10 2023 档案
摘要：[ARC072E] Alice in linear land 首先，一个 trivial 的想法是记 \(f_i\) 表示第 \(i\) 步前离终点的距离，于是 \(f_i=\min\Big(f_{j-1},|f_{j-1}-d_i|\Big)\)。 然后，我们设 \(f_i'\) 表示在修改第 \
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摘要：木 弱智 DP 题，直接设 \(f_i\) 表示 \(i\) 子树内染色的方案数，然后每次合并一个点与它的儿子即可（具体而言，因为儿子间独立，所以方案数就是二项式系数）。 需要注意的是因为第一条边可以在任意位置，所以要以每个点为根各 DP 一次。但是这样每条边会被算两次，所以乘以 2 的逆元即可。
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摘要：Abnormal Permutation Pairs (hard version) 两个限制：字典序小、逆序对大，一个显然的想法就是确保一对关系，统计另一对关系。 确保哪一对呢？我们想了想，决定确保字典序小，因为字典序是可以贪心的。 具体而言，我们考虑两个排列自第 \(i\) 位开始出现了不同。这样
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摘要：[ABC207F] Tree Patrolling 弱智 DP 题，设 \(f(i,j,0/1/2)\) 表示在点 \(i\)，子树中有 \(j\) 个点被覆盖，且 \(i\) 点自身状态是未被覆盖/被自身覆盖/被某个儿子覆盖，然后树上背包更新就行了。 代码： #include<bits/stdc+
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摘要：Kitchen Knobs 首先，一个 trivial 的想法是，因为每个旋钮如果上面的数字并非全部相同则其必有唯一最优位置，故直接扔掉那些全部相同的旋钮，对于剩余的求出其最优位置。明显此位置是一 \(0\sim6\) 的数。 因为是区间同时旋转，所以转成数之后就是区间加同一个数。 一个经典套路是差
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摘要：Secret Passage 稍微观察一下就能发现，任一时刻，我们剩下的东西必然是一段定死了的后缀，加上一些可以任意塞位置的 0 与 1。考虑任意一个由上述时刻生成的串，就会发现它与该后缀的最长公共子序列长度即为后缀长度，且还剩余一些 0 与 1。 于是考虑模拟最长公共子序列的过程。设 \(g_{i
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摘要：Longest Increasing Subsequence LIS 问题有两种主流 \(O(n\log n)\) 解法，最常见的树状数组法，以及不那么常见的二分法。然后考虑本题，发现一个神奇的思路就是求出 LIS 后倒序复原出数组。 进一步思考后发现，因为本题是 LIS（Longest Incre
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摘要：Arcs on a Circle 首先，一个非常自然的想法是尝试断环成链。怎么断呢？我们发现，选择最长线段的起点处截断是个非常好的选择，因为不可能有一个线段完全覆盖它。这之后，一个紧接着的想法就是 DP。 假如把描述中的全部“实点”改成“整点”的话，那么这题是比较 trivial 的，可以通过随便状
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摘要：Placing Squares 关键是将问题从抽象的“正方形面积”转为具象的形式：一段长度为 \(d\) 的区间，有两个不同的小球要放进去，则总放置方案就是 \(d^2\) ，且不同的区间间方案是通过乘法原理结合的，刚好是题目中 \(\prod d^2\) 的形式。 于是我们可以设计 DP：设 \(
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摘要：MRO-Ant colony 根据下取整除法的性质 \((\left\lfloor\dfrac{\left\lfloor\dfrac{x}{y}\right\rfloor}{z}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{x}{yz}\right\rfloor)\)，我们可以反
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摘要：Permutation and Minimum 看到 300 的数据范围，再加上计数题，很容易就往计数 DP 方向去想。 为方便，我们将 \(n\) 乘二。 因为是两个位置取 \(\min\)，于是我们便想到从小往大把每个数填入序列。于是DP数组第一维的意义便出来了：当前已经填入了前 \(i\) 小
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摘要：Gerald and Path 考虑将所有线段按照固定的那一端从小往大排序，并且对线段的端点离散化。 这之后，设 \(f_{i,j}\) 表示当前处理到线段 \(i\)，且所有线段中最右的那根的右端点不右于位置 \(j\)（即可以在 \(j\) 左面或与 \(j\) 重合）时的最优答案。 我们考虑，
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摘要：机动训练 这题的瓶颈，在于把 \(a_i^2\) 看作 \(\sum\limits_{i=1}^{a_i}\sum\limits_{j=1}^{a_i}1\)，然后我们就可以看成“两两相同的机动路径都能贡献 1”。于是我们设 \(f_{x1,y1,x2,y2}\) 表示两条起点为 \((x1,y1)
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摘要：二叉查找树 首先该树的中序遍历是唯一可以确定的（直接按照数据值排序即可）。 然后，因为权值可以被修改成一切实数，故我们完全可以把权值离散化掉。 于是我们现在可以设置一个 DP 状态 \(f[l,r,lim]\) 表示： 区间 \([l,r]\) 中的所有东西构成了一棵子树，且树中最小权值不小于 \(
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摘要：Kuro and Topological Parity 我们考虑在一张染色完成的图里，我们连上了一条边，会有何影响？ \(\bullet\) 在同色节点间连边——明显不会有任何影响。 \(\bullet\) 在异色节点间连边，但是出发点是个偶点（即有偶数条路径以其为终点的节点），终点的路径数增加了，
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摘要：Yakiniku Restaurants 明显在最优方案中，行走方式一定是从一条线段的一端走到另一端，不回头。 于是设 \(f[i,j]\) 表示从 \(i\) 走到 \(j\) 的最优代价。明显，该代价对于不同的券相互独立。故我们依次考虑每一张券。 我们发现，假设有一张位置 \(k\) 的券，则所
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摘要：Erasing Substrings 一个神奇的想法是设 \(f_{i,j}\) 表示在位置 \([1,i]\) 中，我们删去了长度为 \(2^k(k\in j)\) 的一些串，所能得到的最小字典序。使用二分加哈希可以做到 \(O(n^2\log^2 n)\)，无法承受。 发现对于状态 \(f_{i
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摘要：Maxim and Increasing Subsequence 首先，我们可以发现，当这个重复次数很大的时候，答案就等于序列中出现的不同权值个数。实际上，这个“很大”就可以被当作“大于等于不同权值个数”。 不同权值个数实际上是 \(\min(n,m)\) 级别的，其中 \(n\) 是序列长度，\(
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摘要：Subsequence Reversal P 思路： 发现，翻转一个子序列，就意味着两两互换子序列里面的东西。 于是我们就可以设 \(f[l][r][L][R]\) 表示： \(\max[1,l)=L,\min(r,n]=R\) 时的最长长度。 则边界为： \(L>R\) 时， \(f=-\inft
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摘要：Moovie Mooving G 设 \(f[i][S]\) 表示在第 \(i\) 场（注意是场，不是部）电影时，已经看了 \(S\) 里面的电影是否合法。 然后贪心地取 \(|S|\) 最小的状态保存。光荣 MLE 了， \(21\%\)。 发现当一场电影结束后，无论这一场是在哪里看的都没关系。
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摘要：New Year and Arbitrary Arrangement 思路： 期望题果然还是恶心呀！ 我们设 \(f[i][j]\) 表示当串中有 \(i\) 个 \(a\) 和 \(j\) 个 \(ab\) 时的方案数。为了方便，设 \(A=\dfrac{P_a}{P_a+P_b},B=\dfra
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摘要：Good Sequences 状态很显然，设 \(f[i]\) 表示位置 \(i\) 的最长长度。 关键是转移，暴力转移是 \(O(n^2)\) 的，我们必须找到一个更优秀的转移。 因为一个数的质因子数量是 \(O(\log n)\) 的，而只有和这个数具有相同质因子的数是可以转移的； 因此我们可以
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摘要：「LuoGu P5221」Product 给出一个 \(n\) 。求 \[\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^n\dfrac{\operatorname{lcm}(i,j)}{\gcd(i,j)} \]先化简。 \[\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^n\dfrac{\f
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摘要：\[\operatorname{if(n}= 1) \sum_{d|n}\mu(d)=1 \]\[\operatorname{if(n}\neq 1) \sum_{d|n}\mu(d)=0 \]\[\mu * 1=\varepsilon \]\[\sum_{d|n}\mu(d)=\varepsilo
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摘要：定理：相似矩阵特征多项式相同。 证明： \(|\rm PAP^{-1}-\lambda E|\) \(=|\rm PAP^{-1}-\lambda PP^{-1}|\) \(=|\rm (PA-\lambda P)P^{-1}|\) \(=|\rm P(A-P^{-1}\lambda P)P^{-1
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摘要：在树上，对于每个点 \(u\) ，设 \(c(u)\) 为点对 \((s, t)\) 的数量，满足 \(s \ne t\) ，且 \(s\) 到 \(t\) 的路径经过点 \(u\) 。 要求用总共 \(\mathcal O(n)\) 的复杂度，求出 \(c\) 数组。 我们可以把要求的 \(c(u
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摘要：静态区间第 \(k\) 小，强制在线。 设原数组长度为 \(n\) ，值域为 \(V\) 。 首先我们 \(kth\) 转 \(rnk\) ，给定 \((l, r, x)\) ，查询数组 \(a[l \ldots r]\) 中 \(<x\) 的数量，强制在线。 \(rnk\) 做法一 再差分简化一下
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摘要：一.堆的性质 1.堆是一颗完全二叉树 2.堆的顶端一定是“最大”，最小”的，但是要注意一个点，这里的大和小并不是传统意义下的大和小，它是相对于优先级而言的，当然你也可以把优先级定为传统意义下的大小，但一定要牢记这一点，初学者容易把堆的“大小”直接定义为传统意义下的大小，某些题就不是按数字的大小为优先
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摘要：Dead Ends \(n\le10\)，我还是第一次见到这么小的状压 我们设 \(f[S][s]\) 表示：将集合 \(S\) 内的点连成一棵树，且集合 \(s\) 里的节点是叶子节点的方案数。 则有 \[f[S\cup\{j\}][\{s\setminus i\}\cup\{j\}]+=f[S]
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摘要：Party DP 是门艺术。 \(n\leq 22\) 一眼状压。但是怎么状压就比较困难，因为同一个 \(f[x]\) 可以代表成千上万种含义。 这里我们采用，设 \(f[x]\) 表示当 \(x\) 集合中所有的点都处于同一个团内的最小代价。 则我们有 \(f[x \operatorname{or
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摘要：Long Colorful Strip 中间如果有那些地方看不懂，可以先去看看前面一道，这是我的题解。 首先，每一次染色，最多把一整段连续的同色格子，分成了三段。 并且，明显我们可以把连续的同色格子，直接看作一个。 这就意味着，在这么压缩后，有 \(m<2n\)。 这就意味着 \(O(m^3)\)
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摘要：Short Colorful Strip 考虑设 \(f[i,j]\) 表示：假设区间 \([i,j]\) 里面一开始所有格子的颜色都是相同的，那么，染成目标状态共有多少种染法。 我们找到 \([i,j]\) 中最小的那个颜色，设为 \(mp\)。则显然，我们下一步要染上 \(mp\) 这种颜色。
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摘要：Connecting Vertices 这个奇怪的限制（两条边不能有交点）让我们想到什么？ 对于任何一种方案，不存在 \(x_0<x_1<y_0<y_1\)，其中连边 \((x_0,y_0),(x_1,y_1)\)。 也就是说，对于任何一段区间 \([i,j]\)，如果里面所有点全都连通： 要么 \
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摘要：BubbleSquare Tokens 神仙构造题。 首先，我们令所有点初始都没有放币，所有边上都放了一个币。则此时每个点的权值即为它的度数。 然后，我们考虑从小到大计算每个点的权值。对于每个点 \(i\)，我们枚举它所有相邻且编号比它小的点，假如该点上没有币，就把币从连接两点的边上移到另一端的点上
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摘要：Piling Up 一个很好的思路就是设 \(f[i][j]\) 表示当前进行了 \(i\) 步，并且盒子中剩下了 \(j\) 个白球的方案数，然后直接 DP 即可。 但是这样是有问题的，它没有考虑到重复计算的问题。 我们不妨令 \(+\) 符号表示取出黑球，\(-\)符号表示取出白球。 则一种方式
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摘要：奇怪装置 找到循环就很简单了。 很显然 \(y\) 是每 \(B\) 次一循环的，对于每个相邻的 \(y\) 循环 \(x\) 的值均相差 \(B+1(\bmod A)\)。 因此总的循环就是 \(B+1\) 对于 \(A\) 的循环乘上 \(B\)。 即 \(\frac{A}{\gcd(A,B+1
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摘要：[ARC143D] Bridges 题意：给定 \(2n\) 个点和 \((u_1,v_1) , \cdots , (u_m,v_m)\)，选择让 \(u_i\) 连 \(v_i+n\) 或 \(v_i\) 连 \(u_i+n\)，以最小化图中桥的个数。 有种技巧叫拆点，把一个点拆成入点和出点，看这
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摘要：[SDOI2013] 城市规划 题意：给你一个 \(6 \times n\) 的网格题，单点修改，询问区间联通块数，\(n \le 10^5\)。 解：看起来就很显然的一道题......线段树每个点用一个 ufs 维护连通性； 我为了方便思考把图转成横着的了。 写起来真是毒瘤...... 重点在于：
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摘要：所有的 \(DP\) ，只要式子一推出来（不管复杂度），那就很简单了，因为优化是成千上万种的…… 思路1: 我们考虑设 \(f[i][j][k]\) 表示：当前 \(DP\) 到第 \(i\) 块木板的第 \(j\) 个位置，共涂了 \(k\) 次，所能获得的最大收益。因为还要枚举当前这次涂是从哪到
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