堆 【笔记】

一.堆的性质

1.堆是一颗完全二叉树

2.堆的顶端一定是“最大”，最小”的，但是要注意一个点，这里的大和小并不是传统意义下的大和小，它是相对于优先级而言的，当然你也可以把优先级定为传统意义下的大小，但一定要牢记这一点，初学者容易把堆的“大小”直接定义为传统意义下的大小，某些题就不是按数字的大小为优先级来进行堆的操作的

（但是为了讲解方便，下文直接把堆的优先级定为传统意义下的大小，所以上面跟没讲有什么区别？）

3.堆一般有两种样子，小根堆和大根堆，分别对应第二个性质中的“堆顶最大”“堆顶最小”，对于大根堆而言，任何一个非根节点，它的优先级都小于堆顶，对于小根堆而言，任何一个非根节点，它的优先级都大于堆顶（这里的根就是堆顶啦qwq）

来一张图了解一下堆（这里是小根堆）（原谅我丑陋无比的图）

不难看出，对于堆的每个子树，它同样也是一个堆（因为是完全二叉树嘛）

二.堆的操作

1.插入

假设你已经有一个堆了，就是上面那个

这个时候你如果想要给它加入一个节点怎么办，比如说0？

先插到堆底（严格意义上来说其实0是在5的左儿子的，图没画好放不下去，不过也不影响）

然后你会发现它比它的父亲小啊，那怎么办？不符合小根堆的性质了啊，那就交换一下他们的位置

交换之后还是发现不符合小根堆的性质，那么再换

还是不行，再换

好了，这下就符合小根堆的性质了，是不是顺眼很多了？（假的，图越来越丑，原谅我不想再画）

事实上堆的插入就是把新的元素放到堆底，然后检查它是否符合堆的性质，如果符合就丢在那里了，如果不符合，那就和它的父亲交换一下，一直交换交换交换，直到符合堆的性质，那么就插入完成了

void swap(int &x,int &y){int t=x;x=y;y=t;}//交换函数 
int heap[N];//定义一个数组来存堆
int siz;//堆的大小 
void push(int x){//要插入的数 
	heap[++siz]=x;
	now=siz;
	//插入到堆底 
	while(now){//还没到根节点，还能交换 
		ll nxt=now>>1;//找到它的父亲 
		if(heap[nxt]>heap[now])swap(heap[nxt],heap[now]);//父亲比它大，那就交换 
		else break;//如果比它父亲小，那就代表着插入完成了 
		now=nxt;//交换 
	}
	return; 
}

2.删除

把0插入完以后，忽然你看这个0不爽了，本来都是正整数，怎么就混进来你这个0？

于是这时候你就想把它删除掉

怎么删除？在删除的过程中还是要维护小根堆的性质

如果你直接删掉了，那就没有堆顶了，这个堆就直接乱了，所以我们要保证删除后这一整个堆还是个完好的小根堆

首先在它的两个儿子里面，找一个比较小的，和它交换一下，但是还是没法删除，因为下方还有节点，那就继续交换

还是不行，再换

再换

好了，这个碍眼的东西终于的下面终于没有节点了，这时候直接把它扔掉就好了

这样我们就完成了删除操作，但是在实际的代码操作中，并不是这样进行删除操作的，有一定的微调，代码中是直接把堆顶和堆底交换一下，然后把交换后的堆顶不断与它的子节点交换，直到这个堆重新符合堆性质（但是上面的方式好理解啊）

手写堆的删除支持任意一个节点的删除，不过 $STL$ 只支持堆顶删除

void pop(){
	swap(heap[siz],heap[1]);siz--;//交换堆顶和堆底，然后直接弹掉堆底 
	int now=1;
	while((now<<1)<=siz){//对该节点进行向下交换的操作 
    	int nxt=now<<1;//找出当前节点的左儿子 
        if(nxt+1<=siz&&heap[nxt+1]<heap[nxt])nxt++;//看看是要左儿子还是右儿子跟它换 
        if(heap[nxt]<heap[now])swap(heap[now],heap[nxt]);//如果不符合堆性质就换 
        else break;//否则就完成了 
        now=nxt;//往下一层继续向下交换 
	}
}

3.查询

因为我们一直维护着这个堆使它满足堆性质，而堆最简单的查询就是查询优先级最低/最高的元素，对于我们维护的这个堆 $heap$ ，它的优先级最低/最高的元素就是堆顶，所以查询之后输出 $heap[1]$ 就好了

一般的题目里面查询操作是和删除操作捆绑的，查询完后顺便就删掉了，这个主要因题而异

三.堆的STL实现

这年头真的没几个人写手写堆（可能有情怀党？）

一是手写堆容易写错代码又多，二是 $STL$ 直接给我们提供了一个实现堆的简单方式：优先队列

手写堆和STL的优先队列有什么 区别？没有区别

速度方面，手写堆会偏快一点，但是如果开了 $O2$ 优化优先队列可能会更快；

定义一个优先队列：

priority_queue<int> Q;//这是一个大根堆Q
priority_queue<int,vector<int>,less<int> > q1;//这个也是大根堆q1 
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;//这是一个小根堆q

优先队列的操作：

//q.push() 压入元素。
//q.pop() 弹出堆顶元素。
//q.top() 返回堆顶元素。
//q.empty() 返回是否为空（返回值 bool 类型）。
//q.size() 返回堆大小。
//q.modify(iterator, key) 修改迭代器位置的值。
//q.erase(iterator) 删除迭代器位置的值。
//q.join() 把另一个堆和当前堆合并并清空被合并的堆。

四.堆的复杂度

因为堆是一棵完全二叉树，所以对于一个节点数为n的堆，它的高度不会超过 $lo{g}_{2}n$

所以对于插入，删除操作复杂度为 $O(lo{g}_{2}n)$

查询堆顶操作的复杂度为 $O(1)$

五.堆的其他稀奇古怪的东西

首先要知道 $pb$ _ $ds$ 这个东西

$pb$ _ $ds$ $(Policy-BasedStructures)$ 库包含于 __ $gnu$ _ $pbds$ 命名空间里，使用其中的堆需要两个头文件：

#include <ext/pb_ds/assoc_container.hpp> 
#include <ext/pb_ds/priority_queue.hpp> 

万能头不能解决问题，只包含标准库的所有头文件，而 $pb$ _ $ds$ 库是扩展库！

库中有主要有五种类型

__gnu_pbds::pairing_heap_tag A; 
//配对堆push,pop效率较好push,join复杂度为O(1)但pop的最差复杂度很高
__gnu_pbds::binary_heap_tag B; 
//二叉堆push,pop效率高
__gnu_pbds::binomial_heap_tag C; 
//二项堆push,pop效率较差.但pop函数的时间复杂度最慢只有亚线性。
__gnu_pbds::rc_binomial_heap_tag D; 
//冗余计数二项堆相比二项堆push,pop更差但是push O(1)
__gnu_pbds::thin_heap_tag E; 
//斐波那契堆(注:合并堆的复杂度与斐波那契堆不同)适合图论算法
//在一些方面甚至优于斐波那契堆,不过由于封装过紧,常数大,反而在非图论算法上最劣.

还有一个小知识，就是可删堆

这个堆我自己也不会用

大家看代码就行了...

struct PQ{
	priority_queue<int> val,delv;
	void clear(){priority_queue<int> nv,nd;swap(nv,val);swap(nd,delv);}
	void pop(int x){delv.push(x);}
	void push(int x){val.push(x);}
	int top(){
		while(!delv.empty()&&delv.top()==val.top()) delv.pop(),val.pop();
		return val.empty()?0:val.top();
	}
};