曲线积分和路径无关条件和应用
文章目录
平面上曲线积分和路径无关条件
- 问题对应的物理问题是,势场问题,即研究场力所作的功和路径无关的情形
- 重点是在什么条件下,场力所作的功和路径无关,对应数学上的问题是曲线积分和路径无关条件
曲线积分与路径无关的定义
- 设
G
G
G是一个区域,
P
(
x
,
y
)
P(x,y)
P(x,y)以及
Q
(
x
,
y
)
Q(x,y)
Q(x,y)在区域
G
G
G内具有一阶连续偏导数
- 若
G
G
G内任意指定的两个点
A
,
B
A,B
A,B,以及
G
G
G内从
A
→
B
A\to{B}
A→B的任意两条曲线
L
1
,
L
2
L_1,L_2
L1,L2,等式
∫
L
1
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L1Pdx+Qdy=
∫
L
2
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_2}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L2Pdx+Qdy
(0)恒成立 - 则称曲线积分
∫
L
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫LPdx+Qdy
(1)在 G G G内与路径无关,否则说明路径有关
- 若
G
G
G内任意指定的两个点
A
,
B
A,B
A,B,以及
G
G
G内从
A
→
B
A\to{B}
A→B的任意两条曲线
L
1
,
L
2
L_1,L_2
L1,L2,等式
∫
L
1
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L1Pdx+Qdy=
∫
L
2
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_2}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L2Pdx+Qdy
等价描述
- 若曲线积分和路径无关,则式(1)成立
- 而
∫
L
2
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_2}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L2Pdx+Qdy=
−
∫
L
2
−
P
d
x
+
Q
d
y
-\int_{L_2^{-}}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
−∫L2−Pdx+Qdy
(2) - 代入式(1),得
∫
L
1
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L1Pdx+Qdy=
−
∫
L
2
−
P
d
x
+
Q
d
y
-\int_{L_2^{-}}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
−∫L2−Pdx+Qdy,即
∫
L
1
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_1}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L1Pdx+Qdy+
∫
L
2
−
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{L_2^{-}}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫L2−Pdx+Qdy=
0
0
0
(3) - 观察到
L
1
,
L
2
−
L_1,L_2^{-}
L1,L2−构成有向闭曲线,从而式(3)可以表示为
∮
L
1
+
L
2
−
P
d
x
+
Q
d
y
\oint_{L_1+L_{2}^{-}}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∮L1+L2−Pdx+Qdy=
0
0
0
(4)
小结
-
在区域 G G G内由曲线积分与路径无关可以推得在 G G G内沿闭曲线的曲线积分为0
- 反之,若在区域 G G G内沿任意闭曲线的曲线积分为0,可以推得在 G G G内曲线积分和路径无关
-
曲线积分 ∫ L P d x + Q d y \int_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y ∫LPdx+Qdy在 G G G内与路径无关相当于:沿 G G G内任意闭曲线 C C C的曲线积分 ∮ C P d x + Q d y = 0 \oint_{C}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y=0 ∮CPdx+Qdy=0
(4-1),这种形式更便于论述
充要条件定理
-
下面介绍上述问题中的条件是什么(充要条件)
-
设区域 G G G式一个单连通域,若函数 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)与 Q ( x , y ) Q(x,y) Q(x,y)在 G G G内具有一阶连续偏导数
-
则曲线积分 ∫ L P d x + Q d y \int_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y ∫LPdx+Qdy在 G G G内与路径无关(或沿 G G G内任意闭曲线的曲线积分为0)的充要条件是 ∂ P ∂ y \frac{\partial{P}}{\partial{y}} ∂y∂P= ∂ Q ∂ x \frac{\partial{Q}}{\partial{x}} ∂x∂Q
(5)(或写作 ( P y = Q x ) (P_{y}=Q_{x}) (Py=Qx)在 G G G内恒成立
充分性
- 在 G G G内任意取一条闭曲线 C C C
- 这里要证的命题为:当条件式(5)成立时有(4-1)成立
- 因为 G G G是单连通的,所以闭曲线 C C C所围成的闭区域 D D D全部在 G G G内,于是由假定,式(5)在 D D D上恒成立
- 应用格林公式:
∬
D
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
d
x
d
y
\iint\limits_{D}(\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}})\mathrm{d}x\mathrm{d}y
D∬(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=
∮
C
P
d
x
+
Q
d
y
\oint_{C}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∮CPdx+Qdy
(6)由式(5)可知,式(6)左端为0 - 从而式(6)右端为0,这就证明了充分性
必要性
- 这里用反证法证明
- 这里要证的命题为:若沿着
G
G
G内任意闭曲线的曲线积分为0,则式(5)在
G
G
G内成立
- 假设上述命题不成立,那么 G G G内至少存在一点 M 0 M_{0} M0,使得(5)不成立
- 不妨设
(
∂
Q
∂
x
−
∂
P
∂
y
)
M
0
(\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}-\frac{\partial{P}}{\partial{y}})_{M_{0}}
(∂x∂Q−∂y∂P)M0=
η
>
0
\eta>0
η>0(简写为
Q
x
−
P
y
=
η
>
0
Q_{x}-P_{y}=\eta>0
Qx−Py=η>0)
(7) - 由于
P
y
,
Q
x
P_{y},Q_{x}
Py,Qx在
G
G
G内连续,可以在
G
G
G内取得一个以
M
0
M_{0}
M0为圆心,半径足够小的圆形闭区域
K
K
K,使得在
K
K
K上恒有
Q
x
−
P
y
⩾
1
2
η
Q_{x}-P_{y}\geqslant{\frac{1}{2}\eta}
Qx−Py⩾21η
(8) - 于是由格林公式和二重积分性质:
-
∮
γ
P
d
x
+
Q
d
y
\oint_{\gamma}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∮γPdx+Qdy=
∬
K
(
Q
x
−
P
y
)
d
x
d
y
\iint\limits_{K}(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y
K∬(Qx−Py)dxdy
⩾
\geqslant
⩾
1
2
η
⋅
σ
{\frac{1}{2}\eta\cdot\sigma}
21η⋅σ
(9)- 其中 ∬ K ( 1 2 η ) d x d y \iint\limits_{K}(\frac{1}{2}\eta)\mathrm{d}x\mathrm{d}y K∬(21η)dxdy= 1 2 η ∬ K 1 d x d y \frac{1}{2}\eta \iint\limits_{K}1\mathrm{d}x\mathrm{d}y 21ηK∬1dxdy= 1 2 η ⋅ σ {\frac{1}{2}\eta\cdot\sigma} 21η⋅σ
- 这里 γ \gamma γ是 K K K的正向边界曲线, σ \sigma σ是 K K K的面积
-
∮
γ
P
d
x
+
Q
d
y
\oint_{\gamma}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∮γPdx+Qdy=
∬
K
(
Q
x
−
P
y
)
d
x
d
y
\iint\limits_{K}(Q_{x}-P_{y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y
K∬(Qx−Py)dxdy
⩾
\geqslant
⩾
1
2
η
⋅
σ
{\frac{1}{2}\eta\cdot\sigma}
21η⋅σ
- 因为
η
>
0
,
σ
>
0
\eta>0,\sigma>0
η>0,σ>0所以
1
2
η
⋅
σ
>
0
\frac{1}{2}\eta\cdot{\sigma}>0
21η⋅σ>0即有式(9)左端
∮
γ
P
d
x
+
Q
d
y
>
0
\oint_{\gamma}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y>0
∮γPdx+Qdy>0
(10) - γ \gamma γ是 G G G内的闭曲线,式(10)指出 G G G内的闭曲线 γ \gamma γ的曲线积分不为0(大于0)
- 而我们知道(命题条件指出) G G G内的闭曲线的曲线积分为0,因此式(10)与之矛盾,因此反证法中的假设不成立,即不存在这样的点 M 0 M_0 M0,所以式(5)在 G G G内处处成立
说明
- 定理中要求2个条件:
- G G G式单连通的
- P , Q P,Q P,Q在 G G G内有一阶连续偏导数
- 若两个条件之一不满足,则定理结论不一定成立
- 例如,即使区域 G G G仅有一个点 T T T不满足判定式(5)(比如无定义),就不能保证式(4-1)成立,因为点 T T T破坏了函数 P , Q , Q x , P y P,Q,Q_{x},P_{y} P,Q,Qx,Py的连续性,点 T T T通常称为奇点
线积分与路径无关时的计算👺
- 如果通过判定
Q
x
=
P
y
Q_{x}=P_{y}
Qx=Py在单连通区域
G
G
G内恒成立,则有两类计算线积分的简化方法
- 该路径为简单路径
- 利用原函数
曲线积分与路径无关的三个等价命题
- 设曲线 L L L是属于区域 G G G内的曲线
- ∫ L P d x + Q d y \int_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y ∫LPdx+Qdy与路径无关
- P y ≡ Q x P_{y}\equiv Q_x Py≡Qx
- P d x + Q d y P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y Pdx+Qdy= d u \mathrm{d}u du(参见全微分求积相关内容)
等价结论
- 数学上可以证明:
- 若只讨论(1),(3)的等价时,不要求区域 G G G是单连通的
- 而(1),(3)中的某一个和(2)等价时,或者说(1)(2)(3)等价时,就要求 G G G是单连通的
Newton-Leibniz二元函数形式
- 设函数
F
(
x
,
y
)
F(x,y)
F(x,y)是二元函数
f
(
x
,
y
)
f(x,y)
f(x,y)原函数
-
∫
(
x
1
,
y
1
)
(
x
2
,
y
2
)
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫(x1,y1)(x2,y2)Pdx+Qdy=
F
(
x
2
,
y
2
)
−
F
(
x
1
,
y
1
)
F(x_2,y_2)-F(x_1,y_1)
F(x2,y2)−F(x1,y1)
(1) - 其中
d
F
(
x
,
y
)
\mathrm{d}F(x,y)
dF(x,y)=
P
d
x
+
Q
d
y
P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
Pdx+Qdy
(1-1)
-
∫
(
x
1
,
y
1
)
(
x
2
,
y
2
)
P
d
x
+
Q
d
y
\int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y
∫(x1,y1)(x2,y2)Pdx+Qdy=
F
(
x
2
,
y
2
)
−
F
(
x
1
,
y
1
)
F(x_2,y_2)-F(x_1,y_1)
F(x2,y2)−F(x1,y1)
- 而计算二元函数的原函数可以用偏积分或凑微分的方法
- 虽然线积分可以用来求二元函数的原函数,但是这里目的是计算线积分,
- 因此应用公式(1),求原函数 F F F时用偏积分或凑微分的方式求
积分路径的简化
- 简化积分路径,将非曲线改为直线段或折线段
- 通常优先化为各段坐标轴平行的直线路径,而不一定是两点间的直线段,除非两点间直线段和某个坐标轴平行)
- 有时也不是改造成直线段或折现段,还可能使圆弧
应用
例
- 设 C C C为椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} a2x2+b2y2=1上由 A ( − a , 0 ) A(-a,0) A(−a,0)到 B ( a , 0 ) B(a,0) B(a,0)点的上半椭圆
- 计算下列积分
-
I
1
=
∫
C
e
x
y
(
x
y
+
1
)
d
x
+
e
x
y
x
2
d
y
I_1=\int_{C}e^{xy}(xy+1)\mathrm{d}x+e^{xy}x^2\mathrm{d}y
I1=∫Cexy(xy+1)dx+exyx2dy
(1) -
I
2
=
∫
C
1
x
2
+
y
2
[
(
x
+
y
)
d
y
−
(
y
−
x
)
d
x
]
I_2=\int_{C}\frac{1}{x^2+y^2}[(x+y)\mathrm{d}y-(y-x)\mathrm{d}x]
I2=∫Cx2+y21[(x+y)dy−(y−x)dx]
(2)
-
I
1
=
∫
C
e
x
y
(
x
y
+
1
)
d
x
+
e
x
y
x
2
d
y
I_1=\int_{C}e^{xy}(xy+1)\mathrm{d}x+e^{xy}x^2\mathrm{d}y
I1=∫Cexy(xy+1)dx+exyx2dy
解
-
(1)试探 I 1 I_1 I1积分是否与路径无关, P y P_{y} Py= e x y ( y x 2 + 2 x ) e^{xy}(yx^2+2x) exy(yx2+2x)= Q x Q_{x} Qx,可见, I 1 I_1 I1和路径无关
-
那么可以考虑啊E2中做法
-
方法1
-
这里直接改为线段 A B AB AB,其方程为 y = 0 y=0 y=0(代入 I 1 I_1 I1式中)化简
-
从而问题化简为 I 1 I_1 I1= ∫ − a a 1 d x \int_{-a}^{a} 1\mathrm{d}x ∫−aa1dx= 2 a 2a 2a
-
-
方法2
- 考虑全微分的原函数,前提也是积分与路径无关
-
I
1
I_{1}
I1的被积表达式可以凑成
d
(
x
e
x
y
)
\mathrm{d}(xe^{xy})
d(xexy),从而
I
1
I_{1}
I1=
x
e
x
y
∣
(
−
a
,
0
)
(
a
,
0
)
xe^{xy}|_{(-a,0)}^{(a,0)}
xexy∣(−a,0)(a,0)=
2
a
2a
2a
- 这个操作类似于定积分中的Newton-Leibniz公式,再二元函数中,自变量成了二维点而已,而且是起点到终点
-
当原函数容易确定(凑出),则用方法2,否则用方法1
-
-
(2)试探积分 I 2 I_2 I2是否与路径无关, P y P_{y} Py= y 2 − x 2 − 2 x y y^2-x^2-2xy y2−x2−2xy= Q x Q_{x} Qx, ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) (x,y)\neq{(0,0)} (x,y)=(0,0)
-
考虑到分母为 x 2 + y 2 ≠ 0 x^2+y^2\neq{0} x2+y2=0,因此并不是整个平面都满足路径无关
-
此时可以考虑创建一个局部区域 G G G,它不包括 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点,在 G G G内继续考虑积分路径无关的性质计算 I 2 I_2 I2
-
此时改成直线会经过点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)因此不合适
-
而改成折现需要多次弯折不方便
-
这里考虑改造成圆弧(端点为 A , B A,B A,B,且 A B AB AB为直径)
-
则改造后的路径方程为 x 2 + y 2 = a 2 x^2+y^2=a^2 x2+y2=a2;将其代入到 I 2 I_2 I2中,使分母变为常数:
-
I 2 = ∫ C 1 1 a 2 [ ( x + y ) d y − ( y − x ) d x ] I_2=\int_{C_1}\frac{1}{a^2}[(x+y)\mathrm{d}y-(y-x)\mathrm{d}x] I2=∫C1a21[(x+y)dy−(y−x)dx]= 1 a 2 ∫ C 1 [ ( x + y ) d y + ( x − y ) d x ] \frac{1}{a^2}\int_{C_1}[(x+y)\mathrm{d}y+(x-y)\mathrm{d}x] a21∫C1[(x+y)dy+(x−y)dx]
(2-1)- 积分路径 C C C更改为 C 1 C_1 C1(半圆弧)
- 这个积分用 C 1 C_1 C1的参数方程 x = a cos θ x=a\cos\theta x=acosθ, y = a sin θ y=a\sin\theta y=asinθ代入(2-1)式可以算
- 虽然
C
1
C_1
C1不是闭曲线,但我们可以考虑通过补线,补充一个半圆(带直径边),记为区域
D
D
D,使之可以用格林公式简化计算
- 然而格林公式的使用要注意闭曲线的方向,原来 C C C是 A → B A\to{B} A→B顺时针
- 而 C 1 C_1 C1也从 A → B A\to{B} A→B再 B → A B\to{A} B→A的方向和闭区域 D D D的正方向(应为逆时针)相反,从而格林公式转为二重积分计算时前面要加负号
-
若记 F F F= ( x + y ) d y + ( x − y ) d x (x+y)\mathrm{d}y+(x-y)\mathrm{d}x (x+y)dy+(x−y)dx, P = x − y P=x-y P=x−y, Q = x + y Q=x+y Q=x+y(仔细区分 P , Q P,Q P,Q), Q x − P y Q_{x}-P_{y} Qx−Py= 1 − ( − 1 ) 1-(-1) 1−(−1)= 2 2 2
- ∮ C 1 + B A F \oint_{C_1+BA}F ∮C1+BAF= − ∬ D 2 d σ -\iint_{D}2\mathrm{d}\sigma −∬D2dσ= − 2 σ -2\sigma −2σ= − 2 1 2 π a 2 -2\frac{1}{2}\pi{a^2} −221πa2= − π a 2 -\pi{a^2} −πa2(注意负号)
- ∫ B A F \int_{BA}F ∫BAF= ∫ a − a x d x \int_{a}^{-a}x\mathrm{d}x ∫a−axdx= 0 0 0(对称性和奇函数,直接得出结果为0)
-
由式(2-1),从而 I 2 I_2 I2= 1 a 2 ( ∮ C 1 + B A F − f B A F ) \frac{1}{a^2}(\oint_{C_1+BA}F-f_{BA}F) a21(∮C1+BAF−fBAF)= 1 a 2 ( − π a 2 ) \frac{1}{a^2}(-\pi{a^2}) a21(−πa2)= − π -\pi −π
-
-
例
-
I
=
∫
(
1
,
0
)
(
0
,
1
)
x
d
x
+
y
d
y
x
2
+
y
2
I=\int_{(1,0)}^{(0,1)} \frac{x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y}{\sqrt{x^2+y^2}}
I=∫(1,0)(0,1)x2+y2xdx+ydy
- P = x x 2 + y 2 P=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} P=x2+y2x和 Q = y x 2 + y 2 Q=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} Q=x2+y2y;
- 可以验证,当
(
x
,
y
)
≠
(
0
,
0
)
(x,y)\neq{(0,0)}
(x,y)=(0,0)时
- Q x Q_{x} Qx= − x y ( x 2 + y 2 ) − 3 2 -xy(x^2+y^2)^{-\frac{3}{2}} −xy(x2+y2)−23= P y P_{y} Py, ( x , y ≠ 0 ) (x,y\neq{0}) (x,y=0),
- 平面 x O y xOy xOy在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)外满足曲线积分与路径无关
- 这里我们应用上述等价的第一条,避开对单连通的要求
- 可以通过直接凑全微分: x d x + y d y x 2 + y 2 \frac{x\mathrm{d}x+y\mathrm{dy}}{\sqrt{x^2+y^2}} x2+y2xdx+ydy= 1 2 d ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}(x^2+y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}} 21x2+y2d(x2+y2)= d x 2 + y 2 \mathrm{d}\sqrt{x^2+y^2} dx2+y2
- 从而 x 2 + y 2 \sqrt{x^2+y^2} x2+y2是被积函数的一个原函数,则 I I I= x 2 + y 2 ∣ ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) \sqrt{x^2+y^2}|_{(1,0)}^{(0,1)} x2+y2∣(1,0)(0,1)= 1 − 1 = 0 1-1=0 1−1=0
【推荐】国内首个AI IDE，深度理解中文开发场景，立即下载体验Trae
【推荐】编程新体验，更懂你的AI，立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】抖音旗下AI助手豆包，你的智能百科全书，全免费不限次数
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell：AI 加持，快人一步
· 分享4款.NET开源、免费、实用的商城系统
· 全程不用写代码，我用AI程序员写了一个飞机大战
· MongoDB 8.0这个新功能碉堡了，比商业数据库还牛
· 记一次.NET内存居高不下排查解决与启示
· 白话解读 Dapr 1.15：你的「微服务管家」又秀新绝活了
2022-12-04 java_把学生名与考试分数录入到Set中，并按分数显示前三名成绩学员的名字要求用Set实现，定义Student类实现Comparable接口
2022-12-04 CN_@ARP@DHCP@ICMP@IPv6@IGMP协议@物理地址@组播地址@广播地址
2022-12-04 CN_计算机网络性能指标@信道利用率@信道吞吐率