[AGC013E] Placing Squares 题解

Placing Squares

关键是将问题从抽象的“正方形面积”转为具象的形式：一段长度为 $d$ 的区间，有两个不同的小球要放进去，则总放置方案就是 $d^2$ ，且不同的区间间方案是通过乘法原理结合的，刚好是题目中 $\prod d^2$ 的形式。

于是我们可以设计 DP：设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个格子中，最后一段中有 $j$ 个球。明显 $j\in [0,2]$。

常规的位置可以直接矩阵快速幂解决；然而对于题目中给出的特殊位置，需要用特殊的矩阵处理。

因此复杂度 $O(3^{3}m\log n)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,a[100100];
const int mod=1e9+7;
struct Matrix{
    int g[3][3];
    int*operator[](int x){return g[x];}
    Matrix(){memset(g,0,sizeof(g));}
    friend Matrix operator*(Matrix x,Matrix y){
        Matrix z;
        for(int i=0;i<3;i++){
			for(int j=0;j<3;j++){
				for(int k=0;k<3;k++){
					(z[i][j]+=1ll*x[i][k]*y[k][j]%mod)%=mod; 
				}
			}
		}
        return z;
    }
}A,B,R;
Matrix ksm(Matrix x,int y){
    Matrix z;
    z[0][0]=z[1][1]=z[2][2]=1;
    for(;y;y>>=1,x=x*x) if(y&1) z=z*x;
    return z; 
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d",&a[i]);
	a[m+1]=n;
    A[0][1]=2,A[0][2]=A[1][2]=1;
    A[2][0]=1,A[2][1]=A[2][2]=2;
    A[0][0]=A[1][1]=1;
    B[0][1]=2,B[0][2]=B[1][2]=1;
    B[0][0]=B[1][1]=B[2][2]=1;
    R=ksm(A,a[1]);
    for(int i=1;i<=m;i++){
		R=R*B;
		R=R*ksm(A,a[i+1]-a[i]-1);
	}
    printf("%d",R[0][2]);
    return 0;
}