【数理统计】概率统计
一、古典概型与几何概型
1.1古典概型与几何概型特征
1）共同点：等可能性（每个事件发生的概率相同）
2）区别：
- 古典概型的样本空间是一个有限集。
- 几何概型可以是无限集，但它可以用几何区域来表示
1.2公式
1）古典概型：
已知基本事件个数n与事件A所包含的结果数m，然后代入公式：
即为事件A的概率。
2）几何概型：使用有度量（长度、面积、体积等）的几何区域表示：
1.3求解步骤
1.3.1古典概型
1）判断事件是否为等可能性事件，并用字母表示所求事件；
2）利用列举法等方法计算基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；
3）计算事件中A的概率
1.3.2几何概型
1）把样本空间和所求概率的事件用关系式表示出来，其中又分两类：
a、样本空间具有明显的几何意义，样本点所在的几何区域题目中已给出
b、样本空间所求事件所对应的几何区域没有直接给出，找出它们成为解这类几何概率题的关键。方法是先引进变量，然后用代数公式表示变量间的关系，再绘图根据几何形状求解。
2）在坐标系中把几何图形画出来
3）根据图像按照古典概型公式求解
例：
二、条件概率与贝叶斯
2.1定义
2.1.1条件概率
2.1.2乘法公式
由此可得到：
例：
注：当A属于B的时候，P（A）=P（AB）
2.1.3全概率公式：
1）原理：乘法公式的扩展
设是两个事件,那么可以表示为
显然,
,如果
则
由此可得：
2）定义：
设试验E的样本空间,
为
的事件, 
为
的一个分割,且
,则
上式被称为全概率公式。
例：
答
2.1.4贝叶斯公式
设试验
的样本空间,
为
的事件, 
为
的一个分割,且
,则
上式称为贝叶斯公式。
证明：
2.1.5独立事件
1）两个事件的独立
注：此时P（A|B）=P（A）=P（AB）/ P（B）
2）多个事件的独立
3）n重伯努利试验（n重独立重复试验）
二项式定理：
对于伯努利概型，事件A在n次试验中发生k次的概率为
2.2条件概率中的P（B|A）特征（全概率公式和贝叶斯公式）
共同点：都是由条件概率和乘法公式推广得到的
区别：
- 全概率公式求解的是P（B），其中A被分解为A=A1+A2+...An的集合，由此分解P（B）=P（A1B）+P（A2B）+...P（AnB）来求解。
- 贝叶斯公式求解的是P（Bi|A），其被称为后验概率，P（A）被称为先验概率。可以这样理解为：导致P（A）发生的因素有很多种，B=B1+B2+...+Bn，其中由Bi导致A发生的概率就是后验概率。它可以用来分析各种前提因素的重要性。
三、大数定律与中心极限定理
3.1大数定理
多个随机变量的算数平均μ渐近
3.2中心极限定理
当n充分大时，独立同分布的随机变量X1，X2，...，Xn，且E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2>0，则这些随机变量的和服从正态分布：
这些随机变量和的均值服从正态分布：
而
四、参数估计与假设检验
、4.1参数估计
4.1.1点估计
1）矩估计
2）最大似然数估计
4.1.2估计的评价标准
1）无偏性
2）有效性
3）相合性
4.1.2区间估计
置信水平（置信度）：1-α
4.2假设检验
显著水平：α，取0.05，0.01和0.1
4.3参数估计和假设检验的异同
4.3.1共同点
原理都是由下式正态分布规律得到的：
4.3.2区别
- 参数估计认为均值X（ba）落入在横坐标轴区间（-zα/2，zα/2）的概率是1-α
由此得到估计区间：
- 假设检验认为X（ba）落入在横坐标轴区间（0，-zα/2）和（zα/2，0）的事件属于小概率事件，对于给定的小概率α（0<α<1）有：
若
（拒绝域）成立，则拒绝原假设H0，接收H1，否则没有充分的理由拒绝H0，应该认可H0。
（拒绝域）成立，则拒绝原假设H0，接收H1，否则没有充分的理由拒绝H0，应该认可H0。4.3.3求解步骤
- 参数估计：
1、选定一个轴枢量：分布已知的z（x1，x2，...，θ）
2、确定置信区间：P{-zα/2<z（x1，x2，...，θ）<zα/2}=1-α
3、化简得到：P{θ1（x1，x2，...，xn）<θ<θ1（x1，x2，...，xn）}=1-α，则得到参数的区间估计（θ1，θ2）
- 假设检验：
1、提出原假设H0，以及备选（被择）假设H1。（其中H0和H1是对立的）
2、设原假设成立，并以此构造一个小概率的事件，其概率值为P=α
3、代入样本数据判断小概率事件是否发生，若发生则拒绝H0，认可H1。
附：排列组合公式
公式描述：公式中A(n,m)为排列数公式，C(n,m)为组合数公式。
参考资料：
1、刘安平，肖海军等，《概率论与数理统计》，科学出版社
2、郑州轻工业学院概率论与数理统计讲义：http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/gailvlunyushulitongjizhidao.htm
