线性空间中的表示定理-2
所有的有限维空间之间的线性变换都可以表示成矩阵乘法，for a fixed bases。换言之，每个给定了基的线性空间变换总与唯一一个矩阵相对应。
设T：V->W 是从ｎ维线性空间Ｖ到m维空间Ｗ的线性映射。要把Ｔ表示成矩阵乘法，就是for $v \in T $, $T(v) = Av \in W$.
由表示定理，我们知道Ｖ中任意一个对象ｖ都可表示为Ｖ的基{v1,v2,...Vn}的线性组合，$v= a_1v_1 +a_2v_2+...+a_nv_n$, so,
$T(v) = a_1 T(v_1) +a_2 T(v_2)+...+a_n T(v_n)$
由于我们知道$T(v_i) $ 一定是Ｗ中的元素，因此再次用表示定理，设Ｗ的一组基为
w1,....wm, such that
$T(v_i) = a_{1i}w_1 +... + a_{mi}w_m$
代入上面：
$T(v) = a_1(a_{11}w_1 +... + a_{m1}w_m) + ... + a_n(a_{1n}w_1 +... + a_{mn}w_m)$
按W的基整理，上式为：b1w1 + b2 w2 + ... +bm wm。
重新表示一下，b= (b1, b2,....bm)'; a= (a1, a2,...an)', 矩阵A的每列为
$A(\:,i)=(a_{1i},...,a_{mi})^T$
上面其实是
$A a = b$
即 Ｖ中的a 经过Ａ变成Ｗ中的向量ｂ。
因此，A是由V和W的基唯一决定的。
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当然，如果$V$和$W$选用不同的基，则相应的线性变换表示不同。因此给你两个矩阵，如何知道他们实际上表示的是同一个线性变换只不过基不同而已呢？
对$n$维向量空间$V$，我们可以用矩阵$A$来表示线性变换$T:V\rightarrow V$。如果改变基，则表示同一转化需用不同的矩阵$B$，判断$A$和$B$表示同一线性转化的条件是，存在可逆矩阵$C$，使得$A=C^{-1}C$。满足这个条件的两个矩阵称为相似矩阵。
为什么相似矩阵表示的是同样的线性变换？
不妨设Ｖ有两组基 ｛v1,....vn｝{w1, ..., wn}, 则Ｖ中任意元素z 在前一组基下的坐标为a=(a1,....an),在后一组基下的坐标 b=（b1,...bn）. 则期望的可逆线性变换Ｃ，可以将ａ转换为$b=C(a)$。
如果Ａ和Ｂ表示的是同一个线性变换，那么，设原空间的点ｚ变成像空间点ｑ，ｚ在两组基下的坐标分别是$a,b$, $q$在两组基下的坐标分别是$c,d$, 则
1) 用Ａ将ａ转换为$c=A(a)$,
２）$b=C(a)$;$B(b)=d$
３）$C(c)=d$
那么必然有： $C(Aa)=B(Ca)$ 即$a$按不同的方式转换两次到达同一个地点。
这就是: CA = BC, 即 $A=C^{-1}BC$.
因此，如果两个矩阵是相似矩阵，则它们表示同一个线性变换。
也就是说，虽然基改变了，坐标系统改变了，线性变换还是没有改变。
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既然同一个线性变换可以用不同的矩阵（基）来表达，那么，如何为线性空间选择适当的基，使运算更简单呢？
虽然线性空间的基不同，所得到的表示线性变换的矩阵也不同。但是我们知道对称矩阵运算最为简单，所以可以把它作为目标，把问题转换为考虑，对线性变换 T:V－>V, 线性空间V应选什么样的基，才能够使T对应的转换矩阵是一个对角转换矩阵呢？
下面的定理表明，从一个现有的线性变换出发，可以得到满意的结果。特别是当这个现有的线性变换可一个相似矩阵表示时，我们总可得到想要的结果。
对对称矩阵A，我们总可以用该矩阵的特征向量作为转换矩阵C，而以特征值来构成一个对角矩阵B，使得 $B=C^{-1}AC$.
换言之，若A是对称矩阵，以A的特征向量为基，则A就可以表达成一个对角矩阵。
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Exerciese. 对由所有自由度不高于3的一元多项式函数构成的集合，
1) show that 这个集合的元素构成一个四维线性空间
2)Find a basis for this vector space
3) show that differentiating a polynomial is a linear transformation
4) 给定（2)中选定的基，写出（3)的矩阵表示。
solution:
1) 即证明这个集合对加法运算和标量乘运算封闭，但这是显然的。为什么维度是4？需要找4个线性独立的一元多项式函数，证明它们张成整个空间，并且它们是最小张成集。
2) 显然，任何该集合中的元素都可以由以下四个函数为基表达出来：$\{1, x, x^2, x^3\}$
3) 要证明一个算子是线性算子，用定义验算即可。
let $T(f(x)) = \frac{df(x)}{dx}$
show that $T( f(x) + a g(x)) = T(f(x)) + a T(g(x))$
or $\frac{d(f(x)+ag(x))}{dx} = \frac{df(x)}{dx} + a \frac{dg(x)}{dx}$, but this is obvious.
4) We will find the matrix by projection the basis to the subspace
如果能够把一个对象经过函数映射后的像用基表示出来，就可以得到转换矩阵。显然，取基本身来作为这个试验对象最为方便。
为此，先对这个对象求导从而得到像，然后用像空间的基来表示：
$T(1) =0$；
$T(x)=1$;
$T(x^2)=2x$;
$T(x^3) = 3x^2$
so,
$0 = 0(1) + 0( x) + 0 (x^2) + 0 (X^3) $
$1 = 1(1) + 0 ( x) + 0 (x^2) + 0 (X^3) $
$2x= 0(1) + 2 ( x) + 0 (x^2) + 0 (X^3) $
$3x^2= 0(1) + 0 ( x) + 3 (x^2) + 0 (X^3)$
the above is
$A= [ 0, 0, 0, 0; 1, 0, 0, 0; 0, 2, 0, 0; 0, 0, 3, 0]$
$a= [1; x; x^2; x^3]' $
$b= [0; 1; 2x; 3x^2; 0] $
$b = Aa$
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以上是有限维线性空间中的表示定理，无穷维线性空间中的每个元素也有类似表示方法吗？
以上是有限维线性空间中的表示定理，无穷维线性空间中的每个元素也有类似表示方法吗？
