正项级数级数自身通项的审敛法@比值判别法@根值判别法

文章目录

• • 正项级数自身通项的审敛法
  • • 比值判别法
    • • 证明
    • 根值判别法👺
    • 积分判别法
    • 比值或根式判别法应用于幂级数`*`

正项级数自身通项的审敛法

• 这部分讨论的级数是正项级数
• 对于正项常数项级数$\sum _{i=1}^{\infty }{u}_n$

比值判别法

• 也称为达朗贝尔(d’Alembert)判别法

• 设${\sum }_{n=1}^{+\infty }{u}_n$为正项级数,若,$\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}$,(1),显然$\rho >0$

  1. $\rho <1,S(u)$收敛
  2. $\rho >1,S(u)$发散
     • 包括$\rho \to +\infty$的情形
  3. $\rho =1,S(u)$不确定(敛散性待定)

证明

• 结论1:

  • 当$\rho <1$,取一个适当(足够)小的正数$ϵ$,使得$\rho +ϵ=r<1$;根据极限的定义,$\exists m\in {\mathbb{N}}_{+}$,当$n⩾m$时,总有有不等式$\frac{u_{n+1}}{u_n}<\rho +ϵ=r$(2),即$u_{n+1}<r{u}_n$(2-0)
  • 分别用$n=m,m+1,m+2,\cdots ,m+k$代入(2),得到一系列不等式:
    • $u_{m+1}<r{u}_m$(2-1)
    • $u_{m+2}<r{u}_{m+1}$,(2-2)
    • $u_{m+3}<r{u}_{m+2}$,(2-3)
    • $\cdots$
    • $u_{m+k}<r{u}_{m+k-1}$(2-k)
  • 由(2-1),得$u_{m+2}<r{u}_{m+1}<r(r{u}_m)=r^2{u}_m$(2-2-1)
  • 类似的,将(2-2-1)代入(2-3),$u_{m+3}<r{u}_{m+2}<r(r^2{u}_m)=r^3{u}_m$(2-3-1)
  • $\cdots$
  • $u_{m+k}<r^k{u}_m$(2-k-1)
  • 而级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{r}^k{u}_m$是等比级数,且公比$r<1$,是个收敛级数,由比较审敛法和级数的性质,${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$收敛

• 结论2

  • 当$\rho >1$,取一个适当小的正数$ϵ$,使得$\rho -ϵ>1$,根据极限定义,$\exists m\in {\mathbb{N}}_{+}$,当$n⩾m$时,有不等式:$\frac{u_{n+1}}{u_n}>\rho -ϵ>1$(3),变形可得$u_{n+1}>u_n$(3-0)
  • 这表明,级数的一般项$u_n$是随$n$的增大而增大,且$u_n>0$,从而$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n\ne 0$(3-1)
    • 可能出现$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=a>0$的情况,但是$a\ne 0$,由极限的保号性可知
  • 根据级数收敛的必要条件,可知级数${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$发散
  • 类似的可以证明$\rho \to \infty$时${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n$发散

• 结论3

  • $\rho =1$时,级数可能收敛也可能发散,例如:$p$级数${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$(4),无论$p$取何值,总有
    • $\rho =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}$=$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{(n+1{)}^p}}{\frac{1}{n^p}}$=$1$
    • 而当$p>1$时级数(4)收敛,$p⩽1$时级数(4)发散,因此$\rho =1$无法做出级数敛散性判断

根值判别法👺

• 根值判别法也称为柯西判别法
• $\rho$=$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}$=$\underset{n\to \infty }{\lim }{u_n}^{\frac{1}{n}}$
  • $\rho <1,S(u)$收敛
  • $\rho >1,S(u)$发散
    • 包括$\rho \to +\infty$的情形
  • $\rho =1,S(u)$不确定
• Note:虽然成为根值判别法,但是注意是$n$次方根,而不是平方根
• 证明过程和比值审敛法类似

积分判别法

• $f(x)$是$[1,+\infty ]$上的单调递减的非负连续函数

  • $a_n=f(n),n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

  • $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n和{\int }_1^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x$具有一致的敛散性

比值或根式判别法应用于幂级数*

• 某些幂级数的敛散性或收敛半径利用本节方法求解
• 幂级数的自变量取值确定后就称为常数项级数,但是注意可能不再是正项级数,作比值时要加上绝对值,
• 察满足绝对收敛的收敛半径,详见函数项级数幂级数相关章节