互质与欧拉函数

互质

对于 \(\forall a, b \in \mathbb{N}\)，若 \(\gcd(a, b) = 1\)，则称 \(a, b\) 互质

对于三个数或者更多个数的情况则这样讨论：

• \(\gcd(a, b, c) = 1\)：\(a, b, c\) 互质

• \(\gcd(a, b) = \gcd(a, c) =\gcd(b, c) = 1\)：\(a, b, c\) 两两互质

显然后者是一个更强的限制条件。

欧拉函数

\(1 \sim N\) 中与 \(N\) 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 \(\varphi(N)\)。

在算数基本定理中，由 \(n = p_1^{c_1} p_2^{c_2} \dots p_m^{c_m}\) 我们可以得到：

\[\varphi(N) = N \times \frac{p_1 - 1}{p_1} \times \frac{p_2 - 1}{p_2} \times \dots \times \frac{p_m - 1}{p_m} = N \times \prod_{p | N, p \in \mathbb{P}} \left(1 - \frac{1}{p} \right) \]

Proof

容斥原理来帮忙。

设 \(p\) 是 \(N\) 的质因子，\(1 \sim N\) 中 \(p\) 的倍数有 \(p, 2p, 3p, \dots, (\frac{N}{p})p\)，共 \(\frac{N}{p}\) 个，同理若 \(q\) 也是 \(N\) 的质因子，则 \(1 \sim N\) 中 \(q\) 的倍数有 \(\frac{N}{q}\) 个。如果我们把 \(\frac{N}{p} + \frac{N}{q}\) 个数去掉，那么 \(p \cdot q\) 的倍数被删了两次，我们需要再加上一次，因此 \(1 \sim N\) 中不与 \(N\) 含有共同质因子 \(p, q\) 的数的个数为：

\[N - \frac{N}{p} - \frac{N}{q} + \frac{N}{pq} = N \times (1 - \frac{1}{p} - \frac{1}{q} + \frac{1}{pq}) = N (1 - \frac{1}{p})(1 - \frac{1}{q}) \]

对 \(N\) 的全部质因子使用容斥，就可以得到 \(1 \sim N\) 中不与 \(N\) 互质的数的个数。

求单个数的欧拉函数值

我们可以从欧拉函数的计算式来看：分解质因数，就可以顺便求出欧拉函数了：

int phi(int n) {
    int res = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            res = res / i * (i - 1);
            while (n % i == 0)
                n /= i;
        }
    }
    if (n > 1)
        res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

欧拉函数的性质

1. \(\forall n \gt 1, \sum_{i = 1}^{n} i \times [\gcd(i, n) = 1] = \frac{n \cdot \varphi(n)}{2}\)

• 虽然我觉得没有人会和我一样傻但是还是要说一下，注意到 \(\frac{n \cdot \varphi(n)}{2} = \frac{n}{2} \varphi(n) = n \frac{\varphi(n)}{2}\) 😃

2. 若 \(a \perp b\)，则 \(\varphi(ab) = \varphi(a) \varphi(b)\)

3. 若 \(f(n)\) 是积性函数，且在算数基本定理中 \(n = \prod_{i = 1}^{m} p_i^{c_i}\)，则 \(f(n) = \prod_{i = 1}^{m} f(p_i^{c_i})\)

4. 若 \(p \mid n, p^2 \mid n (p \in \mathbb{P})\)，则 \(\varphi(n) = \varphi(\frac{n}{p}) \times p\)

5. 若 \(p \mid n, p^2 \nmid n (n \in \mathbb{P})\)，则 \(\varphi(n) = \varphi(\frac{n}{p}) \cdot (p - 1)\)

6. \(\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n\)

Proof

• 由 \(\gcd(n, x) = \gcd(n, n - x)\) 知与 \(n\) 不互质的数 \(x, n - x\) 成对出现，平均值为 \(\frac{n}{2}\)，所以与 \(n\) 互质的数的个数也是 \(\frac{n}{2}\)。

• 我们从欧拉函数的计算式对 \(a, b\) 进行质因数分解，就能得到性质 2、3 了，由此推出“积性函数”的概念。

• 若 \(p \mid n, p^2 \mid n\)，则 \(n, \frac{n}{p}\) 包含同样的质因子，只是 \(p\) 的指数不同。直接把 \(\varphi(n), \varphi(\frac{n}{p})\) 按照计算式写出来，然后相除，商为 \(p\)，性质 4 得证。

• 若 \(p \mid n, p^2 \nmid n\)，则 \(p, \frac{n}{p}\) 互质，我们从 \(\varphi(n)\) 是积性函数可以知道 \(\varphi(n) = \varphi(\frac{n}{p}) \times \varphi(p)\)，而因为 \(p \in \mathbb{P}\) 显然 \(\varphi(p) = p - 1\)（在 \(1 \sim p\) 中除 \(\gcd(p, p) = p\) 外，\(\forall i \in [1, p), \gcd(i, p) = 1\)），性质 5 得证。

• 对于性质 6,我们设 \(f(n) = \sum_{d \mid n} \varphi(d)\)，然后用乘法分配律和 \(\varphi\) 为积性函数展开得到：若 \(n \perp m\)，则 \(f(nm) = \sum_{d \mid nm} \varphi(d) = \left( \sum_{d \mid n} \varphi(d) \right) \times \left( \sum_{d \mid m} \varphi(d) \right) = f(n) \times f(m)\)，也就是 \(\sum_{d \mid n} \varphi(d)\) 是积性函数。对于单个质因子 \(f(p^{m}) = \sum_{d \mid p^m} \varphi(d) = \varphi(1) + \varphi(p) + \varphi(p^2) + \dots + \varphi(p^m)\) 是一个等比数列求和再加 \(1\)，结果即为 \(p^m\)，所以 \(f(n) = \prod_{i = 1}^{m} f(p_i^{c_i}) = \prod_{i = 1}^{m} p_i^{c_i} = n\)，即 \(\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n\)，性质六得证。

不得惊叹于一个“简单的”、用于“计数”的函数竟然有如此丰富的性质。

积性函数

在欧拉函数的性质 3 中我们使用了“积性函数”的概念，这里做正式引入：

数论函数：亦称算术函数，指定义域为正整数、值域为复数的子集的函数

对于一个数论函数 \(f\)，若 \(\forall x, y \in \mathbb{N}^{+}, x \perp y\)，有 \(f(x, y) = f(x) f(y)\)，则称 \(f\) 是一个积性函数

对于一个数论函数 \(f\)，若 \(\forall x, y \in \mathbb{N}^{+}\)，有 \(f(x, y) = f(x) f(y)\)，则称 \(f\) 是一个完全积性函数

这三个东西显然是一个包含一个的。

从性质 3 中推广开来，不难发现任意的积性函数都可以用筛法来求。

给出一些常见的积性函数（自变量均为 \(n\)）：

1. 1 函数（完全积性）：\(\mathbb{1}(n) = 1\)

2. 幂函数（完全积性）：\(id_k(n) = n^k\)

3. 狄利克雷卷积单位元（完全积性）：\(\varepsilon(n) = \begin{cases} 1, n = 1 \\ 0, n \neq 1 \end{cases}\)

4. 因子幂和函数：\(\sigma_{k}(n) = \sum_{i \mid n} i^k\)

这个东西如果 \(k = 0\) 时又称为 \(d(n)\) 除数函数，表示 \(n\) 的因子个数

5. 欧拉函数：\(\varphi(n) = \sum_{i = 1}^{n} [\gcd(i, n) = 1]\)

6. 莫比乌斯函数：\(\mu(n) = \begin{cases} 0, n 有平方因子 \\ (-1)^k, n 无平方因子 \end{cases}\)

7. 最大公因数：\(\gcd_k(n) = \gcd(n, k)\)

8. \(r(n)\)：以原点为圆心，半径为 \(n\) 的 \(\frac{1}{4}\) 圆上的整点个数（不包含一侧端点）

线性筛求欧拉函数

利用线性筛的思想可以在 \(O(n)\) 的时间内快速递推出 \(2 \sim n\) 中每个数的 \(\varphi\)。

由上述的性质 4、5，不难发现，在线性筛法中，每个合数 \(n\) 只会被它的最小质因子 \(p\) 筛一次。我们恰好可以执行：

\[\begin{cases} p \mid n \And p \mid n^2 \to \varphi(n) = \varphi(\frac{n}{p}) \times p \\ p \mid n \And p \nmid n^2 \to \varphi(n) = \varphi(\frac{n}{p}) \times (p - 1) \\ \end{cases} \]

这是一份 C++ 代码：

int v[N], pri[N], phi[N];
void Euler(const int n) {
    m = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!v[i]) { v[i] = i; pri[++m] = i; phi[i] = i - 1; }
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (pri[j] > v[i] && pri[j] > n / i)
                break;
            v[i * pri[j]] = pri[j];
            phi[i * pri[j]] = phi[i] * (i % pri[j] ? pri[j] - 1 : pri[j]);
        }
    }
}