数学做题笔记

ABC267G Increasing K Times#

[ABC267G] Increasing K Times
一道计数题.
主要是是一个比较经典的trick才来做的这题.

就是形如已知一个序列，求有多少个排列满足一个条件，这个条件一般是制约相邻两个元素的

那么可以采用一个技巧就是序列排序，然后按照某种顺序插入

考虑有多少排列问题，那么可以先对$a$ 排序然后依次插入。
每次插入一个最大值，那么只需要求有多少个位置满足插入后满足条件的位置 $+1$，然后直接跑一遍简单的背包即可。

---

ARC148E ≥ K#

ARC148E ≥ K

一道计数题。

对于这种对相邻两个元素都有影响的问题，可以考虑将元素按一定顺序一个个加入序列，考虑其对整个方案数的贡献。

1.先将元素从小到大排序。

2.考虑两个维护左右区间的指针 $l,r$，令 $a_r$ 为 $a_l+a_r\geq k$ 的最小编号，其中 $[1,l-1]$ 以及 $[r+1,n]$ 这两段中的元素都已经加入序列。

这样就可以知道一共加入了 $n-r+l-1$ 个元素，有 $n-r+l$ 个空位可供下一个元素放置。

• 放入 $a_r$

  此时一共有 $l-1$ 个元素无法满足将 $a_r$ 放入其左边或者右边时无法满足 $\geq k$的要求（之所以是 $l-1$ 是因为既然 $r$并没有在 $l$ 之前的元素遍历到时就放入，那么自然前面的元素也是不满足条件的）;

  那么此时就有 $(n-r+l)-2 \times (l-1)$ 个空位可选。

• 放入 $a_l$

  $[1,l-1]$ 中的元素和 $a_l$ 也不能满足条件；

  不会有 $a_l+a_{l-1} \geq k$ ,因为如果这样的话 $a_l$就会在遍历到 $l$ 还是 $l-1$ 是就被当作 $a_r$ 放入；

  同理，有 $(n-r+l)-2\times(l-1)$ 个空位可选。

• 注意，因为有相同元素，因此要在最后除以相同元素的排列数以消除影响。

---

LG T316869 Before I Rise#

一道计数题.
简化题意之后就是将一个只有环和链，边的种类为0，1交替的图，求满足交换节点之后图仍不变的排列数
先考虑某个环或链自身的交换方案数
1.环
在每个环内部交换的方案数为环的 $size$
2.链
节点数为奇数的链自身有1种
偶数有2种
接下来考虑同种形态之间的排列，就是求排列数即可
但是需要注意分类，对于节点数为偶数的链还需要分为两种形态，例如


这两种是不能交换的
定义 $a_i$ 为节点数为 $i$ 的环, $b_{i,0/1}$ 为长度为 $i$ 的第一条边为 $0/1$ 的链
所以有最后的公式
$ans=\displaystyle\prod i^{a_i}*(a_i)!*\prod_{i/2\in Z}(b_{i,0})!*(b_{i,1})!*2^{b_{i,0}+b_{i,1}}*\prod_{(i+1)/2\in Z} (b_{i,0}+b_{i,1})!$

---

LG3349 [ZJOI2016]小星星#

LG3349 小星星
将问题抽象化：
一个 $n$ 个节点的树，和一个 $n$ 个节点的图，要求给树上的每个节点编号，使得编号是一个 $1$到 $n$ 的排列，并且要满足树上任意一条边 $(u,v)$，图中一定要有边 $(x_u,x_v)$（ $x_u$ 表示点 $u$ 的编号），求方案数。
暴力的做法是定义状态 $f[i][j][S]$ 表示节点 $i$ 编号为 $j$，$i$ 的子树内的编号集合为 $S$ 的方案数。
但是这样的瓶颈在于枚举子集，复杂度是 $O(n^3\times 3^n)$ 的，显然TLE
Q：为什么要记录 $S$ 这一维？
A：要求中有「编号是一个 $1$ 到 $n$ 的排列」。
尝试把「编号是一个 $1$ 到 $n$ 的排列」这一条件去掉，就不用记录 $S$ 了。
这样只需要定义 $f[i][j]$ 为在 $i$ 的子树内，点 $i$ 的编号为 $j$ 的方案数。
而这时候会出现重复编号，怎么办呢？
容斥！
先 $2^n$枚举 $\{1,2,...,n\}$ 的一个子集 $S$，强制规定树上每个点的编号必须是 $S$ 的子集，然后每次 $O(n^3)$ 一次DP，总方案数为：
$(∣S∣=n(|S|=n的方案数)−(∣S∣=n−1)-(|S|=n-1的方案数)+(∣S∣=n−2)+(|S|=n-2的方案数)−...)-...$
复杂度降到 $O(n^3\times 2^n)$ ，在UOJ上需要进行一定的常数优化。
本篇题解转载自

LG7322 排列变换#

题目类似于滑动窗口。
所有排列初始都会有 1 个最大值，考虑什么时候会更新答案
1.滑动窗口推掉最大值

$$a=\sum_{i=k}^n\binom{i-1}{k-1}(k-1)!(n-k)!(n-k)$$

2.滑动窗口加入最大值

$$b=\sum_{i=k+1}^n\binom{i-1}{k}k!(n-k-1)!(n-k)$$

3.考虑有可能又推掉最大又加入最大，因此需要去重

$$c=\sum_{i=k+1}^n\binom{i-1}{k}(k-1)!(n-k-1)!(n-k)$$

$$ans=a+b-c+n!$$