空间曲线积分与路径无关的条件@环流量和旋度
abstract
- 空间曲线积分与路径无关的条件@环流量和旋度
空间曲线积分与路径无关的条件
- 通过格林公式,可以推导出平面曲线积分与路径无关的条件
- 这里用斯托克斯公式,可以推出空间曲线积分与路径无关的条件
- 即从平面曲线推广到空间曲线
等价描述
- 空间曲线积分与路径无关的相当于沿任意闭曲线的曲线积分为0
充要条件定理
- 设空间区域
G
G
G是一维单连通域,若函数
P
(
x
,
y
,
z
)
P(x,y,z)
P(x,y,z),
Q
(
x
,
y
,
z
)
Q(x,y,z)
Q(x,y,z),
R
(
x
,
y
,
z
)
R(x,y,z)
R(x,y,z)在G内具有一阶连续偏导数,则空间曲线积分
∫
Γ
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
\int_{\Gamma}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z
∫ΓPdx+Qdy+Rdz
(1)在 G G G内与路径无关(沿 G G G内任意闭曲线的曲线积分为0)的充要条件为-
P
y
=
Q
x
P_{y}=Q_{x}
Py=Qx,
Q
z
=
R
y
Q_{z}=R_{y}
Qz=Ry,
R
x
=
P
z
R_{x}=P_{z}
Rx=Pz
(2)或表示为 P y − Q x = 0 P_{y}-Q_{x}=0 Py−Qx=0, Q z − R y = 0 Q_{z}-R_{y}=0 Qz−Ry=0, R x − P z = 0 R_{x}-P_{z}=0 Rx−Pz=0(2-1)
-
P
y
=
Q
x
P_{y}=Q_{x}
Py=Qx,
Q
z
=
R
y
Q_{z}=R_{y}
Qz=Ry,
R
x
=
P
z
R_{x}=P_{z}
Rx=Pz
- 在 G G G内恒成立
证明
充分性
- 若(2)在 G G G内恒成立,则容易用斯托克斯公式得出式(1)为0
必要性
-
利用反证法
-
设沿 G G G内任意闭曲线的曲线积分为0
(2-2) -
现假设 G G G内有一点 M 0 M_0 M0使得式(2)中的三个等式不完全成立
- 不妨假设
P
y
≠
Q
x
P_{y}\neq Q_{x}
Py=Qx且
(
Q
x
−
P
y
)
M
0
=
η
>
0
(Q_{x}-P_{y})_{M_{0}}=\eta>0
(Qx−Py)M0=η>0
(3)
- 不妨假设
P
y
≠
Q
x
P_{y}\neq Q_{x}
Py=Qx且
(
Q
x
−
P
y
)
M
0
=
η
>
0
(Q_{x}-P_{y})_{M_{0}}=\eta>0
(Qx−Py)M0=η>0
-
过点 M 0 ( x , y , z ) M_0(x,y,z) M0(x,y,z)作平面 z = z 0 z=z_0 z=z0,并在这个平面上取一个以 M 0 M_0 M0为圆心,半径足够小的圆型闭区域 K K K,使得 K K K上恒有 Q x − P y ⩾ η 2 Q_{x}-P_{y}\geqslant\frac{\eta}{2} Qx−Py⩾2η
(4) -
设 γ \gamma γ是 K K K的正向边界曲线,因为 γ \gamma γ在平面 z = z 0 z=z_0 z=z0上,所以按二型曲线积分的定义有 ∮ γ P d x + Q d y + R d z \oint_{\gamma} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z ∮γPdx+Qdy+Rdz= ∮ γ P d x + Q d y \oint_{\gamma} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y ∮γPdx+Qdy
(5)(曲线 γ \gamma γ在 z z z轴上的投影0 ) -
再对(5)左端用斯托克斯公式(或对(5)右端用格林公式),并由(4)对(5)利用积分中值定理, ∮ γ P d x + Q d y + R d z \oint_{\gamma} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z ∮γPdx+Qdy+Rdz= ∬ K ( Q x − P y ) d x d y ⩾ η 2 ⋅ σ \iint_{K}(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y\geqslant{\frac{\eta}{2}\cdot{\sigma}} ∬K(Qx−Py)dxdy⩾2η⋅σ
(6)- 其中 σ \sigma σ式 K K K的面积
- 因为 η , σ > 0 \eta,\sigma>0 η,σ>0,从而式(6) ∮ γ P d x + Q d y + R d z \oint_{\gamma} P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z ∮γPdx+Qdy+Rdz>0
- 这与前提假设(2-2)矛盾,所以假设(3)不成立
-
所以式(2)在 G G G内恒成立
环流量和旋度
- (闭)曲线积分的应用
环流量
-
设向量场 A ( x , y , z ) \bold{A}(x,y,z) A(x,y,z)= P ( x , y , z ) i P(x,y,z)\bold{i} P(x,y,z)i+ Q ( x , y , z ) j Q(x,y,z)\bold{j} Q(x,y,z)j+ R ( x , y , z ) k R(x,y,z)\bold{k} R(x,y,z)k
(1)- 其中 P , Q , R P,Q,R P,Q,R均具有一阶连续偏导数,
- Γ \Gamma Γ是 A A A的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线,
-
τ
\boldsymbol \tau
τ是
Γ
\Gamma
Γ在点
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)处的单位切向量,则积分
∮
Γ
A
⋅
τ
d
s
\oint_{\Gamma}\bold{A\cdot{\boldsymbol \tau}}\mathrm{d}s
∮ΓA⋅τds
(2)称为向量场沿有向闭曲线 Γ \Gamma Γ的环流量 - 通常不用求 τ \boldsymbol{\tau} τ而是求 d r \mathrm{d}\bold{r} dr(有向曲线元), d r \mathrm{d}\bold{r} dr= τ d s \boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s τds= ( d x , d y , d z ) (\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z) (dx,dy,dz),将第一类曲线积分转为第二类曲线积分
-
记号说明:在流量(通量)中,通常用字母 Φ \Phi Φ表示,而环流量这里直接用式(2)的积分式表示换流量,而无论 A , τ \bold{A},\boldsymbol{\tau} A,τ为何值
-
由两类曲线积分的关系,环流量可以表达为
-
∮
Γ
A
⋅
τ
d
s
\oint_{\Gamma}\bold{A}\cdot\boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s
∮ΓA⋅τds=
∮
Γ
A
⋅
d
r
\oint_{\Gamma}\bold{A}\cdot{\mathrm{d}\bold{r}}
∮ΓA⋅dr=
∮
Γ
A
τ
d
s
\oint_{\Gamma}A_{\tau}\mathrm{d}s
∮ΓAτds=
∮
Γ
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
\oint_{\Gamma}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z}
∮ΓPdx+Qdy+Rdz
(3)
-
∮
Γ
A
⋅
τ
d
s
\oint_{\Gamma}\bold{A}\cdot\boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s
∮ΓA⋅τds=
∮
Γ
A
⋅
d
r
\oint_{\Gamma}\bold{A}\cdot{\mathrm{d}\bold{r}}
∮ΓA⋅dr=
∮
Γ
A
τ
d
s
\oint_{\Gamma}A_{\tau}\mathrm{d}s
∮ΓAτds=
∮
Γ
P
d
x
+
Q
d
y
+
R
d
z
\oint_{\Gamma}{P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z}
∮ΓPdx+Qdy+Rdz
-
环流量本质是曲线积分
例
- 求向量场
A
\bold{A}
A=
(
x
2
−
y
)
i
+
4
z
j
+
x
2
k
(x^2-y)\bold{i}+4z\bold{j}+x^2\bold{k}
(x2−y)i+4zj+x2k
(1)沿闭曲线 Γ \Gamma Γ的环流量- 其中
Γ
\Gamma
Γ为锥面
z
=
x
2
+
y
2
z=\sqrt{x^2+y^2}
z=x2+y2
(2)和平面 z = 2 z=2 z=2(3)的交线 - 从 z z z轴正向看 Γ \Gamma Γ为逆时针方向
- 其中
Γ
\Gamma
Γ为锥面
z
=
x
2
+
y
2
z=\sqrt{x^2+y^2}
z=x2+y2
- 解
- 容易确定
Γ
\Gamma
Γ在
x
O
y
xOy
xOy上的投影是一个平面圆域,
x
2
+
y
2
=
2
2
x^2+y^2=2^2
x2+y2=22
(4) - 由于式(2)是个根式,直接计算不方便,恰好 Γ \Gamma Γ的参数方程容易表示,采用参数方程计算,而且 Γ \Gamma Γ是圆周,使用角 θ \theta θ作为参数,容易确定参数变化起点和终点
- 参数方程为
x
=
2
cos
θ
x=2\cos\theta
x=2cosθ
(4-1), y = 2 sin θ y=2\sin\theta y=2sinθ(4-2), θ ∈ [ 0 , 2 π ] \theta\in[0,2\pi] θ∈[0,2π];而 Γ \Gamma Γ位于平面 z = 2 z=2 z=2上,所以 Γ \Gamma Γ的参数方程还包括 z = 2 z=2 z=2(4-3) -
Γ
\Gamma
Γ的向量方程为
r
\bold{r}
r=
2
cos
θ
i
2\cos\theta\bold{i}
2cosθi+
2
sin
θ
j
2\sin\theta\bold{j}
2sinθj+
2
k
2\bold{k}
2k,
(
θ
∈
[
0
,
2
π
]
)
(\theta\in[0,2\pi])
(θ∈[0,2π])
- 向量方程描述图形上每一点 M ( x , y , z ) M(x,y,z) M(x,y,z)对应的向量 O M → \overrightarrow{OM} OM
- 可以直接由图形的参数方程表示出来
- 将参数方程组(4-1,4-2,4-3)代入分别代入,可求得
- 向量场
A
\bold{A}
A,得
A
\bold{A}
A=
(
4
cos
2
θ
−
2
sin
θ
)
i
+
8
j
+
4
cos
2
θ
k
(4\cos^2\theta-2\sin\theta)\bold{i}+8\bold{j}+4\cos^{2}\theta{k}
(4cos2θ−2sinθ)i+8j+4cos2θk
(5) - 有向曲线元
d
r
\mathrm{d}\bold{r}
dr=
(
d
x
,
d
y
,
d
z
)
(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z)
(dx,dy,dz)=
(
−
2
sin
θ
d
θ
,
2
cos
θ
d
θ
,
0
)
(-2\sin\theta\mathrm{d}\theta,2\cos\theta\mathrm{d}\theta,0)
(−2sinθdθ,2cosθdθ,0)
(6)
- 向量场
A
\bold{A}
A,得
A
\bold{A}
A=
(
4
cos
2
θ
−
2
sin
θ
)
i
+
8
j
+
4
cos
2
θ
k
(4\cos^2\theta-2\sin\theta)\bold{i}+8\bold{j}+4\cos^{2}\theta{k}
(4cos2θ−2sinθ)i+8j+4cos2θk
- 从而
A
⋅
d
r
\bold{A}\cdot{\mathrm{d}\bold{r}}
A⋅dr=
(
−
8
cos
2
θ
sin
θ
+
4
sin
2
θ
+
16
cos
θ
)
d
θ
(-8\cos^2{\theta\sin\theta+4\sin^2\theta+16\cos\theta})\mathrm{d}\theta
(−8cos2θsinθ+4sin2θ+16cosθ)dθ
(7)- 这里复杂的向量使用坐标解析式(括号嵌套),
- 而简单向量直接用坐标式表示
- 所以环流量: ∮ Γ A ⋅ τ d s \oint_{\Gamma}\bold{A}\cdot\boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s ∮ΓA⋅τds= ∮ Γ A ⋅ d r \oint_{\Gamma}\bold{A}\cdot{\mathrm{d}\bold{r}} ∮ΓA⋅dr= ∫ 0 2 π ( − 8 cos 2 θ sin θ + 4 sin 2 θ + 16 cos θ ) d θ \int_{0}^{2\pi}(-8\cos^2{\theta\sin\theta+4\sin^2\theta+16\cos\theta})\mathrm{d}\theta ∫02π(−8cos2θsinθ+4sin2θ+16cosθ)dθ= 0 + 4 π + 0 0+4\pi+0 0+4π+0= 4 π 4\pi 4π
- 容易确定
Γ
\Gamma
Γ在
x
O
y
xOy
xOy上的投影是一个平面圆域,
x
2
+
y
2
=
2
2
x^2+y^2=2^2
x2+y2=22
旋度
- 类似于由向量场 A \bold{A} A的通量可以引出向量场 A \bold{A} A在一点的通量密度(即散度),由向量场 A \bold{A} A沿一闭曲线的环流量可以引出向量场 A \bold{A} A在一点的环量密度或旋度,他是一个向量
- 定义:设由一个向量场
A
(
x
,
y
,
z
)
\bold{A}(x,y,z)
A(x,y,z)=
P
(
x
,
y
,
z
)
i
P(x,y,z)\bold{i}
P(x,y,z)i+
Q
(
x
,
y
,
z
)
j
Q(x,y,z)\bold{j}
Q(x,y,z)j+
R
(
x
,
y
,
z
)
k
R(x,y,z)\bold{k}
R(x,y,z)k
(1)- 其中函数
P
,
Q
,
R
P,Q,R
P,Q,R都具有一阶连续偏导数,则向量
(
R
y
−
Q
z
)
i
+
(
P
z
−
R
x
)
j
+
(
Q
x
−
P
y
)
k
(R_{y}-Q_{z})\bold{i}+(P_{z}-R_{x})\bold{j}+(Q_{x}-P_{y})\bold{k}
(Ry−Qz)i+(Pz−Rx)j+(Qx−Py)k
(2) - 称为向量场
A
\bold{A}
A的旋度,记为
r
o
t
A
\bold{rot}\boldsymbol{A}
rotA
(3),即 r o t A \bold{rot}\boldsymbol{A} rotA= ( R y − Q z ) i + ( P z − R x ) j + ( Q x − P y ) k (R_{y}-Q_{z})\bold{i}+(P_{z}-R_{x})\bold{j}+(Q_{x}-P_{y})\bold{k} (Ry−Qz)i+(Pz−Rx)j+(Qx−Py)k(3-1)
- 其中函数
P
,
Q
,
R
P,Q,R
P,Q,R都具有一阶连续偏导数,则向量
(
R
y
−
Q
z
)
i
+
(
P
z
−
R
x
)
j
+
(
Q
x
−
P
y
)
k
(R_{y}-Q_{z})\bold{i}+(P_{z}-R_{x})\bold{j}+(Q_{x}-P_{y})\bold{k}
(Ry−Qz)i+(Pz−Rx)j+(Qx−Py)k
- 利用向量微分算子
∇
\nabla
∇=
∂
∂
x
i
+
∂
∂
y
j
+
∂
∂
z
k
\frac{\partial}{\partial{x}}\bold{i}+\frac{\partial}{\partial{y}}\bold{j}+\frac{\partial}{\partial{z}}\bold{k}
∂x∂i+∂y∂j+∂z∂k,向量场
A
\bold{A}
A的旋度
r
o
t
A
\bold{rot}\boldsymbol{A}
rotA可以表示为
∇
×
A
\nabla\times{\bold{A}}
∇×A
(4) - 即
r
o
t
A
\bold{rot}\boldsymbol{A}
rotA=
∇
×
A
\nabla\times{\bold{A}}
∇×A=
∣
i
j
k
∂
∂
x
∂
∂
y
∂
∂
z
P
Q
R
∣
\begin{vmatrix} \bold{i}&\bold{j}&\bold{k}\\ \frac{\partial}{\partial{x}}&\frac{\partial}{\partial{y}}&\frac{\partial}{\partial{z}}\\ P&Q&R \end{vmatrix}
i∂x∂Pj∂y∂Qk∂z∂R
(5) - 相关概念
- 若向量场 A \bold{A} A的旋度 r o t A \bold{rot}\boldsymbol{A} rotA处处为0,则称 A \bold{A} A为无旋场
- 无源且无旋的向量场称为调和场
例
- 求向量场 A \bold{A} A= ( x 2 − y ) i + 4 z j + x 2 k (x^2-y)\bold{i}+4z\bold{j}+x^2\bold{k} (x2−y)i+4zj+x2k的旋度
- 解
- r o t A \bold{rot}\boldsymbol{A} rotA= ∣ i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x 2 − y 4 z x 2 ∣ \begin{vmatrix} \bold{i}&\bold{j}&\bold{k}\\ \frac{\partial}{\partial{x}}&\frac{\partial}{\partial{y}}&\frac{\partial}{\partial{z}}\\ x^2-y&4z&x^2 \end{vmatrix} i∂x∂x2−yj∂y∂4zk∂z∂x2 = ( 0 − 4 ) i − ( 2 x − 0 ) j + ( 0 − ( − 1 ) ) k (0-4)\bold{i}-(2x-0)\bold{j}+(0-(-1))\bold{k} (0−4)i−(2x−0)j+(0−(−1))k= − 4 i − 2 x j + k -4\bold{i}-2x\bold{j}+\bold{k} −4i−2xj+k
利用旋度表示斯托克斯公式
-
∬
Σ
r
o
t
A
⋅
d
S
\iint_{\Sigma}\bold{rot}\boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d}\bold S
∬ΣrotA⋅dS=
∬
Σ
r
o
t
A
⋅
n
d
S
\iint_{\Sigma}\bold{rot}\boldsymbol{A}\cdot{\bold n}\mathrm{d}S
∬ΣrotA⋅ndS=
∮
Γ
A
⋅
τ
d
s
\oint_{\Gamma}\bold{A}\cdot\boldsymbol{\tau}\mathrm{d}s
∮ΓA⋅τds=
∮
Γ
A
⋅
d
r
\oint_{\Gamma}\bold{A}\cdot \mathrm{d}\bold{r}
∮ΓA⋅dr
(1)或 ∬ Σ ( r o t A ) n d S \iint_{\Sigma}(\bold{rot}\boldsymbol{A})_{n}\mathrm{d}S ∬Σ(rotA)ndS= ∮ Γ A τ d s \oint_{\Gamma}{A}_{{\tau}}\mathrm{d}s ∮ΓAτds(1')- 两个式子意思一样
- 式(1)表示,向量场
A
\bold{A}
A沿有向闭曲线
Γ
\Gamma
Γ的环流量等于向量场
A
\bold{A}
A的旋度通过曲面
Σ
\Sigma
Σ的通量;
- 这里 Γ \Gamma Γ的正向和 Σ \Sigma Σ的侧向应符合右手规则
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