同余

同余

定义

若整数 $a, b$ 除以正整数 $m$ 的余数相等，则称 $a, b$ 模 $m$ 同余，记为 $a \equiv b (\bmod m)$。

同余类和剩余系

对于 $\forall a \in [0, m - 1]$，集合 $\{ a + km \}(k \in \mathbb{Z})$ 的所有数模 $m$ 同余，余数都为 $a$，该集合成为一个模 $m$ 的同余类，记为 $\overline{a}$。

模 $m$ 的同余类共有 $m$ 个，分别为 $\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \dots, \overline{m - 1}$。它们构成 $m$ 的 完全剩余系。

$1 \sim m$ 中与 $m$ 互质的数代表的同余类共有 $\varphi(m)$ 个，它们构成 $m$ 的 简化剩余系。如，模 $\{ \overline{1}, \overline{3}, \overline{7}, \overline{9} \}$。

简化剩余系关于模 $m$ 乘法封闭。这是因为如果 $a, b(1 \leq a, b \leq m)$ 与 $m$ 互质，则 $a \times b$ 也不可能与 $m$ 含有相同的质因子，即 $a \times b$ 也与 $m$ 互质。由余数的定义可得到 $a \times b \bmod m$ 也与 $m$ 互质，即 $a \times b \bmod m$ 也属于 $m$ 的简化剩余系。

乘法封闭指在一个集合中任意两个元素进行乘法运算，得到的结果还在这个集合中。例如对于集合 $\mathbb{R}$，任意两个数的乘积都还在集合内，所以集合 $\mathbb{R}$ 是乘法封闭的。

费马小定理

$$\forall p \in \mathbb{P}, i \in \mathbb{Z}^{+} \to a^p \equiv a (\bmod p)$$

欧拉定理

$$\forall a, n \in \mathbb{P}, a \perp n \to a^{\varphi(n)} \equiv 1 (\bmod n)$$

Proof

设 $n$ 的化简剩余系为 $\{ \overline{a_1}, \overline{a_2}, \dots, \overline{\varphi(n)} \}$。对于 $\forall a_i, a_j$，若 $a \cdot a_i \equiv a \cdot a_j (\bmod n)$，则 $a \times (a_i - a_j) \equiv 0$。因为 $a \perp n$，所以 $a_i - a_j \equiv 0$，即 $a_i \equiv a_j$。所以当得到 $a_i \neq a_j$ 时，$a \cdot a_i, a \cdot a_j$ 也表示不同的同余类。

并且简化剩余系关于模 $n$ 乘法封闭，故 $\overline{a a_i}$ 也在简化剩余系集合中。因此，集合 $\{ \overline{a_1}, \overline{a_2}, \dots, \overline{a_{\varphi(n)}} \}$ 与集合 $\{ \overline{aa_1}, \overline{aa_2}, \dots, \overline{aa_{\varphi(n)}} \}$ 都能表示 $n$ 的简化剩余系。综上所述：

$$a^{\varphi(n)} a_1 a_2 \dots a_{\varphi(n)} \equiv (aa_1)(aa_2) \dots (aa_{\varphi(n)}) \equiv a_1 a_2 \dots a_{\varphi(n)} (\bmod n)$$

然后我们抽出第一项和最后一项，约掉 $a_1 a_2 \dots a_{\varphi(n)}$ 得到：

$$a^{\varphi(n)} \equiv 1$$

然后根据上次我们在欧拉函数中学习的内容：

$$\forall p \in \mathbb{P}, \varphi(p) = p - 1$$

所以当 $p \in \mathbb{P}$ 时，我们发现只有 $p$ 的倍数与 $p$ 不互质，所以只要 $a$ 不是 $p$ 的倍数，就有 $a^{p - 1} \equiv 1 (\bmod p)$，然后我们两边同乘 $a$ 就是 $a^p \equiv a (\bmod p)$，另外，若 $a$ 是 $p$ 的倍数，费马小定理显然成立。

欧拉定理推论

若 $a \perp n$，则对于任意 $b \in \mathbb{Z}^{+}$，有 $a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(n)} (\bmod n)$。

对于任意 $a, n$ 不一定互质且 $b \gt \varphi(n)$ 的情况，我们有 $a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(n) + \varphi(n)} (\bmod n)$。

这是非常常用的技巧，对于不少要求模质数 $P$ 之后再输出答案的计数题，我们是可以在面对 $a + b, a - b, a \times b$ 这样的算式的时候先把 $a, b$ 对 $p$ 取模来计算的，对于形如 $a^b$ 的乘方问题，可以把底数对 $p$ 取模、指数对 $\varphi(n)$ 取模，再计算乘方。

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当然其实欧拉定理还有一个比较常用的推论：

对于 $a, n \in \mathbb{Z}^{+}$，若 $a \perp n$，则 $a^x \equiv 1 (\bmod n)$ 的最小正整数 $x_0$ 为 $\varphi(n)$ 的约数。