1. 流体运动方程

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本节主要简要回顾流体力学的运动方程，以确保整个博文系列能够自洽。本系列教程假设读者具有最基础的流体力学知识，不会太详细介绍控制方程的推导过程。

1.1 连续方程

对于变密度 $\rho$ 流体，$\mathbf{U}$ 为速度向量，连续性方程为：

$$\underbrace{\frac{\partial \rho}{\partial t}}_{\text {Storage }}+\underbrace{\nabla \cdot(\rho \mathbf{U})}_{\text {Advection }}=0$$

其中 $t$ 为时间。假设密度 $\rho$ 与时间和空间无关（定密度方程，注意与不可压流体的区别），上式可简化为：

$$\nabla \cdot \mathbf{U}=0$$

即：速度的散度为 $0$。

1.2 动量方程

流体力学中的动量方程，主要基于牛顿第二定理，流体的物质导数可写为：$D \mathbf{U} / D t\left[\mathrm{~ms}^{-2}\right]$。流体微团主要受到表面力和体积力的作用，体积力一般使用应力张量 $\tau_{ij}(\mathbf{x, t}) [\mathrm{~kgm}^{-1}\mathrm{~s}^{-2}]$ (stress Tensor) 表示，且是对称的 $\tau_{ij} = \tau_{ji}$。

流体力学中常见的体积力是重力，假设 $\Psi[\mathrm{~m}^{2}\mathrm{~s}^{-2}]$ 为重力场，单位质量流体的体积力为：

$$\mathbf{g}=-\nabla \Psi$$

受到表面力和体积力的影响，流体微团的加速度可写为：

$$\underbrace{\rho \frac{D U_{j}}{D t}}_{\text {Material Derivative}}=\underbrace{\frac{\partial \tau_{i j}}{\partial x_{i}}}_{\text {Surface Force}}-\underbrace{\rho \frac{\partial \Psi}{\partial x_{j}}}_{\text {Body Force}}$$

对于定粘性的牛顿流体：

$$\underbrace{\tau_{i j}}_{\text {Surface Force }}=-\underbrace{P \delta_{i j}}_{\text {Surface Normal Force }}+\underbrace{\mu\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial U_{j}}{\partial x_{i}}\right)}_{\text {Surface Shear Force }} \text {, }$$

其中 $P\left[\mathrm{kgm}^{-1} \mathrm{~s}^{-2}\right]$ 为压力，$\mu\left[\mathrm{kgm}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}\right]$ 为 dynamic viscosity，本章的推导中假设该系数为常数。考虑到 $\nabla \cdot \mathbf{U}=0$ ，简化后可得 NS 方程：

$$\underbrace{\rho \frac{D U_{j}}{D t}}_{\text {erial Derivative }}=\underbrace{\mu \frac{\partial^{2} U_{j}}{\partial x_{i} \partial x_{i}}}_{\text {Surface Shear Force }}-\underbrace{\frac{\partial P}{\partial x_{j}}}_{\text {Surface Normal Force }}-\underbrace{\rho \frac{\partial \Psi}{\partial x_{j}}}_{\text {Body Force }}$$

进一步简化上述方程，定义 modified pressure 为 $p\left[\mathrm{kgm}^{-1} \mathrm{~s}^{-2}\right]$：

$$p=P+\rho \Psi$$

可以将上式进一步简化为：

$$\underbrace{\frac{D \mathbf{U}}{D t}}_{\text {Material Derivative }}=-\underbrace{\frac{1}{\rho} \nabla p}_{\text {Surface Normal and Body Forces }}+\underbrace{v \nabla^{2} \mathbf{U}}_{\text {Surface Shear Force }}$$

其中 $v=\mu / \rho\left[\mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}\right]$ 为 kinematic viscosity。

在很多实际应用中，粘性项 $\mu\left[\mathrm{kgm}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}\right]$ 的作用相比于压力项 $p$ 可以忽略，此时流体简化为无粘流体，应力张量此时简化为：

$$\tau_{i j}=-P \delta_{i j}$$

此时 NS 方程可以简化为欧拉方程：

$$\underbrace{\frac{D \mathbf{U}}{D t}}_{\text {Material Derivative }}=-\underbrace{\frac{1}{\rho} \nabla p}_{\text {Surface Normal and Body Forces }}$$

1.3守恒被动标量方程

被动标量的定义：标量场受到流场影响，但是不会反过来影响流场的物理量，被称为被动标量 (passive scalar)，可以用符号 $\phi(\mathbf{x},t)$。

其控制方程为：

$$\underbrace{\frac{D \phi}{D t}}_{\text {Material Derivative }}=\underbrace{\Gamma \nabla^{2} \phi}_{\text {Diffusion }}$$

其中 $\Gamma[\mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}]$ 为常数，或者已知的分布。

当被动标量为温度的时候，扩散系数被称为热传导系数。根据 kinematic viscosity 和热传导系数可以定义一个无量纲数 Prandtl number：

$$\operatorname{Pr}=\frac{v}{\Gamma}$$

当被动标量是物质的浓度时，扩散率称为分子扩散率，同样可以定义一个无量纲数 Schmidt number：

$$\operatorname{Sc}=\frac{v}{\Gamma}$$

1.4涡量方程

涡量 $\boldsymbol{\omega}(\mathbf{X}, t)\left[\mathrm{s}^{-1}\right]$的定义为：

$$\boldsymbol{\omega}=\nabla \times \mathbf{U}$$

其控制方程为：

$$\underbrace{\frac{D \omega}{D t}}_{\text {Material Derivative }}=\underbrace{v \nabla^{2} \boldsymbol{\omega}}_{\text {Diffusion }}+\underbrace{\omega . \nabla \mathbf{U}}_{\text {Vortex Stretching }}$$

对于定密度流体，其压力项 $-\nabla \times \nabla p / \rho$ 消失。涡量不能在理想流体的内部产生或消失，而是通过对流和扩在在流场中传递。

1.5 流体运动的表示

拉伸张量：

$$S_{i j} \equiv \frac{1}{2}\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial U_{j}}{\partial x_{i}}\right)$$

旋转张量：

$$\Omega_{i j} \equiv \frac{1}{2}\left(\frac{\partial U_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial U_{j}}{\partial x_{i}}\right)$$

其中粘性应力之和拉伸项有关，和旋转项无关：

$$\tau_{i j}=-P \delta_{i j}+2 \mu S_{i j}$$

vorticity 和旋转率之间的关系：

$$\begin{array}{c} \omega_{i}=-\epsilon_{i j k} \Omega_{j k}, \\ \Omega_{i j}=-\frac{1}{2} \epsilon_{i j k} \omega_{k}, \end{array}$$

1.6 相似和无量纲方程

物理系统的相似可以在三个层面：

1. 几何相似性 (Geometric similarity)
2. 运动相似性 (Kinematic similarity)
3. 动态相似性 (Dynamic similarity)

无量纲方程可以根据特征长度 $\mathcal{L}[\mathrm{m}]$ 和特征速度 $\mathcal{U}\left[\mathrm{ms}^{-1}\right]$ 来推导。由此构造无量纲自变量：

$$\begin{array}{l} \hat{\mathbf{x}}=\frac{\mathbf{x}}{\mathcal{L}} \\ \hat{t}=\frac{t \mathcal{U}}{\mathcal{L}} \end{array}$$

带入到连续性方程和动量方程可得：

$$\begin{array}{c} \frac{\partial \hat{U}_{i}}{\partial \hat{x}_{i}}=0 \\ \frac{D \hat{U}_{j}}{D \hat{t}}=\frac{1}{R e} \frac{\partial^{2} \hat{U}_{j}}{\partial \hat{x}_{i} \partial \hat{x}_{i}}-\frac{\partial \hat{p}}{\partial \hat{x}_{j}} \end{array}$$