$\Sigma$的方向朝下因此化为二重积分时,取符号
  • 由stokes公式:$I$=${\iint }_{\Sigma }(-1+1)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(1-1)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(1+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=${\iint }_{\Sigma }2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$-{\iint }_{D_{xy}}2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$=$-2{\sigma }_{xy}$=$-2\pi$
    • 其中${\sigma }_{xy}$时$D_{xy}$的面积,而$D_{xy}$是半径为$1$的圆域,面积为$\pi$
• 综上,使用stokes公式要简单的多