常见一阶微分方程@可降阶的二阶微分方程@Bernoulli方程

文章目录

• • 可用变量代换法求解的一阶微分方程
  • • 可分离变量的方程
    • 齐次方程
    • 可齐次化的方程
    • Bernoulli方程
    • • 伯努利方程求解步骤
      • 分析和推导
      • 例
  • 可降阶的二阶微分方程
  • • 类型0
    • 类型1
    • 类型2

可用变量代换法求解的一阶微分方程

可分离变量的方程

• $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)g(y)\ne 0$可以分离变量为$\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=f(x)\mathrm{d}x$

• 两边积分:$\int \frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\mathrm{d}x+C$

齐次方程

• 形如或可化为$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(\frac{y}{x})$,$(x\ne 0)$(0)的微分方程称为齐次方程
  • 令函数$u=\frac{y}{x}$(1),则$y=xu$,(2)对其两侧求关于$x$的导数:$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}y$=$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(xu)$,即$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$(3)
    • 其中式(1)用一个新的未知函数$u$代替了原未知函数$y$,
    • 由于$y$是关于$x$得函数,所以由式(1)可知,函数$u$也是关于$x$的函数
    • 对(1)变形得到(2)式,再对(2)式两边求导,得到(3)式
  • 将(1)代入(0),得$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(u)$(4),将(4)代入(3),得$f(u)=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$(5),这就将原微分方程中的$y$用$u$代替
  • 再对式(5)进行分离变量,得$\frac{f(u)-u}{\mathrm{d}u}=\frac{x}{\mathrm{d}x}$(6),两边取倒数,得$\frac{\mathrm{d}u}{f(u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$,两边积分:$\int \frac{\mathrm{d}u}{f(u)-u}$=$\int \frac{\mathrm{d}x}{x}+C$=$\ln |x|+C$(7)
  • 设(7)左边的积分结果为$\Phi (u)$,代回式(1),得微分方程(0)得通解$\Phi (\frac{y}{x})$=$\ln |x|+C$

可齐次化的方程

• 形如$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$f(\frac{ax+by+c}{a_{1}x+b_{1}y+c_1})$(0)的方程可以通过变换化为齐次方程
• 分三种情形讨论
  1. 当$c=c_1=0$,方程(0)就是齐次方程
  2. 当$\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}$时,设此比值为$\lambda$,则方程(0)可以表示为$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$f(\frac{\lambda (a_{1}x+b_{1}y)+c}{a_{1}x+b_{1}y+c_1})$(0-1)
     • 引入新变量(函数)$u=a_{1}x+b_{1}y$(1),对其两边关于$x$求导:$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$=$a_1+b_1\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$(2),变形可得$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$\frac{1}{b_1}(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-a_1)$(2-1)
     • 将(1)代入(0-1),得$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$f(\frac{\lambda u+c}{u+c_1})$(3);比较(2-1),(3),得$\frac{1}{b_1}(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}-a_1)$=$f(\frac{\lambda u+c}{u+c_1})$(4),这是可分离变量($u,x$)的方程,问题得到转化
       • 将(4)分离变量,可得$b_{1}f(\frac{\lambda u+c}{u+c_1})+a_1$=$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$,即$\mathrm{d}x$=$\frac{\mathrm{d}u}{b_{1}f(\frac{\lambda u+c}{u+c_1})+a_1}$
  3. 当$\frac{a}{a_1}\ne \frac{b}{b_1}$,且$c,c_1\ne 0$
     • 借助平面直线方程性质来求解
     • 方程$ax+by+c=0$;$a_{1}x+b_{1}y+c=0$表示平面上的两条直线$l_1,l_2$
       • 设两直线交点为$P(\alpha ,\beta )$,即$\alpha ,\beta$满足$a\alpha +b\beta +c=0$,$a_1\alpha +b_1\beta +c_1=0$
       • 由直线的一般式方程的性质可知,$c=0$表示直线过原点(0,0)
       • 显然$l_1,l_2$的均不过原点,其交点$P$不可能为原点,即$\alpha ,\beta$不同时为0($\alpha \ne 0$或$\beta \ne 0$),否则就是情形(1)的直线方程表示
     • 为了解决情形3,参考情形1,可以将坐标系($xOy$)平移到$P$,这就将问题转化为情形(1)
     • 而平移后的坐标记为$X{O}^{\prime }Y$其中$O^{\prime }$就是$P$,即新坐标为$XPY$
       • 同一位置的点的新旧坐标转换公式(5):$X=x-\alpha$;$Y=y-\beta$
         • 或表示为$x=X+\alpha$;$y=Y+\beta$
       • $l_1,l_2$分别表示为$aX+bY=0$,$a_{1}X+b_{1}Y=0$;
       • 在新坐标系上,方程(0)表示为$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}$=$f(\frac{aX+bY}{a_{1}X+b_{1}Y})$(6)
       • 这就将问题转化为情形(1)(齐次化)
     • 解出(6)的通解后,将(5)代入得到方程(0)的通解

Bernoulli方程

• 方程$y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n$(1),$(n\ne 0,n\ne 1)$称为Bernoulli方程

伯努利方程求解步骤

• 原式化为$y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y^{1-n}=q(x)$(2),确定出其中的$p(x),q(x),n$三要素
• 令$z=y^{1-n}$(3),列出关于函数$z(x)$的一阶线性微分方程(标准形式):$z^{\prime }+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)$(3-0)
• 代入线性微分方程的通解公式,再代回$y$,得出$y=y(x)$(3-1)(得原微分方程的通解

分析和推导

• 当$n=0$或$n=1$时,方程(1)退化为普通线性微分方程;
• 当$n\ne 0,n\ne 1$时,此方程虽然不是线性的,但可以通过变量代换,化为线性方程
  • 通常以$y^n$除方程(1)两边,得方程(2)
  • 式(2)左端第一项$y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$(3-2)与$y^{1-n}$的导数$\frac{\mathrm{d}{y}^{1-n}}{\mathrm{d}x}$=$(1-n)y^{-n}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$(4)仅差一个常数因子$(1-n)$,变形式(4),可得$y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$\frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{d}{y}^{1-n}}{\mathrm{d}x}$(4-1)
    • Note:$y$是$x$函数,$y^{1-n}$对$x$求导是复合函数求导:$(y^{1-n}{)}_x^{\prime }$=$(1-n)y^{-n}\cdot y^{\prime }$
  • 因此引入新的因变量$z=y^{1-n}$,即式(3),从而式(4-1)改写为$y^{-n}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$\frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$(4-2)
    • 由式(4-2),式(2)写成:$\frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+p(x)z$=$q(x)$
    • 即$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$+$(1-n)p(x)z$=$(1-n)q(x)$(5)
  • 方程(5)显然是一阶线性方程,这就将Bernoulli方程转换为一阶线性方程问题

例

• 求一阶常系数微分方程$y^{\prime }-y+2\frac{x}{y}$=$0$(1)
• 解
  • 这是一个伯努利方程,将其化为标准形:$y^{\prime }-y$=$-2x\cdot y^{-1}$(2)
  • 令$p(x)$=$-1$;$q(x)=-2x$;$n=-1$,即$1-n=2$
  • 令$z=y^{1-n}$=$y^2$(3)
  • 由Bernoulli方程的解公式得$z$的一阶线性微分方程:$z^{\prime }+2(-1)z=2(-2x)$,即$z^{\prime }-2z=-4x$(4)
  • 代入一阶线性微分方程解公式
    • $g(x)$=$\int -2\mathrm{d}x$=$-2x$
    • 从而$z$=$e^{2x}(C+\int -4x\cdot e^{-2x}\mathrm{d}x)$=$C(e^{2x}+2x+1)$(5),由分部积分可以算出该结果
  • 回代(3)到(5),得$y^2$=$C(e^{2x}+2x+1)$,(6)这就是原方程的隐式通解

可降阶的二阶微分方程

• 二阶及以上的微分方程称为高阶微分方程
• 某些高阶微分方程可以通过代换法转化为较低阶的方程

类型0

• $y^{\prime \prime }=f(x)$(0)型的微分方程
  • 方程右端仅为$x$的函数,作2次积分即可
  • 第1次:$y^{\prime }$=$\int f(x)\mathrm{d}x+C_1$(1)
  • 第2次:$y$=$\int (\int f(x)\mathrm{d}x)\mathrm{d}x+C_{1}x+C_2$(2)
• Note:直接作2次积分:$\int (\int f(x)\mathrm{d}x)\mathrm{d}x+C$会少一个自由变量
  • 因此,要们分开作2次积分,要么直接用公式(2)

类型1

• $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$(1)型的微分方程
  • 该方程右端不含有未知函数$y$
  • 令$y^{\prime }=p$($y$的一阶导数代换为某个函数$p$)
  • 那么$y^{\prime \prime }=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=p^{\prime }$;而方程(1)改写成$p^{\prime }=f(x,p)$(2),这就将二阶方程以代换的方法降阶为一阶方程
  • 设(2)的通解为$p=\varphi (x,C_1)$,即$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$\varphi (x,C_1)$(3),这是一个关于函数$y$的一阶微分方程,继续解这个方程
  • 对(3)两边积分,得通解:$y=\int \varphi (x,C_1)\mathrm{d}x+C_2$(4)

类型2

• $y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$(1)型的微分方程
  • 方程右端不明显得含有自变量$x$
  • 同样令$y^{\prime }=p$,利用复合函数求导法,将$y^{\prime \prime }$表示为$p$关于$y$的导数:$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$(微商的角度描述导数)
    • $y^{\prime \prime }$=$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$=$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}y}$=$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}p$(2),即公式$y^{\prime \prime }$=$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}p$,此公式是核心,配项手法是重点
  • 从而方程(1)化为$p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$=$f(y,p)$(3),这是一个一阶微分方程
  • 设(3)的通解为$y^{\prime }=p=\varphi (y,C_1)$(4),即$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$=$\varphi (y,C_1)$分离变量得$\frac{\mathrm{d}y}{\varphi (y,C_1)}=\mathrm{d}x$(5),
  • 两边积分,得方程的$\int \frac{\mathrm{d}y}{\varphi (y,C_1)}$=$x+C_2$,可求得通解