【数理统计】高等代数

高等代数

一、行列式

1.1求三阶行列式：

计算方法：按图计算，实线为正号，虚线为负号

1.2求n阶行列式

1）计算排列逆序数

例1：求32154的逆序数：

答：0+1+2+0+1=4

例2：求n(n-1)...21的逆序数：

答：n(n-1)/2

2）计算公式：逆序数为奇数取负，为偶数取正。

注意是按行顺序取数：a_1p1，a_2p2，...，a_npn

1.3行列式D的性质

1、D=D^T

2、互换行列式2行（列），D改变正负号。

3、D中存在2行（列）完全相同，则D为0

4、D中存在元素全为0的某行（列），则D为0

5、D中存在两行（列）对应元素成比例，则D为0

6、行列式某一行（列）中所有元素同乘以k，等于k*D，即可以将公因子提到行列式外面

7、D的对某一行加上k*另一行，则D不变

证明：

1.4元素a_ij的代数余子式A_ij

1、公式

A_ij=（-1）^i+j*M_ij

其中M_ij是D的余子式，它由行列式D去掉元素a_ij去掉第i行j列后剩下的（n-1）个元素保持原位置组成的n-1阶行列式。

2、求行列式：行列式的展开法则

D=a_i1A_i1+a_i2A_i2+...+a_inA_in（i=1，2，...，n）

例：

二、矩阵

2.1运算律

加法：

1）交换律：A+B=B+A

2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）

数乘：

1）结合律：（λμ）A=λ（μA）

2）分配率：λ（A+B）=λA+λB，（λ+μ）A=λA+μA

2.2矩阵乘法

2.2.1公式

2.2.2运算律

1）结合律：（AB）C=A（BC）

2）分配律：A（B+C）=AB+AC，（B+C）A=BA+CA

3）λ（AB）=（λA）B=A（λB）

4）AE=A

5）A的幂运算：A^kA^l=A^k+l，（A^k）^l=A^kl

2.3转置矩阵A^T的运算律

1）（A^T）^T=A

2）（A+B）^T=A^T+B^T

3）（λA）^T=λA^T，λ为数

4）（AB）^T=B^TA^T推广到（A₁A₂...A_l）^T=A_l^TA_l-1^T...A_l^T

2.4方阵

2.4.1行列式det（A）的运算律

1）|A^T|=|A|

2）|λA|=λⁿ|A|

3）|AB|=|AB|

2.4.2逆矩阵

1）公式

设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使

AB=BA=E

则称A是可逆的，B为A的逆矩阵。

2）A的伴随矩阵A^*

其中，A*中的元素Aij是|A|中aij的代数余子式。

3）性质

1）AA^*=A^*A=|A|E

2）（A^-1）^-1=A

3）（λA）^-1=1/λ A^-1（λ！=0）

4）|A^-1|=|A|^-1

5）（A^T）^-1=（A^-1）^T

6）A可逆，B可逆，AB也可逆，且（AB）^-1=B^-1A^-1

 

• 奇异矩阵：A为方阵，|A|=0；
• 非奇异矩阵：A为方阵，|A|！=0；

若矩阵A可逆，则|A|！=0

2.5矩阵的秩与初等变换

2.5.1秩

矩阵A的r阶子式D不等于0，而A的所有r+1阶子式全为0，则r称为矩阵A的秩，记为R（A）=r。其中零矩阵的秩为0。

2.5.2初等变换

2.5.2.1定义

1）对调某两行r_i<-->r_j

2）以数k！=0乘以某一行中所有元素kr_i

3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上r_i+kr_j

等价矩阵：矩阵A初等变换得到的矩阵B。记为A~B

2.5.2.2性质

1）对A施行一次初等行变换相当于在A_m*n的左边乘以初等矩阵P_m*m；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以初等矩阵Q_n*n

2）可逆矩阵A可标识成有限个初等矩阵的乘积A=P1P2...Pl，由此可得

P^-1（A|E）=（E|A^-1）

A^-1（A|B）=（E|A^-1B）

例1：求A^-1

答：利用公式P^-1（A|E）=（E|A^-1）

例2：求A^-1B

答：利用公式A^-1（A|B）=（E|A^-1B）

三、方阵的特征值与特征向量

3.1定义

1）特征值与特征向量

设A是一个n阶方阵，λ是一个数，如果方程

       

或

存在非零解向量X，则称λ为A的一个特征值，对应的X为特征值相应的特征向量。

2）特征方程

这是n个未知数x，n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式

即

上式是以λ为未知数的一元次方程，称为方阵A的特征方程：

 ==

因为特征方程的解就是A的特征值λ。特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶矩阵A有n个特征值。

3.2求解特征值和特征向量

例：

3.3性质

1）属于不同特征值的特征向量一定线性无关。

2）λ

3）相似：就是之前的等价矩阵

• 设A、B都是n阶方阵，若存在满秩矩阵P， 使得

则称A与B相似，记作A~B ，且满秩矩阵P称为将A变为B的相似变换矩阵。

• 相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。
• 若阶矩阵与对角矩阵

                相似，则即是A的n个特征值。

4）特征值与矩阵的阶数没有任何关系，可以取任意大的值。只有在主成分分析和因子分析里才强调最大特征值λ。

 

 

参考资料：

1、李宏伟，李星，李志明，《工程高等代数》，科学出版社

2、http://course.tjau.edu.cn/xianxingdaishu/jiao/5.htm

 

 

 

 

 

 

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