互质与欧拉函数

互质

对于 $\forall a, b \in \mathbb{N}$，若 $\gcd(a, b) = 1$，则称 $a, b$ 互质

对于三个数或者更多个数的情况则这样讨论：

• $\gcd(a, b, c) = 1$：$a, b, c$ 互质

• $\gcd(a, b) = \gcd(a, c) =\gcd(b, c) = 1$：$a, b, c$ 两两互质

显然后者是一个更强的限制条件。

欧拉函数

$1 \sim N$ 中与 $N$ 互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 $\varphi(N)$。

在算数基本定理中，由 $n = p_1^{c_1} p_2^{c_2} \dots p_m^{c_m}$ 我们可以得到：

$$\varphi(N) = N \times \frac{p_1 - 1}{p_1} \times \frac{p_2 - 1}{p_2} \times \dots \times \frac{p_m - 1}{p_m} = N \times \prod_{p | N, p \in \mathbb{P}} \left(1 - \frac{1}{p} \right)$$

Proof

容斥原理来帮忙。

设 $p$ 是 $N$ 的质因子，$1 \sim N$ 中 $p$ 的倍数有 $p, 2p, 3p, \dots, (\frac{N}{p})p$，共 $\frac{N}{p}$ 个，同理若 $q$ 也是 $N$ 的质因子，则 $1 \sim N$ 中 $q$ 的倍数有 $\frac{N}{q}$ 个。如果我们把 $\frac{N}{p} + \frac{N}{q}$ 个数去掉，那么 $p \cdot q$ 的倍数被删了两次，我们需要再加上一次，因此 $1 \sim N$ 中不与 $N$ 含有共同质因子 $p, q$ 的数的个数为：

$$N - \frac{N}{p} - \frac{N}{q} + \frac{N}{pq} = N \times (1 - \frac{1}{p} - \frac{1}{q} + \frac{1}{pq}) = N (1 - \frac{1}{p})(1 - \frac{1}{q})$$

对 $N$ 的全部质因子使用容斥，就可以得到 $1 \sim N$ 中不与 $N$ 互质的数的个数。

求单个数的欧拉函数值

我们可以从欧拉函数的计算式来看：分解质因数，就可以顺便求出欧拉函数了：

int phi(int n) {
    int res = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            res = res / i * (i - 1);
            while (n % i == 0)
                n /= i;
        }
    }
    if (n > 1)
        res = res / n * (n - 1);
    return res;
}

欧拉函数的性质

1. $\forall n \gt 1, \sum_{i = 1}^{n} i \times [\gcd(i, n) = 1] = \frac{n \cdot \varphi(n)}{2}$

• 虽然我觉得没有人会和我一样傻但是还是要说一下，注意到 $\frac{n \cdot \varphi(n)}{2} = \frac{n}{2} \varphi(n) = n \frac{\varphi(n)}{2}$ 😃

2. 若 $a \perp b$，则 $\varphi(ab) = \varphi(a) \varphi(b)$

3. 若 $f(n)$ 是积性函数，且在算数基本定理中 $n = \prod_{i = 1}^{m} p_i^{c_i}$，则 $f(n) = \prod_{i = 1}^{m} f(p_i^{c_i})$

4. 若 $p \mid n, p^2 \mid n (p \in \mathbb{P})$，则 $\varphi(n) = \varphi(\frac{n}{p}) \times p$

5. 若 $p \mid n, p^2 \nmid n (n \in \mathbb{P})$，则 $\varphi(n) = \varphi(\frac{n}{p}) \cdot (p - 1)$

6. $\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n$

Proof

• 由 $\gcd(n, x) = \gcd(n, n - x)$ 知与 $n$ 不互质的数 $x, n - x$ 成对出现，平均值为 $\frac{n}{2}$，所以与 $n$ 互质的数的个数也是 $\frac{n}{2}$。

• 我们从欧拉函数的计算式对 $a, b$ 进行质因数分解，就能得到性质 2、3 了，由此推出“积性函数”的概念。

• 若 $p \mid n, p^2 \mid n$，则 $n, \frac{n}{p}$ 包含同样的质因子，只是 $p$ 的指数不同。直接把 $\varphi(n), \varphi(\frac{n}{p})$ 按照计算式写出来，然后相除，商为 $p$，性质 4 得证。

• 若 $p \mid n, p^2 \nmid n$，则 $p, \frac{n}{p}$ 互质，我们从 $\varphi(n)$ 是积性函数可以知道 $\varphi(n) = \varphi(\frac{n}{p}) \times \varphi(p)$，而因为 $p \in \mathbb{P}$ 显然 $\varphi(p) = p - 1$（在 $1 \sim p$ 中除 $\gcd(p, p) = p$ 外，$\forall i \in [1, p), \gcd(i, p) = 1$），性质 5 得证。

• 对于性质 6,我们设 $f(n) = \sum_{d \mid n} \varphi(d)$，然后用乘法分配律和 $\varphi$ 为积性函数展开得到：若 $n \perp m$，则 $f(nm) = \sum_{d \mid nm} \varphi(d) = \left( \sum_{d \mid n} \varphi(d) \right) \times \left( \sum_{d \mid m} \varphi(d) \right) = f(n) \times f(m)$，也就是 $\sum_{d \mid n} \varphi(d)$ 是积性函数。对于单个质因子 $f(p^{m}) = \sum_{d \mid p^m} \varphi(d) = \varphi(1) + \varphi(p) + \varphi(p^2) + \dots + \varphi(p^m)$ 是一个等比数列求和再加 $1$，结果即为 $p^m$，所以 $f(n) = \prod_{i = 1}^{m} f(p_i^{c_i}) = \prod_{i = 1}^{m} p_i^{c_i} = n$，即 $\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n$，性质六得证。

不得惊叹于一个“简单的”、用于“计数”的函数竟然有如此丰富的性质。

积性函数

在欧拉函数的性质 3 中我们使用了“积性函数”的概念，这里做正式引入：

数论函数：亦称算术函数，指定义域为正整数、值域为复数的子集的函数

对于一个数论函数 $f$，若 $\forall x, y \in \mathbb{N}^{+}, x \perp y$，有 $f(x, y) = f(x) f(y)$，则称 $f$ 是一个积性函数

对于一个数论函数 $f$，若 $\forall x, y \in \mathbb{N}^{+}$，有 $f(x, y) = f(x) f(y)$，则称 $f$ 是一个完全积性函数

这三个东西显然是一个包含一个的。

从性质 3 中推广开来，不难发现任意的积性函数都可以用筛法来求。

给出一些常见的积性函数（自变量均为 $n$）：

1. 1 函数（完全积性）：$\mathbb{1}(n) = 1$

2. 幂函数（完全积性）：$id_k(n) = n^k$

3. 狄利克雷卷积单位元（完全积性）：$\varepsilon(n) = \begin{cases} 1, n = 1 \\ 0, n \neq 1 \end{cases}$

4. 因子幂和函数：$\sigma_{k}(n) = \sum_{i \mid n} i^k$

这个东西如果 $k = 0$ 时又称为 $d(n)$ 除数函数，表示 $n$ 的因子个数

5. 欧拉函数：$\varphi(n) = \sum_{i = 1}^{n} [\gcd(i, n) = 1]$

6. 莫比乌斯函数：$\mu(n) = \begin{cases} 0, n 有平方因子 \\ (-1)^k, n 无平方因子 \end{cases}$

7. 最大公因数：$\gcd_k(n) = \gcd(n, k)$

8. $r(n)$：以原点为圆心，半径为 $n$ 的 $\frac{1}{4}$ 圆上的整点个数（不包含一侧端点）

线性筛求欧拉函数

利用线性筛的思想可以在 $O(n)$ 的时间内快速递推出 $2 \sim n$ 中每个数的 $\varphi$。

由上述的性质 4、5，不难发现，在线性筛法中，每个合数 $n$ 只会被它的最小质因子 $p$ 筛一次。我们恰好可以执行：

$$\begin{cases} p \mid n \And p \mid n^2 \to \varphi(n) = \varphi(\frac{n}{p}) \times p \\ p \mid n \And p \nmid n^2 \to \varphi(n) = \varphi(\frac{n}{p}) \times (p - 1) \\ \end{cases}$$

这是一份 C++ 代码：

int v[N], pri[N], phi[N];
void Euler(const int n) {
    m = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!v[i]) { v[i] = i; pri[++m] = i; phi[i] = i - 1; }
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (pri[j] > v[i] && pri[j] > n / i)
                break;
            v[i * pri[j]] = pri[j];
            phi[i * pri[j]] = phi[i] * (i % pri[j] ? pri[j] - 1 : pri[j]);
        }
    }
}