MTLAB： 稀疏矩阵的表示-sparse

我们在学习数值算法的过程中，发现像有限差分,谱方法和有限元方法的微分矩阵（$\tt Differentiation~Matrices$）往往是稀疏的（即非零元素个数为$O(N)$,其中$N$为矩阵的维数）

 

$\tt SA=sparse(A)=SB-SB^T$

----------$\tt SB$--------------------------------------------------------------------------------------

(r,c)　　　　　　(value)

(1,2) 　　　　　　2/3
(1,3)　　　　　　 -1/12
(2,3) 　　　　　　 2/3
(2,4) 　　　　　　 -1/12
(3,4) 　　　　　　 2/3
(3,5) 　　　　　　 -1/12
(4,5) 　　　　　　 2/3
(1,6) 　　　　　　 1/12
(4,6) 　　　　　　 -1/12
(5,6) 　　　　　　 2/3
(1,7) 　　　　　　 -2/3
(2,7) 　　　　　　 1/12
(5,7) 　　　　　　 -1/12
(6,7) 　　　　　　 2/3

 

----------$\tt SB^T$--------------------------------------------------------------------------------------

(2,1) 　　　　　　2/3
(3,1) 　　　　　　 -1/12
(6,1)　　　　　　 1/12
(7,1)　　　　　　 -2/3
(3,2)　　　　　　 2/3
(4,2)　　　　　　 -1/12
(7,2) 　　　　　　 1/12
(4,3) 　　　　　　 2/3
(5,3) 　　　　　　 -1/12
(5,4) 　　　　　　 2/3
(6,4) 　　　　　　 -1/12
(6,5) 　　　　　　 2/3
(7,5) 　　　　　　 -1/12
(7,6) 　　　　　　 2/3

$\tt SB = sparse(1:N-1,2:N,2/3,N,N)+sparse(1:N-2,3:N,-1/12,N,N)+sparse(1:2,N-1:N,1/12,N,N)+spare(1,N,-2/3,N,N);$

$\tt SA = SB-SB^T.$

$\tt  A=full(SA) .$

SA与A矩阵在运算中是等价的！A矩阵还可以应用$\tt toeplitz()$命令组装.

思考：假如矩阵A是满的，那么稀疏形式的SA是不是很难输入？

答案是否定的，注意，在使用$\tt spare$时有一个前提条件：非零元素的数量级别必须为$O(N).$ 如果A真是满的, $\tt sparse$会很复杂，这时$\tt toeplitz()$命令更适合.