Codeforces Round 960 (Div.2)

A

非常容易观察到性质，注意 Alice 为先手，发现当 $a_{\max}$ 的个数为奇数时显然能 win，但如果 $a_{\max}$ 的个数为偶数且有一个数具有奇数个可以作为跳板，那么也能 win，否则就 lose。

B

结论：$presum_x \geq 2 + presum_{y - 1} \geq 2 + \min{presum_i} \geq 1 + \max{presum_i}$，后缀和同理。

C

模拟一下容易发现每次操作后整个数组都会向后移动。

我们首先对数组进行一次操作模拟，发现整个数组就变成单调不降的了。

之后我们开始观察，对于一个连续的序列 $a[l, r] = x (l \lt r, x \gt 0)$，在一次运算之后，得到一个新的限制 $a[l + 1, \min{(r + 1, n)}] = x$ 成立，然后再给结论：如果数组中所有非零连续段（出去最后一段）的长度都大于 $1$，那么数组就遵循一个 “右移” 定律。

对于 “右移” 数组，不难得到 $b_i \lt b_{i + 1} \lt b_{i + 2}$，可以推断出 $b_i = a_i, b_{i + 1} = a_{i + 1}$，并且至少有 $a_j = a_{i + 1}(j \leq i)$ 成立，这也就说明 $a$ 并不是非单调递减的，也就是说经过 $2$ 次运算总能得到一个 “右移” 数组。

D

考虑贪心，对于 $a_i$ 足够大的情况，我们一定会在 $i$-th 行上使用操作 $2$，具体的 $i$ 是多少呢？

对于 $a_i \geq 5$ 的情况直接使用操作 $2$ 即可，因为至少需要 $3$ 个 $2 \times 2$ 的网格来覆盖，而在 $i - 1, i, i + 1$ 行进行三次 $2$ 操作带来的收益显然更大。

然后讨论一下 $a_i \lt 5$ 的情况，考虑从左到右：

• 没有黑色格子
• 有 $\leq 2$ 个黑色格子，放入一个 $2 \times 2$ 的子网格
• 有 $\gt 2$ 个黑色格子，直接进行一次 $2$ 操作即可

总结一下，对于 $i$-th 行，对于当前行来说 $i - 1$-th 的影响只有：

• 不受影响
• 第 $3$ 列和第 $4$ 列的单元格被涂成白色
• 第 $1$ 列和第 $2$ 列的单元格被涂成白色

E

交互题。

当我们查询子树的时候，如果返回 $0$，那么删除整棵子树。注意到我们可以查询任意叶子节点，那么如果返回了 $1$ 就直接跳出，否则鼹鼠就要往父节点跑，再考虑如果查询子树时返回了 $1$，那么就再查询将其驱逐出当前的子树跳往父亲。

朴素的做法处理起来太麻烦，而且 Easy & Hard 还需要做优化，官方的题解给的做法太麻烦了，给一个更优的解法：

查询任意的叶子节点 $70$ 次（均摊），然后删除 $dep_{\max} - dep_v + 1 \leq 70$，那么树就被拆分成了 $\leq 70$ 条链，check 一遍跑过去就可以了，这样跑得飞快。

F

无端联想 % 你赛的最大 $C_{\triangle}$，主席树挂大分……

非常明显需要使用线段树维护，明确我们需要做什么.

注意到对于一份 “局部” 的最大多边形线段 $[l, r]$ 必须满足 $\min{a_{l - 1}, a_{r + 1}} \geq 2 \cdot (a_l + \dots + a_r)$，当然包括 $l = 1, r = n$ 的情况。

当且仅当 $\sum_{i = 1}^{r} a_i \leq 2 \cdot a_i$ 时，定义区间 $[l, r]$ 的后缀 $[i, r]$ 为 special，同样的前缀也定义为 special。

观察性质，最多有 $O(\log{(\max a)})$ 个 special 后缀，因为从定义中不难得到一个 special 之和至少是前一个 special 之和的 $2$ 倍，因此我们可以合并左边区间的 special 后缀和右边区间的 special 前缀，这部分可以使用 two-pointers 来完成，然后就可以获取到一个跨越区间的答案了。