反三角函数基本性质和函数图形

反三角函数


$\sin(x),\arcsin(x)$	$\cos(x),\arccos(x)$	$tan{(x)},\arctan{(x)}$

$arcsin{x},\arccos{x}$	$\arctan{x},\operatorname{arccot}{x}$	$\mathrm{arcsec}{x},\mathrm{arccsc}{x}$

由于反函数与其原本的直接函数关于 $y = x$ 这一直线对称,因此我们可以根据反三角函数 $b (x)$ 的值域,在直接三角函数上 $b (x)$ 截取一段相应的区间,这部分函数记为 $c (x)$
再将 $c (x)$ 关于 $y = x$ 作对称图形
另一方面结合相关不等式,来提高草图准确度,例如:
- 由 $sin{x}<x<\arcsin{x}$ , $(x\in(0,1))$ ,三条曲线 $sin{x},x,\arctan{x}$ 在 $(0, 1)$ 区间内没有交点,而在 $x = 0$ 处三个函数交于原点
- 又因为三个函数都是奇函数,从而在第三象限三个函数的大小关系相反,且仍然没有交点
- 也可以结合函数的凹凸性,提高函数图形草图的走势准确度
因此绘制反三角函数草图时,先绘制 $y = x$ ,(虚线)然后以其对称轴,绘制直接函数的对称部分

在这里插入图片描述

$\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}$
$\arctan x+\operatorname{arccot} x={\frac {\pi }{2}}.$
$\arctan x+\arctan {\frac {1}{x}} =\left\{{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}},&{\mathrm {if }}x>0\\ -{\frac {\pi }{2}},&{\mathrm {if }}x<0\end{matrix}}\right.$
$\arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+\left\{{\begin{matrix}\pi ,&{\mathrm {if }}x,y>0\\ -\pi ,&{\mathrm {if }}x,y<0\\ 0,&{\mathrm{otherwise }}\end{matrix}}\right.$
$\sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}\,$
$\sin(\arctan x)={\frac {x}{{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
$\cos(\arctan x)={\frac {1}{{\sqrt {1+x^{2}}}}}$
$\cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}\,$
$\tan(\arcsin x)={\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
$\tan(\arccos x)={\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}$

以第一个 $\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}$ 为例

由于 $\cos\theta=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$ ,设它们都等于 $x$ .则得到 $\cos{\theta}=x$ (1); $\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=x$ (2)
- 对(1)两边同时取 $\arcsin$ ,得 $\theta=\arcsin{x}$ ; $\frac{\pi}{2}-\theta=\arccos{x}$ ,两式相加,得 $\arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}$

以第一个 $\arctan x+\operatorname{arccot} x={\frac {\pi }{2}}$ 也是类似的

由于 $\tan(\frac{\pi}{2}-\theta)$ = $\cot{\theta}$ ,可令 $\tan(\frac{\pi}{2}-\theta)$ = $x$ ; $\cot\theta=x$
所以 $\frac{\pi}{2}-\theta=\arctan{x}$ ; $\theta=\operatorname{arccot}{\theta}$
两式相加,得 $\arctan x+\operatorname{arccot} x={\frac {\pi }{2}}$