积分区间转换

(i)  $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内的积分转换为区间 $[0,1]$ 内的积分

$$ \int^b_a f(x) dx. \tag{1}$$

令 $x=a+t(b-a)$, 则

$$ \int^b_a f(x) dx= (b-a)\int^1_0 f\big(a+t(b-a)\big) dt . \tag{2}$$

(ii)  $g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内的积分转换为区间 $[-1,1]$ 内的积分

$$ \int^b_ag(x) dx.  \tag{3}$$

令 $x=\frac12\Big[(a+b)+t(b-a)\Big]$, 则

$$ \int^b_a g(x) dx= \frac12(b-a)\int^1_{-1} g\Big(\frac12[(a+b)+t(b-a)] \Big)dt  . \tag{4}$$

(iii)  区间$x\in [-L\pi,L\pi]$转换为$y\in [0,2\pi]$

令 $$ y=\frac{x}{L}+\pi\quad \mbox{或} \quad x=L(y-\pi). $$