树与二叉树（数据结构）

(1)树的基本性质

• 1.树中的结点数等于所有结点的度数+1。
• 2.树中结点的最大度数称为树的度。
• 3.度为m的树中第i层上至多有m^i-1个结点。
• 4.高度为h的m叉树至多有（m^h-1）/（m-1）个结点。
• 5.具有n个结点的m叉树的最小高度math.ceil(log_m[n(m-1)+1])

（2）二叉树的基本性质

1. 二叉树是有序树，次序不能颠倒。
2. 二叉树可以为空，但度为2的树至少有3个结点。
3. 满二叉树：高度h，结点总数为2^h-1。【最完美的二叉树】
4. 完全二叉树：仅次于满二叉树之后完美的二叉树。【有一些完美的性质】
5. 二叉树排序树：左子树小于根节点，右子树大于根节点。左子树和右子树又各是一颗二叉排序树。
6. 平衡二叉树：树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1.【最苛刻的二叉树】

二叉树的一些完美性质：

• 1.叶子结点树等于度为2的结点数+1。即N₀=N₂+1.
• 2.非空二叉树上第K层最多有2^k-1个结点。（满二叉树）
• 3.高度为H的二叉树最多有2^H-1个结点。【完美二叉树、满二叉树】
• 4.对完全二叉树从1到N标号时：
  1. i>1时，它的双亲结点编号为math.floor(i/2).
  2. 2i<=N时，结点i的左孩子编号为2i，否则无左孩子。2i+1<=N时，结点i的右孩子为2i+1.否则无右孩子。
  3. 结点i所在的深度为math.floor(log₂i)+1
• 5.具有N个结点的完全二叉树的高度为：math.floor(log₂N)+1或math.ceil（log₂N+1）

树与二叉树的应用：（重要）

1. 二叉排序树（二叉查找树BST）
   • 二叉排序树的中序遍历是递增有序的序列。（不然怎么叫排序树呢）
   • 二叉排序树的查找：先与根节点比较，之后左子树，右子树。
   • 二叉排序树的插入：插入的新节点一定是某个叶节点。
   • 二叉排序树的删除：
     • ①若删除结点是叶子结点，则直接删除，不会破坏二叉树的性质。
     • ②若删除结点只有一棵左子树或右子树，让其子树代替其原来位置即可。
     • ③既有左子树又有右子树的情况，在右子树上找中序第一个子女填补。

　　　　查找算法的平均查找长度，主要取决于树的高度--->最坏情况下O（n）（n代单传）　

　　2.平衡二叉树

• • 为了避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，规定在插入和删除二叉树结点时，要保证任意节点的左右子树的高度差不超过1，称为平衡二叉树，简称平衡树。
  • 　　　　

　　3.哈夫曼树和哈夫曼编码