x&(-x)取x的最后一个1的证明

转自： https://xtestw.com/2015/04/22/proof/#more

x&(-x)取x的最后一个1的证明##

明天要给新队员讲树状数组，避不开的一个证明，之前教主讲过，当时没听明白给忘了- -，只有自己想了一种证明方法。

证明#####

大家都知道，计算机是用补码来存储一个数的，在这种编码情况下，整数是自然状态编码，假设我们是一个5位的机器（只是假设），那么1，编码就为00001, 而-1的编码则是11111(并不是10001)，在这种情况下，我们会有下面的结论：

             -x=11111 – x +1 (x 假设为正数二进制)  -----------------结论一
              x=00000 + x (x 假设为正数二进制) ----------------------结论二

我们还会有以下2个结论：

结论三：11111 - x 不会出现借位的情况(二进制下 ，对应位只会是两种情况 1-0 和 1-1)
结论四：00000 + x 不会出现进位的情况（二进制下，对应位只会是 0+1,0+0）

假设 x的二进制编码为 x1 x2 x3 x4 x5

那么我们就会发现 对于任何一位(以x1为例) 0+x1 和 1-x1 两个 必然是一个为1 一个为0，因为：

X1的值	0+x1	1-x1
0	0	1
1	1	0

有了上面的结论，我们把焦点放到x的最后几位，我们要分离的是最后一个1，那么假设是第i位xi是最后一个1，那么i位以后的每一位都是0，在这个基础上，根据上面这个表格，我们会发现，11111-x 这个值在第i位以后全部都是1，而第i位为0，整理一下，每一位如下：

1. X的每一位为  x1 ,x2,…… xi-1, 1 ,0,0,0…. 后面每一位都是0
2. 11111-x 结果的每一位为 1-X1,1-X2,….1-Xi-1 ,0,1,1,1….. 后面每一位都是1

下面这一点是关键 ，就是 –x = 11111-x +1, 也就是说-x的每一位是这样的：

					1-X1,1-X2,….1-Xi-1 ,1,0,0,0…..

也就是说，最后一位+1 ，然后会变成0 一直往前进位到第i位，将第i位变成1后停止进位， 我们现在比较一下 x 和 –x的每一位的值， 会发现 ，除了第i位为一样的1，其余每一位都是不一样的即，都是一组0,1. 那么

					X&(-X)= 0,0,0….1, 0,0,0,….

除了第i位是1，其他每一位的值都是0， 而根据我们最开始所说的，X的第i位的1就是X当前二进制编码的最后一个1，所以通过 x &(-x) 我们能够得到x的最后一个