乘法逆元

Bézout 定理

对于任意整数 $a, b$，存在一堆整数 $x, y$，满足 $ax + by = \gcd(a, b)$。

中文常见译名为“裴蜀定理”。

这个东西证明起来感觉没什么意思，大部分都是通过欧几里得算法的特解 $x = 1, y = 0$ 证回去的，然后大力数学归纳。

由裴蜀定理我们得到了计算整数 $x, y$ 的方法，从证明中取名，我们称其为 “扩展欧几里得算法（$\rm exgcd$）”：

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (!b) { x = 1; y = 0; return a; }
    int d = exgcd(b, a % b, x, y);
    int z = x, x = y, y = z - y * (a / b);
    return d;
}

这段 fuction 将一组特解 $x_0, y_0$，并且返回 $a, b$ 的 $\gcd d$。

对于更一般的方程 $ax + by = c$，它有解当且仅当 $d \mid c$。我们可以先求出 $ax + by = d$ 的一组特解 $x_0, y_0$，然后令 $x_0, y_0$ 同乘 $\frac{c}{d}$，就得到方程 $ax + by = c$ 的一组特解 $(\frac{c}{d}) x_0, (\frac{c}{d})y_0$。也就是说，对于方程 $ax + by = c$ 的通解可以表示为：

$$\begin{aligned} &x = \frac{c}{d} x_0 + k \frac{b}{d}, \\ &y = \frac{c}{d} y_0 - k \frac{a}{d}(k \in \mathbb{Z}) \end{aligned}$$

其中 $k$ 取遍整数集合，$d = \gcd(a, b)$，$x_0, y_0$ 是 $ax + by = \gcd(a, b)$ 的一组特解。

乘法逆元

若 $b \perp m (b, m \in \mathbb{Z})$，并且 $b \mid a$，则存在一个整数 $x$，使得 $\frac{a}{b} \equiv ax(\bmod m)$，则称 $x$ 为 $b$ 的模 $m$ 乘法逆元，记为 $b^{-1}(\bmod m)$。

因为 $\frac{a}{b} \equiv ab^{-1} \equiv \frac{a}{b} \cdot b \cdot b^{-1}(\bmod m)$，所以 $b \cdot b^{-1} \equiv 1(\bmod m)$。

如果 $m \in \mathbb{P}$（与常用记叙统计，后文我们采用 $p$ 而不是 $m$）并且 $b \lt p$，根据费马小定理，$b^{p - 1} \equiv 1(\bmod p)$，即 $b \cdot b^{p - 2} \equiv 1(\bmod p)$，因此 当模数 $p$ 为指数时，$b^{p - 2}$ 为 $b$ 的乘法逆元（这很重要！！！）。

但如果只是保证了 $b \perp m$，就要通过求解 $b \cdot x \equiv 1(\bmod m)$ 来求解了。

乘法逆元给予了我们在模意义下操纵除法（分数）的能力，在计数问题中，面对形如 $\frac{a}{b}$ 的式子，现在我们可以分别对 $a, b$ 取模 $p$，再计算 $a \cdot b^{-1} \bmod p$。（当然这要求 $b \perp p$，若 $p \in \mathbb{P}$，条件等价于 $b \neq kp (k \in \mathbb{Z})$）。