同余

同余

定义

若整数 \(a, b\) 除以正整数 \(m\) 的余数相等，则称 \(a, b\) 模 \(m\) 同余，记为 \(a \equiv b (\bmod m)\)。

同余类和剩余系

对于 \(\forall a \in [0, m - 1]\)，集合 \(\{ a + km \}(k \in \mathbb{Z})\) 的所有数模 \(m\) 同余，余数都为 \(a\)，该集合成为一个模 \(m\) 的同余类，记为 \(\overline{a}\)。

模 \(m\) 的同余类共有 \(m\) 个，分别为 \(\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \dots, \overline{m - 1}\)。它们构成 \(m\) 的 完全剩余系。

\(1 \sim m\) 中与 \(m\) 互质的数代表的同余类共有 \(\varphi(m)\) 个，它们构成 \(m\) 的 简化剩余系。如，模 \(\{ \overline{1}, \overline{3}, \overline{7}, \overline{9} \}\)。

简化剩余系关于模 \(m\) 乘法封闭。这是因为如果 \(a, b(1 \leq a, b \leq m)\) 与 \(m\) 互质，则 \(a \times b\) 也不可能与 \(m\) 含有相同的质因子，即 \(a \times b\) 也与 \(m\) 互质。由余数的定义可得到 \(a \times b \bmod m\) 也与 \(m\) 互质，即 \(a \times b \bmod m\) 也属于 \(m\) 的简化剩余系。

乘法封闭指在一个集合中任意两个元素进行乘法运算，得到的结果还在这个集合中。例如对于集合 \(\mathbb{R}\)，任意两个数的乘积都还在集合内，所以集合 \(\mathbb{R}\) 是乘法封闭的。

费马小定理

\[\forall p \in \mathbb{P}, i \in \mathbb{Z}^{+} \to a^p \equiv a (\bmod p) \]

欧拉定理

\[\forall a, n \in \mathbb{P}, a \perp n \to a^{\varphi(n)} \equiv 1 (\bmod n) \]

Proof

设 \(n\) 的化简剩余系为 \(\{ \overline{a_1}, \overline{a_2}, \dots, \overline{\varphi(n)} \}\)。对于 \(\forall a_i, a_j\)，若 \(a \cdot a_i \equiv a \cdot a_j (\bmod n)\)，则 \(a \times (a_i - a_j) \equiv 0\)。因为 \(a \perp n\)，所以 \(a_i - a_j \equiv 0\)，即 \(a_i \equiv a_j\)。所以当得到 \(a_i \neq a_j\) 时，\(a \cdot a_i, a \cdot a_j\) 也表示不同的同余类。

并且简化剩余系关于模 \(n\) 乘法封闭，故 \(\overline{a a_i}\) 也在简化剩余系集合中。因此，集合 \(\{ \overline{a_1}, \overline{a_2}, \dots, \overline{a_{\varphi(n)}} \}\) 与集合 \(\{ \overline{aa_1}, \overline{aa_2}, \dots, \overline{aa_{\varphi(n)}} \}\) 都能表示 \(n\) 的简化剩余系。综上所述：

\[a^{\varphi(n)} a_1 a_2 \dots a_{\varphi(n)} \equiv (aa_1)(aa_2) \dots (aa_{\varphi(n)}) \equiv a_1 a_2 \dots a_{\varphi(n)} (\bmod n) \]

然后我们抽出第一项和最后一项，约掉 \(a_1 a_2 \dots a_{\varphi(n)}\) 得到：

\[a^{\varphi(n)} \equiv 1 \]

然后根据上次我们在欧拉函数中学习的内容：

\[\forall p \in \mathbb{P}, \varphi(p) = p - 1 \]

所以当 \(p \in \mathbb{P}\) 时，我们发现只有 \(p\) 的倍数与 \(p\) 不互质，所以只要 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数，就有 \(a^{p - 1} \equiv 1 (\bmod p)\)，然后我们两边同乘 \(a\) 就是 \(a^p \equiv a (\bmod p)\)，另外，若 \(a\) 是 \(p\) 的倍数，费马小定理显然成立。

欧拉定理推论

若 \(a \perp n\)，则对于任意 \(b \in \mathbb{Z}^{+}\)，有 \(a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(n)} (\bmod n)\)。

对于任意 \(a, n\) 不一定互质且 \(b \gt \varphi(n)\) 的情况，我们有 \(a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(n) + \varphi(n)} (\bmod n)\)。

这是非常常用的技巧，对于不少要求模质数 \(P\) 之后再输出答案的计数题，我们是可以在面对 \(a + b, a - b, a \times b\) 这样的算式的时候先把 \(a, b\) 对 \(p\) 取模来计算的，对于形如 \(a^b\) 的乘方问题，可以把底数对 \(p\) 取模、指数对 \(\varphi(n)\) 取模，再计算乘方。

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当然其实欧拉定理还有一个比较常用的推论：

对于 \(a, n \in \mathbb{Z}^{+}\)，若 \(a \perp n\)，则 \(a^x \equiv 1 (\bmod n)\) 的最小正整数 \(x_0\) 为 \(\varphi(n)\) 的约数。