洛谷 P6199 [EER1]河童重工 题解

题面

题意：

给定两棵 $n$ 个点的带边权树。

求包含 $n$ 个点的，$i$ 和 $j$ 之间边权为 $d_1\left(i, j\right) + d_2\left(i, j\right)$ 的完全图的最小生成树大小。

其中 $d_x\left(i, j\right)$ 表示 $i$ 和 $j$ 两点在第 $x$ 棵树上的距离。

数据范围：$n\le10^5$。

子问题：Tree MST。

先来考虑子问题的解法：

• 有一个结论：如果我们把边集分成两部分，对这两部分分别求 MST，然后再合并起来，就是原图的 MST。
• 由于问题建立在树上，因此考虑树分治。
• 在点分治的过程中，考虑跨过分治重心的路径。设分治重心为点 $x$，$f_u=dis_{u,x}+w_u$，那么把两个点 $u$，$v$连起来的边权就是 $f_u+f_v$。很明显，对于当前分治重心控制的所有节点，肯定是都和 $f$ 值最小的点连起来最优，将这些边加入边集中。
• 对于在同一个子树内的两个点 $u$ 和 $v$，这样连边的边权大于实际边权，但没有关系，这样肯定不优，而实际边权会在之后的递归中被考虑到，所以可以照样加进去。
• 最后对于选出来的边跑一遍 Kruskal 即可。
• 时间复杂度 $\mathcal{O}(n\log^2n)$。

考虑将子问题的解法扩展到当前问题。

对第二棵树点分治，那么对于当前分治重心 $x$ 来说，两个点 $u$，$v$ 的边权就是 $d_2\left(u,x\right)+d_2\left(v,x\right)+d_1\left(u,v\right)$。

将 $x$ 这一层的所有节点在第一棵树上的虚树拿出来，并且对每一个点 $u$ 建一个虚点 $u+n$，将它们俩连起来，边权为 $d_2\left(u,x\right)$。

对于虚树上的每一个点 $u$，找到离它最近的虚点 $fr_u$。对于每一条边 $\left(u,v\right)$，如果离它们两个点最近的虚点不同，那么在最终边集中加入 $\left(fr_u,fr_v,w_{u,v}+dis_u+dis_v\right)$，其中 $dis_u$ 表示 $u$ 和与它最近的虚点的距离。对于最终边集跑一边 Kruskal 即可。

这样做为什么是对的？考虑加入到最终边集中的边边权一定不会小于实际边权（因为加进的边一定合法），对于最终最小生成树上的一条边 $\left(u,v,w\right)$，当分治重心在 $u$ 到 $v$ 的路径上时，这条边就会加入。

时间复杂度 $\mathcal{O}\left(n\log^2n\right)$。

Code：https://pastebin.ubuntu.com/p/fN3Rbg5mHV/。