随机乱做 Part 3
- 「CF1527D」MEX Tree（分类讨论 + 容斥）
- 「CF1523D」Love-Hate（随机化 + 高维后缀和）
- 「CF1523E」Crypto Lights（期望转概率 + 组合数学）
- 「洛谷 P5574」[CmdOI2019]任务分配问题（分治决策单调性优化 DP + 莫队状指针移动）
- 「CF1499F」Diameter Cuts（树形 DP）
- 「CF1499E」Chaotic Merge（DP）
- 「CF1572B」Xor of 3（构造）
- 「CF1585F / CF1571F」 Non-equal Neighbours & 「ARC115E」LEQ and NEQ（容斥 + 单调栈优化线性 DP）
- 「CF1578L」Labyrinth（Kruskal 重构树 + 结论）
- 「CF1497E2」Square-free division (hard version)（转换枚举量 + 双指针 + DP）
「CF1527D」MEX Tree（分类讨论 + 容斥）
路径上的点的 \(\mathrm{MEX}=i\) 等价于有点 \(0\sim i-1\)，并且没有点 \(i\)。我们可以直接处理出 \(ans_i\) 表示存在点 \(0\sim i\) 的路径条数。这个可以考虑以 \(0\) 为根，现在包含 \(0\sim i\) 的链的形状，即一端为 \(0\) 或者两端在 \(0\) 的两个不同的子树内，贡献可以直接计算。但是分类讨论有一点/tuu
容斥一下，\(ans_{i-1}-ans_i\) 就是 \(\mathrm{MEX}=i\) 的答案。
代码：https://pastebin.ubuntu.com/p/xTvjbxFDTX/。
「CF1523D」Love-Hate（随机化 + 高维后缀和）
又一次败在了随机化的题上……
因为有不少于 \(\lceil\frac{n}{2}\rceil\) 个人在最终答案里，所以如果随机 \(i\) 个人，使得他在最终答案里，那么错误的概率将会是 \(\frac{1}{2^i}\)。所以问题转化为：一个人喜欢的货币中，最多选出多少个使得有不少于 \(\lceil\frac{n}{2}\rceil\) 个人都喜欢它们。
因为 \(1\le p\le 15\)，所以可以考虑状压 DP。设 \(f_S\) 表示喜欢集合 \(S\) 中所有货币的人的数量，转移就是一个高维后缀和。求答案直接在 \(f_S\ge \lceil\frac{n}{2}\rceil\) 的 \(S\) 中找 \(\rm{popcount}\) 最大的 \(S\) 就行了。
感觉这种随机化基本想不到啊……还是要多见见。
代码：https://pastebin.ubuntu.com/p/cxKvrx53ws/。
「CF1523E」Crypto Lights（期望转概率 + 组合数学）
设 \(p_i\) 为最终开了 \(i\) 盏灯的概率，那么 \(E=\sum\limits_{i=1}^n p_ii\)。
直接求并不好求，我们考虑化一下式子：\(E=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i}^n p_j\)，这样如果设 \(s_i=\sum\limits_{j=i}^n p_j\)，那么 \(E=\sum\limits_{i=1}^n s_i\)。
考虑 \(s_i\) 的意义，是最终开了 \(\ge i\) 盏灯，那么就相当于前面 \(i-1\) 盏灯没有冲突。这个很好求，相邻两盏灯之间的间隔都要 \(>k-1\)，所以方案数就是 \(\binom{n-(k-1)(i-1)}{i}\)，概率就还需要除一个 \(\binom{n}{i}\)。
那么就做完了！
代码：https://pastebin.ubuntu.com/p/yfbDrjMWR3/。
「洛谷 P5574」[CmdOI2019]任务分配问题（分治决策单调性优化 DP + 莫队状指针移动）
很明显的暴力 dp：设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数分成了 \(j\) 段的最小无序度之和。转移可以枚举上一段的起点在哪里。
对于划分区间的问题，需要长个心眼：是否满足决策单调性（四边形不等式），即 交叉 \(\le\) 包含？
发现这道题中确实如此，证明可以考虑讨论一下 一个产生贡献的点对中 的 两个点 在大区间中的位置。此处略去。
那么就可以愉快地跑分治决策单调性了！指针的移动可以像莫队那样子做（注意初始化 \(L=1\)），复杂度可以证明是正确的。
代码：https://pastebin.ubuntu.com/p/HWNwYYBTjt/。
「CF1499F」Diameter Cuts（树形 DP）
直径可以 DP 求，那么和直径相关的量也应该想到 DP。
设 \(f_{u,i}\) 表示 \(u\) 子树内连接 \(u\) 的最长链是 \(i\)，且满足条件的方案数。
转移时枚举每条边 \((u,v)(v\text{\ is a son of } u)\) 是否断开：
- 若断开，则 \(f_{u,i}\leftarrow f_{u,i}\times\sum\limits_{j=0}^k f_{v,j}\)；
- 若不断开，那么 \(f_{u,\max(i,j+1)}\leftarrow f_{u,i}\times f_{v,j}(i+j+1\le k)\)。
答案即为 \(\sum\limits_{i=0}^k f_{1,i}\)。
代码：https://pastebin.ubuntu.com/p/y4t6yVp8hB/。
「CF1499E」Chaotic Merge（DP）
设 \(f_{i,j,0/1}\) 表示 \(x\) 匹配到第 \(i\) 位，\(y\) 匹配到第 \(j\) 位，最后一位是 \(x_i/y_j\) 的方案数。
转移可以直接看倒数第二位是什么。
注意新开一个串的情况需要单独讨论，需要从 \(f_{0,j,1}/f_{i,0,0}\) 转移过来，而这些需要预处理。
代码：https://pastebin.ubuntu.com/p/QRBTGXnxBd/。
「CF1572B」Xor of 3（构造）
容易发现操作不会改变整个序列的异或和，所以如果有解，那么原序列异或和一定为 \(0\)。
考虑如果 \(n\) 是奇数，那么可以先操作 \(n-2,n-4,\dots,3,1\) 来使得 \(a_n=a_{n-1},a_{n-2}=a_{n-3},\dots,a_3=a_2,a_1=0\)，然后再反过来操作就可以得到全 \(0\)。
如果 \(n\) 是偶数，那么找一个异或和为 \(0\) 的长度为奇数的前缀，前后分别来做 \(n\) 是奇数的构造就可以了。
代码：https://pastebin.ubuntu.com/p/SyrPsNwWbG/。
「CF1585F / CF1571F」 Non-equal Neighbours & 「ARC115E」LEQ and NEQ（容斥 + 单调栈优化线性 DP）
首先考虑容斥一下，假设有若干个 \(b_i=b_{i+1}\)，那么就相当于把序列分成了一堆相等的段，段与段之间不一定不同。
那么答案就是 有 \(n\) 段的答案 \(-\) 有 \((n-1)\) 段的答案 \(+\) 有 \((n-2)\) 段的答案 \(\cdots\pm\) 有 \(1\) 段的答案 \(\mp\) 有 \(0\) 段的答案。
其实这个东西等价于：
- \(n\) 是奇数时，答案为 分成奇数段的 \(-\) 分成偶数段的；
- \(n\) 是偶数时，答案为 分成偶数段的 \(-\) 分成奇数段的。
那么可以考虑设 \(f_{i,0/1}\) 表示填完了 \([1,i]\)，分成了偶数段 / 奇数段的答案。
转移：\(f_{i,0/1}=\sum\limits_{j=0}^{i-1}f_{j,1/0}\times\min\limits_{k=j+1}^i\{a_k\}\)。
暴力做是 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的。
看到这种区间 \(\min\) 的转移形式，需要联想到单调栈。维护一个严格递增的单调栈，那么设 \(x\) 是 \(i\) 左边第一个小于 \(a_i\) 的位置，则有 \(f_{i,0/1}=f_{x,0/1}+a_i\times\sum\limits_{j=x}^{i-1}f_{j,1/0}\)。因为对于 \(1\sim x-1\) 的所有 \(y\) 转移到 \(i\) 的贡献为 \([y+1,i]\) 中的 \(\min\)，这和 \([y+1,x]\) 中的 \(\min\) 一样，即贡献一样。所有这些贡献全部转移到了 \(f_{x,0/1}\)，所以可以直接继承过来。
那么只需要维护一下分成 偶数段 / 奇数段 的前缀和就行了。
代码：https://pastebin.ubuntu.com/p/bGYQJvMgjd/。
「CF1578L」Labyrinth（Kruskal 重构树 + 结论）
首先肯定是建出最大生成树。
然后考虑，如果当前身体宽度比某些边大，那么这些边其实可以被理解为已经断掉了。
那么有一个结论：一条边如果断掉了，那么它的子树内的糖果一定已经全部被吃过了。证明显然。
于是就可以在建树的时候递推答案，在 先左子树后右子树 和 先右子树后左子树 中的答案取 \(\max\)，这个“答案”其实就是 需要走完一个子树的最大初始身体宽度和当前边权取 \(\min\) 后减去还没走的子树内的糖果数量。
具体可以见代码理解。
代码：https://pastebin.ubuntu.com/p/nD7bZQfQ4M/。
「CF1497E2」Square-free division (hard version)（转换枚举量 + 双指针 + DP）
首先可以把每个数的平方因子除掉，很明显这样对答案没有影响。
设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个修改 \(j\) 次最多分了几段，转移的时候需要一个辅助数组 \(mx_{i,j}\) 表示以 \(i\) 结尾，修改 \(j\) 次能到达的满足条件的最远端点，那么 \(f_{i,j}\leftarrow\min\limits_{l=0}^j\{f_{mx_{i,l}-1,j-l}+1\}\)。
考虑怎么求这个 \(mx_{i,j}\)。一个性质是在 \(j\) 不变的情况下，\(mx_{i,j}\) 随着 \(i\) 的递增而不降。那么就可以通过双指针来求。
注意有点卡常，需要预处理出每个数去掉平方因子后的结果。
