【数据结构与算法】时间复杂度的计算
基本的计算步骤
时间复杂度的定义
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号 )，简称时间复杂度。
根据定义，可以归纳出基本的计算步骤
1. 计算出基本操作的执行次数T(n)
基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。
2. 计算出T(n)的数量级
求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：
忽略常量、低次幂和最高次幂的系数
令f(n)=T(n)的数量级。
3. 用大O来表示时间复杂度
当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。
一个示例：
(1) int num1, num2;
(2) for(int i=0; i<n; i++){
(3) num1 += 1;
(4) for(int j=1; j<=n; j*=2){
(5) num2 += num1;
(6) }
(7) }
分析：
1.
语句int num1, num2;的频度为1；
语句i=0;的频度为1；
语句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的频度为n；4条
语句j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log2n；3条
T(n) = 2 + 4n + 3n*log2n
2.
忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数
f(n) = n*log2n
3.
lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log2n) / (n*log2n)
= 2*(1/n)*(1/log2n) + 4*(1/log2n) + 3
当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log2n趋向于0
所以极限等于3。
T(n) = O(n*log2n)
简化的计算步骤
再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数最多的语句，这里是num2 += num1，一般也是最内循环的语句。
并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉？
于是，以上步骤可以简化为：
1. 找到执行次数最多的语句
2. 计算语句执行次数的数量级
3. 用大O来表示结果
继续以上述算法为例，进行分析：
1.
执行次数最多的语句为num2 += num1
2.
T(n) = n*log2n
f(n) = n*log2n
3.
// lim(T(n)/f(n)) = 1
T(n) = O(n*log2n)
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一些补充说明
最坏时间复杂度
算法的时间复杂度不仅与语句频度有关，还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。
求数量级
即求对数值(log)，默认底数为10，简单来说就是“一个数用标准科学计数法表示后，10的指数”。例如，5000=5x10 3 (log5000=3) ，数量级为3。另外，一个未知数的数量级为其最接近的数量级，即最大可能的数量级。
求极限的技巧
要利用好1/n。当n趋于无穷大时，1/n趋向于0
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一些规则(引自：时间复杂度计算 )
1) 加法规则
T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O (max ( f(n), g(m) )
2) 乘法规则
T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))
3) 一个特例（问题规模为常量的时间复杂度）
在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) ＝ O(c)， c是一个与n无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有
T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) )
也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。
4) 一个经验规则
复杂度与时间效率的关系：
c < log2n < n < n*log2n < n2 < n3 < 2n < 3n < n! （c是一个常量）
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较好 一般 较差
其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2n 、n 、 n*log2n,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是 2n , 3n ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。
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复杂情况的分析
以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析，但实际上还可能有其他的情况，下面将例举说明。
1.并列循环的复杂度分析
将各个嵌套循环的时间复杂度相加。
例如：
for (i=1; i<=n; i++)
x++;
for (i=1; i<=n; i++)
for (j=1; j<=n; j++)
x++;
解：
第一个for循环
T(n) = n
f(n) = n
时间复杂度为Ο(n)
第二个for循环
T(n) = n2
f(n) = n2
时间复杂度为Ο(n2)
整个算法的时间复杂度为Ο(n+n2) = Ο(n2)。
2.函数调用的复杂度分析
例如：
public void printsum(int count){
int sum = 1;
for(int i= 0; i<n; i++){
sum += i;
}
System.out.print(sum);
}
分析：
记住，只有可运行的语句才会增加时间复杂度，因此，上面方法里的内容除了循环之外，其余的可运行语句的复杂度都是O(1)。
所以printsum的时间复杂度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)
*这里其实可以运用公式 num = n*(n+1)/2，对算法进行优化，改为：
public void printsum(int count){
int sum = 1;
sum = count * (count+1)/2;
System.out.print(sum);
}
这样算法的时间复杂度将由原来的O(n)降为O(1)，大大地提高了算法的性能。
3.混合情况（多个方法调用与循环）的复杂度分析
例如：
public void suixiangMethod(int n){
printsum(n);//1.1
for(int i= 0; i<n; i++){
printsum(n); //1.2
}
for(int i= 0; i<n; i++){
for(int k=0; k<n; k++){
System.out.print(i,k); //1.3
}
}
suixiangMethod 方法的时间复杂度需要计算方法体的各个成员的复杂度。
也就是1.1+1.2+1.3 = O(1)+O(n)+O(n2) ----> 忽略常数 和 非主要项 == O(n2)
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更多的例子
O(1)
交换i和j的内容
temp=i;
i=j;
j=temp;
以上三条单个语句的频度为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。
O(n2)
sum=0； /* 执行次数1 */
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
sum++； /* 执行次数n2 */
解：T(n) = 1 + n2 = O(n2)
for (i=1;i<n;i++)
{
y=y+1; ①
for (j=0;j<=(2*n);j++)
x++; ②
}
解： 语句1的频度是n-1
语句2的频度是(n-1)*(2n+1) = 2n2-n-1
T(n) = 2n2-n-1+(n-1) = 2n2-2
f(n) = n2
lim(T(n)/f(n)) = 2 + 2*(1/n2) = 2
T(n) = O(n2).
O(n)
a=0;
b=1; ①
for (i=1;i<=n;i++) ②
{
s=a+b; ③
b=a; ④
a=s; ⑤
}
解： 语句1的频度：2,
语句2的频度：n,
语句3的频度：n,
语句4的频度：n,
语句5的频度：n,
T(n) = 2+4n
f(n) = n
lim(T(n)/f(n)) = 2*(1/n) + 4 = 4
T(n) = O(n).
O(log2n)
i=1; ①
while (i<=n)
i=i*2; ②
解： 语句1的频度是1,
设语句2的频度是t, 则：2t<=n; t<=log2n
考虑最坏情况，取最大值t=log2n,
T(n) = 1 + log2n
f(n) = log2n
lim(T(n)/f(n)) = 1/log2n + 1 = 1
T(n) = O(log2n)
O(n3)
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<i;j++)
{
for(k=0;k<j;k++)
x=x+2;
}
}
解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 , 所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次
T(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n3-n)/2? <--4
f(n) = n3
所以时间复杂度为O(n3)。
