课程作业——集合论部分
一、 填空题5 b; }; q1 e( k9 B7 j8 "
1、集合的表示方法有两种： 列举 法和 描述 法。请把“大于3而小于或等于7的整数集合”用任一种集合的表示方法表示出来A={ 4，5，6，7 }。/ U g F; n# v% E
2、“不超过29的全体素数组成的集合”表示为 。; Z$ B+ L# p6 k9 n
3、写出A={1，{1}，2，{2}}的全部子集 。% {, M0 V4 I, V* y
4、集合运算的基本定律：A&639;A=A，满足 幂等 律；A&
639;~A=&
~B，满足 摩根 律。ÇB）=~AÈ510;，满足 补余 律；~（A
（A）={{ 5}，{ 2，5}，{r-（B）r5、设A，B是两个集合，A={1，2，3，4}，B={2，3，5}，则B-A={ 5 } ， （B）的元素个数为 3 。r3，5}，{ 2，3，5}} ，) `6 V- R3 G0 |* R5 a: o1 C6 Z
C= ~ÈB）Ç6、全集E={a，b，c，d，e}，A={a，d}，B={a，b，e}，C={b，d}， 求（A ,{ a}} 。f（B）= { rÇ（A）r { a，c，e} ，8 [- |3 H& V' B7 x6 r7 ^0 o
7、 A和B是任意两个集合，若序偶的第一个元素是A的一个元素，第二个元素是B的一个元素，则所有这样的序偶集合称为集合A和B的 ，7 s1 F2 ^- O! x3 l" V5 P; j! Q8 C6 R
B= ´B，即A´记作A B的子集R称为A，B上的 。´。A
8、 ，则从A到B的所有映射是 " ~! M4 U1 J: W3 D6 W2 o* k. Y
。; @' n, x, U& k- m6 G% a
9、 R是集合A上的二元关系，如果关系R同时具有 自反 性、 对称 性和 传递 性，则称R是等价关系。
10、 设集合A={1，2，3}，σ与τ都是A上的映射，σ={（1，2），（2，1），（3，3）}，τ={（1，3），（2，2），（3，2）}，则 ， 。
11、 设R1，R2是集合A={a，b，c，d}上的二元关系，其中R1={（a，a），（a，b），（b，d）}，R2={（a，d），（b，c），（b，d），（c，b）}，则R1 R2 = ，R12= 。×$ H% I' z* w3 S% q5 }: t
二、 单项选择题" B& j* V8 J5 O l) z
1. 由集合运算定义，下列各式正确的有（ A ）。/ A1 u9 B; ~- x$ Q9 }
A． YÇXÍY D.YÇXÍY C.XÈXÊY B.XÈXÍX2 D) K3 n* T8 c2 ~# |" [' A, Y
2、 下列命题正确的是（ ）。$ D' C- R4 N! }8 O4 d* M
{a，b，c} Î C．{a}f}=f{Èf B．f}=f{ÇfA． {a，b，c}Îf D．
3、设集合 ，则（ ）。
; {; v$ b4 J, T$ u+ G* D
4、 下列式子中正确的有（ ）。2 O: K7 k' A( g: ]4 M+ P8 }" C* I
5、 集合A={a，b，c}，A上的关系R={（a，b），（a，c），（b，a），（b，c），（c，a），（c，b），（c，c）}，则R具有关系的（ C ）性质。+ C, {% k. }* e. {
A．自反 B．对称 C．传递 D．反对称
6、设集合 A={1，2，3}，A上的关系R={(1，1)， (1，2)， (2，2)， (3，3)， (3，2)}，则R不具备（ A ）。0 J0 d) T$ K2 C/ i& g
A 自反性 B 传递性 C 对称性 D 反对称性
7、设R1，R2是集合A={a，b，c，d}上的两个关系，其中R1={（a，a），（b，b），（b，c），（d，d）}，R2={（a，a），（b，b），（b，c），（c，b），（d，d）}，则R2是R1的（ B ）闭包。% b6 v( C0 |6 C/ R0 H
A．自反 B．对称 C．传递 D．以上都不是2 P6 B% J9 p, ?# B4 w; y$ Z2 N6 a
）是半序集，则A（ ）。£8、设（A，7 y2 {1 Z& L( z! R
A 必有最大元和极大元 B不一定有最大元，肯定有极大元 & F( b( z/ F9 `
C不一定有极大元，肯定有最大元 D不一定有最大元，也不一定有极大元
（x）=sR，®=Rs9、设R为实数集，映射 是（ D ）。s-x2+2x-1，则. T/ h' n3 @3 L1 @$ o; o! z+ K$ @
A．单射而非满射 B．满射而非单射 C．双射 D．既不是单射，也不是满射3 G5 m6 h' S* u+ _0 c# E P
10、集合 ，半序关系R的哈斯图如下图所示，若A的子集 ，则元素c为B的（ C ）。
A. 下界； B. 最大下界； C. 最小上界； D. 以上答案都不对。6 Q# ?, m: @; X* F% X0 H8 p
a
b c
' l8 R. x0 M+ u8 X& r' A
d e
三、 计算题; G0 X9 `& U8 G, g6 m
1. 化简下式：3 p% X- f& ]9 W7 H& P
C）ÇBÇ（AÈC）-BÇ（AÈC）ÇB）-（（AÈC）-B-（A
C）ÇBÇ（AÈC）-BÇ（AÈC）ÇB）-（（AÈC）-B-解：（A3 W7 s3 ") "* d; B. y) a( f8 R
C）ÇBÇ AÈ~C) ÇBÇ(AÈC) Ç~BÇ(AÈ~C) Ç~BÇ=(A# ]# f, s$ |) Y
C))È(~CÇ~B)Ç=(( A C))È(~CÇB)Ç(( AÈ
E) E为全集ÇB)Ç(( AÈE) Ç~B)Ç=(( A9 w" | J: }% R7 l7 k/ [' o
=( B)Ç( AÈ~B) ÇA
(~BÇ= A B)È
= EÇA
=A
2. 一个年级170人中，120名学生学英语，80名学生学德语，60名学生学日语，50名学生既学英语又学德语，25名学生既学英语又学日语，30名学生既学德语又学日语，还有10名学生同时学习三种语言。试问：有多少名学生这三种语言都没有学习？（提示：考虑试用文氏图来求出结果。） & o, E9 F. K; p" E" Z
解：设学习英语、德语、日语的学生集合分别为A，B，C。 Y; "1 J. P# r+ ~
C）。ÈBÈ那么“三种语言都没有学习的学生”的集合为~（A! ^+ w* w9 i9 v9 R) v* w W
根据题意画出文氏图如下：: w( P# S5 I. {: M
利用定理1.2.2的推广结论，得：
C)|ÈB ÈC)|=170-|(A ÈB È |~(A / R1 o* x; w+ } J+ p# Q1 @6 T
C|)ÇBÇC|+|AÇC|-|BÇB|-|AÇ =170-(|A|+|B|+|C|-|A
=170-(120+80+60-50-25-30+10)( f. G* x* "# M
=57 s D# |* Q# V% Y* |5 Z "
所以三种语言都没有学习的学生有5名。% S$ d) H9 c9 t7 r, n
3、 设集合，A上的二元关系 ，求R的关系图与关系矩阵。｛｝
解：因为R=｛（x,y）|x,y∈A，且x≥y｝
=｛(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(4,2),(3,3),(4,3),(4,4)｝
所以，R的关系图如下：
关系矩阵为MR=
: E6 L, Z# v i' z1 W9 ?
题3R的关系图
4、 A={a，b，c，d}，R1，R2是A上的关系，其中R1={（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），（c，c），（c，d），（d，c），（d，d）}，R2={（a，b），（b，a），（a，c），（c，a），（b，c），（c，b），（a，a），（b，b），（c，c）}。2 b9 s" |: Z7 A4 W9 l
（1） 画出R1和R2的关系图；
（2） 判断它们是否为等价关系，是等价关系的求A中各元素的等价类。& v5 @8 `$ z) ~9 T; `0 _
解： 关系图如右图所示．
R1是等价关系．等价类有两个：
[a] = ={a , b}，[c] = [d] ={c , d}．" D" _; E; T8 E& G% G$ q" "$ `
商集为 ={{a , b}，{c , d}}．
R2 不是等价关系．
5、 集合，R是集合A上的关系， ，求 ，并分别画出它们的关系图。Ｐ７７" I& N0 Q5 ]# P. F
6、 设集合，R为A上的整除关系，（1）画出半序集（A， R）的哈斯图；（2）写出集合A中的最大元、最小元、极大元、极小元；（3）写出A的子集 的上界、下界、最小上界、最大下界。
解：（1）因为R=｛(2,2),(2,4),(2,8,),(2,12),(2,24),(3,3),(3,4),(3,6),(3,12),(3,24),(4,4),(4,8),(4,12),(4,24),# M7 H1 ^; p- I9 U4 V
(6,6),(6,12),(6,24),(8,8),(8,24),(12,12),(12,24),(24,24)｝3 V7 "& E. ?* Y0 V
所以，序集（R，A）的哈斯图如下：4 L. R/ z5 D, U2 J2 x' v
（2）由哈斯图可以看出，集合A中的最大 元是24，无最小元；极大元也是24，极小元是2与3。
（3）由定义2.5.6知，集合B的上界是12与24，无下界，最小上界是12，无最小下界。
题6序集（R，A）的哈斯图
四、 证明题
1、 C）。-（B-C）-C=（A-B）-设A，B，C为三个任意集合，试证明：（A& g6 x) ~: t1 w) {% T
2利用 与吸收律及其它运算律，证明 。
证明：（（A∪B∪C）∩（A∪B））－（（Ａ∪（Ｂ－Ｃ））∩Ａ）
＝（A∪B）－Ａ0 s0 f; W( ?2 v. T6 _4 g
＝（A∪B）∩～Ａ
＝（Ａ∩～Ａ）∪（Ｂ∩～Ａ）, c0 l* V: |6 @
＝￠∪（～Ａ∩Ｂ）: L2 Q; N2 v/ {3 Y5 [
＝～Ａ∩Ｂ
1。（定理２。２。５）- SÈ1 -1 = R-S）È3、 设R和S是二元关系，证明：（R4 T# a7 j( A; _
4、设R是集合A上的二元关系，证明：R是传递的，当且仅当t（R）=R。
离散数学形成性考核作业（二）
图论部分
' ^4 F% u: e6 d2 S P
本课程形成性考核作业共4次，内容由中央电大确定、统一布置。本次形考作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的形考作业，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。
第3章 图的基本概念与性质
{0 m2 w; R1 w
1．计算出下图2.1的结点数与边数，并说明其满足握手定理．5 H }5 X% J* b; t4 Z9 |; }
9 {- A: { Z5 V; J
图2.1
习题1的图
解：共有6个结点，6条边，图中从左上至右下的结点的度数分别为3、2、0、2、3、2，显然度数之和为12，即为边数的两倍，满足握手定理．
7 m% y8 ?& _( m3 e' [5 e4 A# X
2．试分别画出下列图2.2(a)、(b)、(c)的补图．7 U: P8 w. C& R# c/ a: k( |7 [6 x
/ N( N- k9 @+ j7 u
图2.2
习题2的图0 C1 I) k" e) B
解： 2.2(a)、(b)、(c)的补图如下：
4 H5 `# C' E; @. D5 d% w; u! D, H
3．找出下图2.3中的路、通路与圈．
4 ]8 x5 E3 b1 q7 F
图2.3
习题3的图
解：对图2.3中的结点作标记如下：" I" A$ H3 ~' O; g
其中路有aca、acdc、bedc等，通路ac、acd、bedc等，圈有bedcb、edcbe等．1 "' J( ?; z5 E. U; z- U6 l/ V7 L
4．有n个结点的无向完全图的边数为1 @3 |% a2 Q9 b0 r, n
．
5．图中度数为奇数的结点为 数个．
6．已知图G的邻接矩阵为, ? s; c* Z/ "& k5 X
，
则G有（ ）．
A．5点，8边
B．6点，7边) U8 T( _0 T2 o2 ]3 l
C．5点，7边3 m) i! Z [) @* n7 g8 D% i/ `7 N7 S
D．6点，8边 k: j: t8 J$ r! "6 l% o
第4章 几种特殊图
1．如图2.8是否为欧拉图？试说明理由．
$ A( K$ e' l; L/ Y+ D4 I: J
图2.8
判断是否为欧拉图' P/ E! h2 a+ e! _3 L' K: m7 I
解：图[font=ˎ&5;]2.8不是欧拉图，因为结点[font=ˎ&
5;]v[font=ˎ&
5;]2、v3、v4、v6的度数均不为偶数．9 ?4 p; ^7 m8 e* G
+ l/ u' m, S9 V v* Y5 P
2．如图2.9是否为汉密尔顿图？试说明理由．
& M- V, T7 I3 l- r4 l
图2.9
判断是否为汉密尔顿图. l5 k( ". u+ }0 A) s
解：图2.9是汉密尔顿图，因为图中存在汉密尔顿回路v1v3v5v6v8v4v7v2v1．$ k ~* s6 d0 ": P& x
3．试分别说明图4.3（a）、（b）与（c）是否为平面图．: y) ~: C" n3 T, U) |% K
图2.105 e9 }; I( "$ l! C5 G, o) z
判断是否为平面图
解：4.3（a）为平面图，可画为
# l5 ^1 n! ?) r. @/ h$ W, ]: o
（b）为平面图，可画为) g+ c' u9 v! y9 o- d# J( b( O
（c）为平面图，可画为5 ?9 r% o3 y. w7 r7 k- r+ r
4．若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( c )．
A．欧拉图
B．平面图
C．连通图
5．设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于( b )．; i6 @1 ]* w% [7 ^4 Y: s3 p; G6 A
A．m-n+2" M7 i) Z+ m7 k6 U9 }" Q( j
B．n-m-24 J: u% j/ h* Q4 }$ B
C．n+m-2$ F6 g! @1 X! R, M1 u, e
D．m+n+2
: O7 r+ S. ~/ m1 j/ h, Z |) _
6．现有一个具有个奇数度结点的图，若要使图中有一条欧拉回路，最少要向图中添加____ k/2___条边．
第5章树及其应用
1．试指出图2.13中那些是树，那些是森林，并说明理由．
* M% N" n% V& n$ |/ w* B
图2.13
习题1的图" w, z1 B, {- Q' U7 @0 u( C
解：图中（a）、（c）是树，因（a）与（c）均为无回路的连通图．
（b）是森林，因其包含两棵子树．
（c）不是树也不是森林，因其包含回路．
2．试画出图2.14中的一个生成树，并说明其中的树枝、弦，以及对应生成树的补．1 R% i; U8 v L- f7 @
6 a/ {) E e0 b; i& f9 W. T6 d
图2.14
习题2的图
解：图中的一个生成树如下：
其中的边为生成树的树枝．
对应生成树的补如下
其中的边为上生成树的弦．" H' R1 c" u& H7 ?/ R* }1 R
4 |, y4 q( B; a: H* n
% ?* b% z( _: x2 p! p' w7 n: f4 g
3．给定一组权值为1，2，2，3，6，7，9，12，是求出相应的一个最优树．
解：相应的一个最优树如下：
离散数学形成性考核作业（三）
集合论与图论综合练习
本课程形成性考核作业共4次，内容由中央电大确定、统一布置。本次形考作业是第三次作业，大家要认真及时地完成图论部分的形考作业，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。
一、单项选择题
1．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( Ｃ )．
1 ?: d: p3 e) `- w: r
A．{a，{ a }}ÎA
B．{ a }ÍA5 A( "8 n3 r% e/ N( h2 Z! r2 H
C．{2}ÎA
D．ÎA
2．若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（Ａ）．
A．B6 l7 e9 }3 `. G5 b
Ì A，且BÎA- ]9 L l; J9 q8 J. X0 c
B．BÎ A，但BËA
" J5 S# A. E+ }. [9 P/ W
C．B Ì A，但BÏA
D．BË A，且BÏA
3．设集合A = {1，2，3，4，5 }，B = {1，2，3}，R从A到B的二元关系，
R ={ a , b êa A，b B且 }
则R具有的性质为（Ｃ）．
A．自反的
B．对称的- b; t2 S3 m! N# y9 D6 c+ i5 ~
C．传递的
D．反自反的
3 f! T3 l- c# H" p5 A
4．设集合A={1 , 2 , 3 , 4}上的二元关系
R = { 1 , 1 ， 2 , 2 ， 2 , 3 ， 4 , 4 }，
S = { 1 , 1 ， 2 , 2 ， 2 , 3 ， 3 , 2 ， 4 , 4 }，
则S是R的（Ｂ）闭包．
A．自反的
B．传递1 b6 T4 |, d2 ]; @7 I+ E
C．对称
D．以上都不对
5．设图G的邻接矩阵为
则G的边数为(0 W! b1 u" @6 Y8 S8 X- p- ]
)．
6 { S( f/ A: `/ n) n, Z
A．5
B．6
C．3) J9 n, R; B$ s* a& F
D．4
6．给定无向图G如右图所示，下面给出的结点
集子集中，不是点割集的为（ ）
A．{b, d}7 O& t2 D/ j" D2 s6 e5 o! ~
B．{d}
C．{a, c}
D．{g, e}: t, B2 u& j( F A
7．设G是有n个结点，m条边的连通图，必须删去G的( Ｄ )条边，才能确定G的一棵生成树．
! `, X6 O8 S+ v$ V* G3 I
A．" y- Q$ ~7 b' e6 u# n
B．
C．- K0 V1 "# ^% N8 t6 H7 t# T
D．
三、判断说明题 D' c$ W! D a+ a# m
1．设A、B、C为任意的三个集合，如果A∪B=A∪C，判断结论B=C 是否成立？并说明理由．
! O! n; g0 [0 T. |4 u# H' b
2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1∪R2、R1ÇR2是自反的” 是否成立？并说明理由．
3．判断下图的树是否同构？说明理由．. ],
四、计算题
1．设，求：
（1）(AÇB)È~C； （2）P(A)－P(C)； （3）AÅB．
解：(1)因为A∩B=｛1,4｝∩｛1,2,5｝=｛1｝,
~C=｛1,2,3,4,5｝-｛2,4｝=｛1,3,5｝
所以 (A∩B )3 K4 g( "* W2 |- P" T% r9 T
È~C=｛1｝È｛1,3,5｝=｛1,3,5｝
D; }- i3 x' J
(2)因为P(A)=｛f,｛1｝, ｛4｝, ｛1,4｝｝
P(C)=｛f,｛2｝,｛4｝,｛2,4｝｝
所以 P(A)-P(C)={1 E4 E% Q4 V3 _* K' A
f,{ 1},{ 4},{ 1,4}}-{f,{ 2},{ 4},{2,46 H$ w* a' Z/ ]
}}
(3) 因为 AÈB={ 1,2,4,5},
AÇB={ 1}
所以 AÅB=AÈB-AÇB={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}
2．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}．
（1）写出关系R的表示式；
（2）画出关系R的哈斯图；
（3）求出集合B的最大元、最小元．
3．设集合A＝{a, b, c, d}上的二元关系R的
关系图如右图所示．
（1）写出R的表达式；
（2）写出R的关系矩阵；8 N3 h1 U1 U' g. f9 H3 X
（3）求出R2．
4．设图G=<V，E>，V={ v1，v2，v3，v4，v5}，E={ (v1,v2)，(v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) }．
（1）试给出G的图形表示；
（2）写出其邻接矩阵；
（3）求出每个结点的度数
（4）画出图G的补图的图形．
解: (1)图中G有5个结点,分别用结点画出,根据边集E
连接相关结点,则G图的图形表示如图4.1:
(2)图G有5个结点,则G的邻接矩阵为5X5矩阵,
按结点序号排序,根据结点间的邻接关系确定邻
接矩阵中的对应值,则G图的邻接矩阵为:
' ^- `" {/ o) q `$ }& b# Y# `
(3)根据每个结点所关联的边数计算出结点的度数分别为：
deg(V1)=2
% @. V5 Z8 z& M" u! M
deg(V2)=3
( S+ i: v/ s( j
deg(V3)=4
deg(V4)=3
6 Z" ~; s# T. m8 P$ Q& X
deg(V5)=2
5 Y) X5 T! p; N; A) U: t0 V
(4)补图的结点集与原图相等，补图的边集是那些由结点集确定的完全图中去掉原图中的边所留下的边组成的，图G的补图如图4.4：
: M0 K- b6 j4 B3 v6 l, |5 P9 x: A6 C
图4.1
图4.4
: N e4 x! L3 e: e) c& D! E
5．图G=<V, E>，其中V={a, b, c, d, e, f }，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (d, e), (d, f), (e, f) }，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．3 s2 {, h: K9 m& G
（1）画出G的图形；
（2）写出G的邻接矩阵；
（3）求出G权最小的生成树及其权值．
解：图G的图形与邻接矩阵如下图：
9 k$ _- u' a) r8 w" }
邻接矩阵" m+ V* m2 X3 T* M5 }. G# S& u# ]
1 F- "5 |# i8 z' C/ A7 |# z0 f) k
; M" N) C3 w. i( R
3 R; H5 "/ L6 }; r8 c/ L" j
! b h3 i& I! h" J" Q4 m# J
G的图形上
G权最小的生成树
最小生成树如右上图，权为15。
五、证明题! J2 i' [/ I8 A% B# Q6 V# h
1．试证明集合等式：AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)．; H3 } n4 [6 F* V, O( W9 K4 x
2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加条边才能使其成为欧拉图
离散数学形成性考核作业（四）
数理逻辑部分
本课程形成性考核作业共4次，内容由中央电大确定、统一布置。本次形考作业是第四次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的形考作业，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。
第6章 命题逻辑
1．判断下列语句是否为命题，若是命题请指出是简单命题还是复合命题．
（1）8能被4整除．
（2）今天温度高吗？! O2 d8 r' @6 o4 E2 O( ]
（3）今天天气真好呀！
（4）6是整数当且仅当四边形有4条边．" [! k" k4 W# E% a
（5）地球是行星．
（6）小王是学生，但小李是工人．6 d/ {, U. Y$ J2 u1 O8 ~
（7）除非下雨，否则他不会去．
（8）如果他不来，那么会议就不能准时开始．
解：（1）（5）是简单命题，（4）（6）（7）（8）是复合命题．
2．翻译成命题公式
（1）他不会做此事．5 [( h0 C/ ]' e; F( _
（2）他去旅游，仅当他有时间．" D% X- "; s6 o9 R; J" c" P
（3）小王或小李都会解这个题．! T e* b& B! j1 V0 H5 t
（4）如果你来，他就不回去．
（5）没有人去看展览．/ I4 b0 C. T& [
（6）他们都是学生．
（7）他没有去看电影，而是去观看了体育比赛．
（8）如果下雨，那么他就会带伞．
解： （1）设P：他会做此事，公式为 P．- n6 M5 X. {/ ~3 Y9 g0 I( E
（2）设P：他去旅游，Q：他有时间，公式为P Q．6 k7 j1 x( C5 z8 e
（3）设P：小王会解这个题，Q：小李会解这个题，公式为P Q．
（4）设P：你来，Q：他回去，公式为P Q．2 C5 P' e3 I6 P- B& K; S/ X
（5）设P：有人去看展览，公式为 P．
（6）设P：他们都是学生，公式为P．
（7）设P：他去看电影Q：他去观看了体育比赛，公式为 P Q．1 L; f" T k- k' ], Z H9 p
（8）设P：下雨，Q：他就会带伞，公式为P Q．7 b' J7 u/ R) G& Y" I3 n
3．设P，Q的真值为1；R，S的真值为0，求命题公式(P∨Q)∧R∨S∧Q的真值．- T; D# p, n) "; R
解： (P∨Q)∧R∨S∧Q
(1∨1)∧0∨0∧1( p+ ], {3 ?& W, f9 a
1∧0∨0∧17 `. Y0 l v) R+ {
0∨0
0" O J/ T( N' c/ b
4．试证明如下逻辑公式
（1） ┐（A∧┐B）∧（┐B∨C）∧┐C ==> ┐（A∨C）
证明： A* P$ {0 b ^
1）┐（A∧┐B） P# ~9 y! u: u' S8 "+ E+ y9 P7 D
2）┐A∨B T 1）E$ i6 N. r k( k% ?1 `( m
3）┐B∨C P
4）┐C P" {; V! [! J& u. J
5）┐B T 3） 4）I* O5 R* a q( q# ?0 P
6）┐A T 2） 5）I
7）┐A∧┐C T 5） 6）I
8）┐（A∨C） T 7）E
（2） (P→Q)∧(Q→R)∧┐R ==> P( ?% p! _/ L' H P2 f: s( R" "
证明：/ a; |, v! Y# m/ z# P
1）P→Q P2 w9 s% ") [/ ^& z
2）Q→R P) V J! Y) D# q4 S: ^
3）┐R P9 |' t7 m/ F2 [( Z
4）┐Q T 2） 3）I
5）┐P T 1） 4）I
5．试求下列命题公式的主析取范式，主合取范式．
（1） （P∨(Q∧R)）→(P∧Q)0 m z; _2 z) r, b- E& c) a
解： （P∨(Q∧R)）→(P∧Q)
┐（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q)9 J+ `3 J' U. F3 D* C p* ~
（┐P∧（┐Q∨┐R））∨(P∧Q)6 "# V8 `3 z) h% V3 i5 E2 @
（┐P∧┐Q）∨（┐P∧┐R）∨(P∧Q)+ b, D+ L" ": q
（┐P∧┐Q）∧（R∨┐R）∨（┐P∧┐R）∧（Q∨┐Q）∨(P∧Q) ∧（R∨┐R）
（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐R∧Q）∨（┐P∧┐R∧┐Q）∨(P∧Q∧R）∨(P∧Q∧┐R）. @! b7 u$ i0 k1 o) i
（┐P∧┐Q∧┐R）∨（┐P∧┐Q∧R）∨（┐P∧Q∧┐R）∨(P∧Q∧┐R）∨(P∧Q∧R）4 x7 s6 j, b K, _
0，1，2，6，7
3，4，5
（2） ┐(P→Q)∧Q6 }6 s2 P7 D4 z2 K* D; G; `
解： ┐(P→Q)∧Q
┐(┐P∨Q)∧Q
P∧┐Q∧Q
F# l% h8 ~7 ?3 S8 Q+ ^) d3 |
0，1，2，3，4，5，6，7
6．利用求公式的范式的方法，判断下列公式是否永真或永假．7 n. L1 H6 |8 g3 S% [7 u
（2）（P∨Q）→R* "( ]/ l8 L; F5 M
解：（P∨Q）→R. S1 R( ?) X1 S4 B8 r7 I
┐（P∨Q）∨R
（┐P∧┐Q）∨R6 v* u+ [) y* g1 r8 x
（┐P∧┐Q）∨R为析取范式，析取的两个合取式不会永真或永假，所以此公式不是永真或永假式．
对其他一些公式也可以通过求主范式进行类似地判断．9 i( Q8 H% i. o8 ?) b
7．试证明C∨D，( C∨D)→┐H，┐H→(A∧┐B)，(A∧┐B)→(R∨S)}蕴含R∨S．$ i! C" t" H1 U3 W& N& C
证明：
1）C∨D P( r0 r N1 o5 I
2）( C∨D)→┐H P
3）┐H T 1） 2）I. y& g6 @, V" u- Y0 |- S( f+ ~8 |. O$ P
4）┐H→(A∧┐B) P
5）A∧┐B T 3） 4）I- U0 H1 i3 U# r
6）(A∧┐B)→(R∨S) P
7）R∨S T 5） 6）I ": N- o. N2 W4 w+ r4 T+ V
8．设P：昨天天晴，Q：前天下雨，则命题"昨天天晴，但前天下雨"可符号化为（ A ）．
A．P∧Q B．P →Q C．P∨Q D．Q → P
9．可以确定下述推理的步骤（ D ）是正确的．
A．（1） ┐P∧Q P
（2） P T（1）I
B．（1） P →Q P
（2） Q T（1）I
C．（1） P∨Q P( z" y+ [0 p X& T
（2） P T（1）I H! p; ^+ o. M, q- a
D．（1） P∧Q P
（2） P T（1）I( S+ V7 e& C }8 I# X( ?
第7章谓词逻辑
１．将下列命题翻译成谓词公式
(1) 有人能做这件事，但不是所有人都能做。' {* m+ B" K* G0 j$ t
(2) 每个人都不会来。
(3) 没有人能做这件事。9 v; _5 P( v! d. D) [& e
(4) 所有的整数都是实数。2 Z& D& |% x. k, Z8 c
(5) 有些人能去，但不是所有人都能去。
(6) 如果每人都这样做，那么就没有什么事做不了。" ^$ `" A" f* B8 w+ t
(7) 没有什么非做不可的事。 m Z; N- p& }' H( Y. h
(8) 不是每个人都愿意做这件事。3 C& o+ [; v5 T+ F4 H
(9) 所有人都需要不断地努力学习，争取进步。
(10) 如果x大于y，那么x+4大于y+1。( k1 r+ s, G- p5 {+ v
解：(1)设P（x）：x是人，Q（x）：x能做这件事，
公式为（ x）（P（x）∧Q（x））∧┐（ x）（P（x）→Q（x））．) b& G1 C7 @' R) ?/ e
(2) 设P（x）：x是人，Q（x）：x会来，2 M1 c7 X: Y) v) m% b8 y# x) W" V
公式为（ x）（P（x）→┐Q（x））．
(3) 设P（x）：x是人，Q（x）：x能做这件事，
公式为 ┐（ x）（P（x）∧Q（x））．+ t0 Z B5 S5 S m2 p, d
(4) 设P（x）：x是整数，Q（x）：x是实数，
公式为（ x）（P（x）→Q（x））．) p7 H9 C' l/ {; ^8 a
(5) 设P（x）：x是人，Q（x）：x能去，
公式为（ x）（P（x）∧Q（x））∧┐（ x）（P（x）→Q（x））． q; R+ l. A( ^. b
(6) 设P（x）：x是人，Q（x）：x这样做，R（x）：x是事，S（x,y）：x能做y事，# B. A+ z) z: x8 g- C1 d; s7 U
公式为（ x）（P（x）→Q（x））→ （ y）（ x）（R（y）→P（x）∧┐S（x,y））．4 d9 t, m) "2 a- c- n
(7) 设P（x）：x是事，Q（x）：x被做，
公式为（ x）（P（x）∧┐Q（x））．, P, h0 x9 L6 R1 q/ H; B
(8) 设P（x）：x是人，Q（x）：x愿意做这件事，
公式为┐（ x）（P（x）→Q（x））．
(9) 设P（x）：x是人，Q（x）：x需要不断地努力学习，争取进步，* {! E2 P# ]2 u9 @' `
公式为（ x）（P（x）→Q（x））．
(10) 设P（x,y）：x大于y，Q（（x,y）：x+4大于y+1，5 Z# {3 _7 C/ h Y2 R
公式为（ x）（P（x）→Q（x））． B0 X- L4 P) i3 _/ |+ S2 "
2．设谓词A(x)：x是偶数，B(x)：x是奇数，x的取值为1至10之间的正整数，试求出下列谓词公式的值．
（1）（ x）A（x）∧（ x）B（x）．
解：（ x）A（x）∧（ x）B（x）$ E+ q% Q5 b2 w7 H, b7 u6 l
（ A（1）∨A（2）∨A（3）∨A（4）∨A（5）∨A（6）∨A（7）∨A（8）∨A（9）∨A（10））∧（ B（1）∨B（2）∨B（3）∨B（4）∨B（5）∨B（6）∨B（7）∨B（8）∨B（9）∨B（10））
（0∨1∨0∨1∨0∨1∨0∨1∨0∨1）∧（1∨0∨1∨0∨1∨0∨1∨0∨1∨0）
（1）∧（1）$ L3 E0 h5 a" z- U! G
1．
（2） （ x）（A（x） B（x））．* ~' [8 I2 H) |) i) M! h1 z: s6 U
类似可求
3．试证明下列公式# P% n: W( J7 p3 [8 G% b* T1 `% P
（1）（ x） A（x）==>（ x）A（x）．' W4 W. k5 H1 t; ]
证明：
1）（ x） A（x） P- [ `1 u& R3 U7 P& v
2）A（a） T 1）US
3）（ x）A（x） T 2）EG
（2）（ x）（P（x）∧R（x））==> （ x）P（x）∧（ x）R（x）．
证明：; H7 "' V( u& r& I3 a9 j5 a; n
1）（ x）（P（x）∧R（x）） P
2）P（a）∧R（a） T 1）ES
3）P（a） T 2）I
4）（ x）P（x） T 3）EG
5）R（a） T 2）I
6）（ x）R（x） T 5）EG
7）（ x）P（x）∧（ x）R（x） T 5） 6）I
（3） （ x）A（x）∨B==>（ x）（A（x）→B）．! e% b3 W* w5 r3 o
证明：
1）┐（ x）A（x）∨B P; E- y# Q$ y# ?$ w
2）（ x）┐A（x）∨B T 1）E0 k7 m$ T: W" [( ^8 m( O
3）（ x）(┐A（x）∨B) T 2）E8 V* |/ E8 P5 R( ~+ l" C
4）（ x）（A（x） B） T 3）E5 ~& g7 }6 V; `5 A& G
4．试证明（ x）（ P（x）→R（x））,（ x） R（x）可逻辑推出（ x）P（x）．; e# c3 ]! R& o" U6 A/ i( d; [( O
证明：8 O/ v# [$ B; ?5 V7 s+ "; Q- `1 B
1）（ x）（┐P（x） R（x）） P
2）（ x）┐R（x） P
3）┐R（a） T 2）US! D, R( d% t! N' z. s6 V
4）┐P（x） R（x） T 1）US
5）P（a） T 3） 4）I
6）（ x）P（x） T 5）EG* }% ]9 q4 u. c7 v5 @
5．设A（x）：x是人，B（x）：x犯错误，则命题"没有不犯错误的人"可符号化为（ D ）．/ ^2 e0 ]' @: T$ p: h I
A．( x)(A(x)∧B(x)) B．┐( x)(A(x) → ┐B(x))( V4 u' s% K) ". f' Q' E
C．┐( x)(A(x)∧B(x)) D．┐( x)(A(x）∧┐B(x））
6．可以确定下述谓词推理的步骤（ A ）是正确的．( "0 M3 t; Z) n8 ~. `1 b2 d2 ?: g
A． （1） （ x）P（x） P
（2） P（a） US（1）
（3） （ x）P（x） ES（2）
B． （1） （ x）P（x） P
（2） P（a） ES（1）
（3） （ x）P（x） US（2）
C． （1） P（a） P
（2） （ x）P（x） US（1）
D． （1） P（a） P
（2） （ a）P（a） US（1）
