线性方程组
A
x
=
b
\bold{Ax=b}
Ax=b或
A
X
=
B
\bold{AX=B}
AX=B型方程有解定理
R
(
A
)
⩽
R
(
A
,
B
)
R(\bold{A})\leqslant{R(\bold{A,B})}
R(A)⩽R(A,B)
等价矩阵同秩
转置矩阵同秩
秩的定义
公式
R
(
k
A
)
=
R
(
A
)
R(k\bold{A})=R(\bold{A})
R(kA)=R(A),
(
k
≠
0
)
(k\neq{0})
(k=0)
R
(
A
)
R(\bold{A})
R(A)=
R
(
A
T
)
R(\bold{A^{T}})
R(AT)
R
(
A
B
)
⩽
min
(
R
(
A
)
,
R
(
B
)
)
R(\bold {AB})\leqslant{\min(R(\bold A),R(\bold B))}
R(AB)⩽min(R(A),R(B))
max
(
R
(
A
)
,
R
(
B
)
)
⩽
R
(
A
,
B
)
⩽
R
(
A
)
+
R
(
B
)
\max(R(\bold{A}),R(\bold{B}))\leqslant{R(\bold{A,B})}\leqslant{R(\bold{A})+R(\bold{B})}
max(R(A),R(B))⩽R(A,B)⩽R(A)+R(B)
max
(
R
(
A
)
,
R
(
B
)
)
⩽
R
(
A
B
)
⩽
R
(
A
)
+
R
(
B
)
\max(R(\bold{A}),R(\bold{B}))\leqslant{R\begin{pmatrix}\bold A\\\bold B\end{pmatrix}}\leqslant{R(\bold{A})+R(\bold{B})}
max(R(A),R(B))⩽R(AB)⩽R(A)+R(B)
R
(
A
+
B
)
⩽
R
(
A
+
B
B
)
=
R
(
A
B
)
⩽
R
(
A
)
+
R
(
B
)
R(\bold{\bold{A+B}}) \leqslant{R\begin{pmatrix}\bold{A+B}\\\bold B\end{pmatrix}} ={R\begin{pmatrix}\bold A\\\bold B\end{pmatrix}} \leqslant{R(\bold A)+R(\bold B)}
R(A+B)⩽R(A+BB)=R(AB)⩽R(A)+R(B)
R
(
A
T
A
)
⩽
R
(
A
)
R(\bold{A^{T}{A}})\leqslant{R(\bold A)}
R(ATA)⩽R(A)
R
(
A
0
0
B
)
R\begin{pmatrix}\bold{A}&\bold{0}\\\bold{0}&\bold{B}\end{pmatrix}
R(A00B)=
R
(
A
)
+
R
(
B
)
R(\bold{A})+R(\bold{B})
R(A)+R(B)
若
∣
A
∣
≠
0
|\bold{A}|\neq{0}
∣A∣=0,则
R
(
A
B
)
R(\bold{AB})
R(AB)=
R
(
B
A
)
=
R
(
B
)
R(\bold{BA})=R(\bold{B})
R(BA)=R(B)
若
A
m
×
n
B
n
×
l
=
0
\bold{A}_{m\times{n}}\bold{B}_{n\times{l}}=\bold{0}
Am×nBn×l=0,则
R
(
A
)
+
R
(
B
)
⩽
n
R(\bold A)+R(\bold B)\leqslant{n}
R(A)+R(B)⩽n
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2022-12-20 AM@偏微分@全微分@二元函数可导@可微@连续的关系