线面积分公式整理
线面积分公式整理
- 这部分内容用于回顾和查阅,许多写法和表达式记号默认使用了惯例含义
- 其中曲线积分可以从平面曲线推广到空间曲线,被积函数的自变量增加一元
第一类曲线积分
-
∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= ∫ α β [ f ( ϕ ( t ) , ψ ( t ) ) ] ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}[f(\phi(t),\psi(t))]\sqrt{\phi'^2(t)+\psi'^{2}(t)}\mathrm{d}t ∫αβ[f(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′2(t)+ψ′2(t)dt, ( α < β ) (\alpha<\beta) (α<β)
- ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= ∫ x 0 X f ( x , ψ ( x ) ) 1 + ψ ′ 2 ( x ) d x \int_{x_0}^{X}f(x,\psi(x)) \sqrt{1+\psi'^{2}(x)}\mathrm{d}x ∫x0Xf(x,ψ(x))1+ψ′2(x)dx
- ∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= ∫ y 0 Y f ( ϕ ( y ) , y ) 1 + ϕ ′ 2 ( y ) d y \int_{y_0}^{Y}f(\phi(y),y) \sqrt{1+\phi'^{2}(y)}\mathrm{d}y ∫y0Yf(ϕ(y),y)1+ϕ′2(y)dy
-
∫ L f ( x , y ) d s \int_{L}f(x,y)\mathrm{d}s ∫Lf(x,y)ds= ∫ α β f ( r ( θ ) cos θ , r ( θ ) sin θ ) r 2 + r ′ 2 d θ \int_{\alpha}^{\beta}f(r(\theta)\cos\theta,r(\theta)\sin\theta)\sqrt{r^2+r'^2}\mathrm{d}\theta ∫αβf(r(θ)cosθ,r(θ)sinθ)r2+r′2dθ
第二类曲线积分
-
∫
L
P
(
x
,
y
)
d
x
+
Q
(
x
,
y
)
d
y
\int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y
∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=
∫
α
β
{
P
[
(
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
)
]
ϕ
′
(
t
)
+
Q
[
ϕ
(
t
)
,
ψ
(
t
)
]
ψ
′
(
t
)
}
d
t
\int_{\alpha}^{\beta}\{P[(\phi(t),\psi(t))]\phi'(t)+Q[\phi(t),\psi(t)]\psi'(t)\}\mathrm{d}t
∫αβ{P[(ϕ(t),ψ(t))]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dt
-
P , Q P,Q P,Q中的一个为0时
- ∫ L P ( x , y ) d x \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x ∫LP(x,y)dx= ∫ α β P [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ϕ ′ ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}P[\phi(t),\psi(t)]\phi'(t)\mathrm{d}t ∫αβP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′(t)dt
- ∫ L Q ( x , y ) d y \int_{L}Q(x,y)\mathrm{d}y ∫LQ(x,y)dy= ∫ α β Q [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) ] ψ ′ ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}Q[\phi(t),\psi(t)]\psi'(t)\mathrm{d}t ∫αβQ[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)dt
-
x = x ; y = ψ ( x ) x=x;y=\psi(x) x=x;y=ψ(x)的特例
- ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy= ∫ a b P [ x , ψ ( x ) ] + Q [ x , ψ ( x ) ] ψ ′ ( x ) d x \int_{a}^{b}P[x,\psi(x)]+Q[x,\psi(x)]\psi'(x)\mathrm{d}x ∫abP[x,ψ(x)]+Q[x,ψ(x)]ψ′(x)dx
-
x = ϕ ( x ) ; y = y x=\phi(x);y=y x=ϕ(x);y=y的特例
- ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy= ∫ a b P [ ϕ ( y ) , y ] ϕ ′ ( y ) + Q [ ϕ ( y ) , y ] d x \int_{a}^{b}P[\phi(y),y]\phi'(y)+Q[\phi(y),y]\mathrm{d}x ∫abP[ϕ(y),y]ϕ′(y)+Q[ϕ(y),y]dx
-
曲线为平行于坐标轴的直线段时
-
y = y 0 y=y_0 y=y0
- ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy= ∫ L P ( x , y 0 ) d x \int_{L}P(x,y_0)\mathrm{d}x ∫LP(x,y0)dx= ∫ a b P ( x , y 0 ) d x \int_{a}^{b}P(x,y_0)\mathrm{d}x ∫abP(x,y0)dx
-
x = x 0 x=x_0 x=x0,
- ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_{L}P(x,y)\mathrm{d}x+Q(x,y)\mathrm{d}y ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy= ∫ L Q ( x , y 0 ) d y \int_{L}Q(x,y_0)\mathrm{d}y ∫LQ(x,y0)dy= ∫ a b Q ( x 0 , y ) d y \int_{a}^{b}Q(x_0,y)\mathrm{d}y ∫abQ(x0,y)dy
-
-
- ∫ Γ P ( x , y , z ) d x + Q ( x , y , z ) d y + R ( x , y , z ) d z \int_{\Gamma}P(x,y,z)\mathrm{d}x+Q(x,y,z)\mathrm{d}y+R(x,y,z)\mathrm{d}z ∫ΓP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz= ∫ α β P [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) ] ϕ ′ ( t ) + Q [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) ] ψ ′ ( t ) + R [ ϕ ( t ) , ψ ( t ) , ω ( t ) ] ω ′ ( t ) d t \int_{\alpha}^{\beta}P[\phi(t),\psi(t),\omega(t)]\phi'(t)+Q[\phi(t),\psi(t),\omega(t)]\psi'(t)+R[\phi(t),\psi(t),\omega(t)]\omega'(t)\mathrm{d}t ∫αβP[ϕ(t),ψ(t),ω(t)]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t),ω(t)]ψ′(t)+R[ϕ(t),ψ(t),ω(t)]ω′(t)dt
- 方向体现在积分弧段的起点和终点上
第一类曲面积分
-
∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ∬f(x,y,z)dS= ∬ − Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{-\Sigma} f(x,y,z)\mathrm{d}S −Σ∬f(x,y,z)dS
-
∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ∬f(x,y,z)dS= ∬ D x y f ( x , y , z ( x , y ) ) 1 + z x 2 + z y 2 d x d y \iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_{x}^2+z_{y}^{2}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y Dxy∬f(x,y,z(x,y))1+zx2+zy2dxdy
-
∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ∬f(x,y,z)dS= ∬ D z x f ( x , y ( x , z ) , z ) 1 + y x 2 + y z 2 d z d x \iint\limits_{D_{zx}} f(x,y(x,z),z)\sqrt{1+y_{x}^2+y_{z}^{2}} \mathrm{d}z\mathrm{d}x Dzx∬f(x,y(x,z),z)1+yx2+yz2dzdx
-
∬ Σ f ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma} f(x,y,z)\mathrm{d}S Σ∬f(x,y,z)dS= ∬ D y z f ( x ( y , z ) , y , z ) 1 + x y 2 + x z 2 d y d z \iint\limits_{D_{yz}} f(x(y,z),y,z)\sqrt{1+x_{y}^2+x_{z}^{2}} \mathrm{d}y\mathrm{d}z Dyz∬f(x(y,z),y,z)1+xy2+xz2dydz
第二类曲面积分
- ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= − ∬ − Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y -\iint\limits_{-\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y −−Σ∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
- ∬ Σ R ( x , y , z ) d x d y = ± ∬ D x y R ( x , y , z ( x , y ) ) d x d y \iint\limits_{\Sigma}R(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pm\iint\limits_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬R(x,y,z)dxdy=±Dxy∬R(x,y,z(x,y))dxdy
- ∬ Σ Q ( x , y , z ) d z d x \iint\limits_{\Sigma}Q(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x Σ∬Q(x,y,z)dzdx= ± ∬ D z x Q ( x , y ( z , x ) , z ) d z d x \pm\iint\limits_{D_{zx}}Q(x,y(z,x),z)\mathrm{d}z\mathrm{d}x ±Dzx∬Q(x,y(z,x),z)dzdx
- ∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z \iint\limits_{\Sigma}P(x,y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z Σ∬P(x,y,z)dydz= ± ∬ D y z P ( x ( y , z ) , y , z ) d y d z \pm\iint\limits_{D_{yz}}P(x(y,z),y,z)\mathrm{d}y\mathrm{d}z ±Dyz∬P(x(y,z),y,z)dydz
- 方向体现在正负号上:
- 若有向曲面 Σ \Sigma Σ的法向量和 x , y , z x,y,z x,y,z轴的某一个轴正轴的夹角成锐角,则结果取正号,否则取负号
- x , y , z x,y,z x,y,z轴正方向(以及与正方向成锐角的法向量)分别对应于:前侧,右侧,上侧
两类曲线积分的联系
- ∫ Γ A ⋅ d r \int_{\Gamma}\bold{A}\cdot{\mathrm{d}\bold{r}} ∫ΓA⋅dr= ∫ Γ A ⋅ τ d s \int_{\Gamma}\bold{A}\cdot\boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s ∫ΓA⋅τds= ∫ Γ A τ d s \int_{\Gamma}A_{\tau}\mathrm{d}s ∫ΓAτds
-
∫
L
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫LPdx+Qdy=
∫
L
(
P
cos
α
,
Q
cos
β
)
d
s
\int_{L}(P\cos\alpha,Q\cos\beta)\mathrm{d}s
∫L(Pcosα,Qcosβ)ds
- 向量场 A \bold{A} A= ( P , Q ) (P,Q) (P,Q); τ \boldsymbol{\tau} τ= ( cos α , cos β ) (\cos\alpha,\cos\beta) (cosα,cosβ)
- 有向曲线元 d r \mathrm{d}\bold{r} dr= τ d s \boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s τds= ( cos α , cos β ) d s (\cos\alpha,\cos\beta)\mathrm{d}s (cosα,cosβ)ds= ( d x , d y ) (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y) (dx,dy)
- 投影 A r A_{r} Ar= A ⋅ τ \boldsymbol{A\cdot{\tau}} A⋅τ
-
∫
L
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
\int_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z
∫LPdx+Qdy+Rdz=
∫
L
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
d
s
\int_{L}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\mathrm{d}s
∫L(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds
- A = ( P , Q , R ) \bold{A}=(P,Q,R) A=(P,Q,R), τ \boldsymbol{\tau} τ= ( cos α , cos β , cos γ ) (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) (cosα,cosβ,cosγ)
- 对坐标面内曲线弧的推广,空间曲线弧两类线积分的联系
两类曲面积分的联系
- ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y \iint\limits_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y Σ∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy= ∬ Σ ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d S \iint\limits_{\Sigma}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)\mathrm{d}S Σ∬(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS
- ∬ Σ A ⋅ d S \iint\limits_{\Sigma}\bold{A}\cdot\mathrm{d}\bold{S} Σ∬A⋅dS= ∬ Σ A ⋅ n d S \iint\limits_{\Sigma}\bold{A}\cdot\bold{n}\mathrm{d}{S} Σ∬A⋅ndS= ∬ Σ A n ⋅ d S \iint\limits_{\Sigma}{A_{n}}\cdot\mathrm{d}{S} Σ∬An⋅dS
- 向量场 A \bold{A} A= ( P , Q , R ) (P,Q,R) (P,Q,R);单位法向量 n \bold{n} n= ( cos α , cos β , cos γ ) (\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) (cosα,cosβ,cosγ)
- 有向曲面元 d S \mathrm{d}\bold{S} dS= ( d y d z , d z d x , d x d y ) (\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y) (dydz,dzdx,dxdy), d S \mathrm{d}\bold{S} dS= n d S \bold{n}\mathrm{d}S ndS
- 投影: A n A_{n} An= A ⋅ n \bold{A}\cdot{\bold{n}} A⋅n= ∣ A ∣ cos θ |\bold{A}|\cos\theta ∣A∣cosθ是 A \bold{A} A在单位向量 n \bold{n} n上的投影,其中 θ = < A , n > \theta=<\bold{A,n}> θ=<A,n>
三大公式
格林公式
- ∬ D ( Q x − P y ) d x d y \iint\limits_{D}(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y D∬(Qx−Py)dxdy= ∮ L P d x + Q d y \oint_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y ∮LPdx+Qdy
高斯公式
-
∭
Ω
(
P
x
+
Q
y
+
R
z
)
d
v
\iiint_\Omega{(P_{x}+Q_{y}+R_{z})}\mathrm{d}v
∭Ω(Px+Qy+Rz)dv=
∯
Σ
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y
\oiint_{\Sigma}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y
∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=
∯
Σ
(
P
cos
α
+
Q
cos
β
+
R
cos
γ
)
d
S
\oiint_{\Sigma}{(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)}\mathrm{d}S
∬Σ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS
- 公式右端的闭曲面侧向为外侧
- 借助散度表示高斯公式:
∭
Ω
d
i
v
A
d
v
\iiint_{\Omega} \mathrm{div}\;\boldsymbol{A}\mathrm{d}v
∭ΩdivAdv=
∭
Ω
∇
⋅
A
d
v
\iiint_{\Omega}\nabla\cdot{\bold{A}}\mathrm{d}v
∭Ω∇⋅Adv=
∯
Σ
A
d
S
\oiint\limits_{\Sigma}\bold{A}\mathrm{d}\bold{S}
Σ∬AdS=
∯
Σ
A
⋅
n
d
S
\oiint\limits_{\Sigma}\bold{A\cdot{n}}\mathrm{d}{S}
Σ∬A⋅ndS=
∯
Σ
A
n
d
S
\oiint\limits_{\Sigma}A_{n}\mathrm{d}S
Σ∬AndS
- d v \mathrm{d}v dv= d x d y d z \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z dxdydz
- ( d y d z , d z d x , d x d y ) (\mathrm{d}y\mathrm{d}z,\mathrm{d}z\mathrm{d}x,\mathrm{d}x\mathrm{d}y) (dydz,dzdx,dxdy)= ( cos α d S , cos β d S , cos γ d S ) (\cos\alpha\mathrm{d}S,\cos\beta\mathrm{d}S,\cos\gamma\mathrm{d}S) (cosαdS,cosβdS,cosγdS)
- 向量场 A = ( P , Q , R ) \bold{A}=(P,Q,R) A=(P,Q,R)的散度为: d i v A \mathrm{div}\;\boldsymbol{A} divA= ∇ ⋅ A \nabla\cdot{\bold{A}} ∇⋅A= P x + Q y + R z P_x+Q_{y}+R_{z} Px+Qy+Rz
斯托克斯公式
-
∬ Σ ( R y − Q z ) d y d z + ( P z − R x ) d z d x + ( Q x − P y ) d x d y \iint_{\Sigma} (R_{y}-Q_{z})\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(P_{z}-R_{x})\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Σ(Ry−Qz)dydz+(Pz−Rx)dzdx+(Qx−Py)dxdy= ∮ Γ P d x + Q d y + R d z \oint_{\Gamma}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z} ∮ΓPdx+Qdy+Rdz
-
∮ Γ P d x + Q d y + R d z \oint_{\Gamma}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z} ∮ΓPdx+Qdy+Rdz
- = ∬ Σ ( R y − Q z ) d y d z + ( P z − R x ) d z d x + ( Q x − P y ) d x d y \iint_{\Sigma} (R_{y}-Q_{z})\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(P_{z}-R_{x})\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y ∬Σ(Ry−Qz)dydz+(Pz−Rx)dzdx+(Qx−Py)dxdy
- = ∬ Σ ∣ d y d z d z d x d x d y ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} \mathrm{d}y\mathrm{d}z&\mathrm{d}z\mathrm{d}x&\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ \frac{\partial}{\partial{x}}&\frac{\partial}{\partial{y}}&\frac{\partial}{\partial{z}}\\ P&Q&R \end{vmatrix} ∬Σ dydz∂x∂Pdzdx∂y∂Qdxdy∂z∂R
- = ∬ Σ ∣ cos α cos β cos γ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ ⋅ d S \iint_{\Sigma} \begin{vmatrix} \cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\\ \frac{\partial}{\partial{x}}&\frac{\partial}{\partial{y}}&\frac{\partial}{\partial{z}}\\ P&Q&R \end{vmatrix}\cdot\mathrm{d}S ∬Σ cosα∂x∂Pcosβ∂y∂Qcosγ∂z∂R ⋅dS
-
使用旋度描述斯托克斯公式
-
向量场 A = ( P , Q , R ) A=(P,Q,R) A=(P,Q,R)
-
旋度
- r o t A \bold{rot}\boldsymbol{A} rotA= ∇ × A \nabla\times{\bold{A}} ∇×A= ∣ i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ \begin{vmatrix} \bold{i}&\bold{j}&\bold{k}\\ \frac{\partial}{\partial{x}}&\frac{\partial}{\partial{y}}&\frac{\partial}{\partial{z}}\\ P&Q&R \end{vmatrix} i∂x∂Pj∂y∂Qk∂z∂R = ( R y − Q z ) i + ( P z − R x ) j + ( Q x − P y ) k (R_{y}-Q_{z})\bold{i}+(P_{z}-R_{x})\bold{j}+(Q_{x}-P_{y})\bold{k} (Ry−Qz)i+(Pz−Rx)j+(Qx−Py)k
-
∬ Σ r o t A ⋅ d S \iint_{\Sigma}\bold{rot}\boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\bold S ∬ΣrotA⋅dS= ∬ Σ r o t A ⋅ n d S \iint_{\Sigma}\bold{rot}\boldsymbol{A}\cdot{\bold n}\mathrm{d}S ∬ΣrotA⋅ndS= ∮ Γ A ⋅ τ d s \oint_{\Gamma}\bold{A}\cdot\boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s ∮ΓA⋅τds= ∮ Γ A ⋅ d r \oint_{\Gamma}\bold{A}\cdot \mathrm{d}\bold{r} ∮ΓA⋅dr或 ∬ Σ ( r o t A ) n d S \iint_{\Sigma}(\bold{rot}\boldsymbol{A})_{n}\mathrm{d}S ∬Σ(rotA)ndS= ∮ Γ A τ d s \oint_{\Gamma}{A}_{{\tau}}\mathrm{d}s ∮ΓAτds
-
公式的应用
- 线或面的二型积分的直接计算公式中,采用分项积分的方式计算
- 三大公式都是二型积分相关公式,与方向有关
- 割补思想(补线(补面)成封闭曲线(曲面)),可以拓宽三大公式应用范围;添补曲线(面)后,需要减去添补的部分的积分
- 逆用三大公式,可能会简化某些计算
- 计算一型积分时,利用对称性和奇偶性(如果有条件的话),可以简化计算,尤其是被积函数是奇函数的情形
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