上下界网络流小记

概述

上下界网络流，就是每条边不仅有流量上限，还有流量下限。和所有网络流一样，需要满足每个点入流量等于出流量，即流量守恒。

根据有无源汇以及要求可行流 / 最大流 / 最小流，可以分成如下几种。下面依次展开。

模板题在 LOJ 上有。

~~懒得画图了！~~

无源汇上下界可行流

先把每条边的流量设为下限，这个时候有可能存在点流量不守恒，那么我们就需要调整。

考虑添加一些附加边，使得原图（即每条边流量都是下限的网络）和这个附加图（每条边流量就是附加边的流量）对应边的流量加起来会流量守恒。

首先，对于原图的一条边 $(u,v,l,r)$ ，我们需要在附加图上加入边 $(u,v,r-l)$ ，表示可以调整的流量。

然后，建立超级源点 $S$ 和超级汇点 $T$ ，设 $dlt_i$ 表示原图中点 $i$ 的入流量减出流量：

若 $dlt_i=0$ ，则流量守恒，不需要附加流量；
若 $dlt_i>0$ ，则需要附加图中出流量大于入流量，那么连边 $(S,i,dlt_i)$ ；
若 $dlt_i<0$ ，则需要附加图中入流量大于出流量，连边 $(i,T,-dlt_i)$ 。

如果 $S$ 连出去的所有附加边满流，说明这一个点可以满足流量守恒，否则这个点就不能流量守恒。

在建图完毕之后跑 $S$ 到 $T$ 的最大流，若 $S$ 连出去的边全部满流，则存在可行流，否则不存在。

模板题代码：https://loj.ac/s/1597229。

有源汇上下界可行流

由汇点 $T$ 向源点 $S$ 连一条下界为 $0$ ，上界为 $\infty$ 的附加边，得到一张和原图等价的无源汇网络。

于是问题就转化成了无源汇上下界可行流。此时从源点到汇点的可行流流量，即为从汇点到源点的那条附加边的流量（注意下界网络中对应边流量为 $0$ ）。

值得一提的是，给出的源点和汇点现在已经被看成普通点，我们需要建立新的超级源点 $S'$ 和超级汇点 $T'$ 。

有源汇上下界最大流

跑一遍有源汇上下界可行流，那么已知流量就是 $T$ 到 $S$ 的附加边的流量（因为流量守恒）。

要求从 $S$ 到 $T$ 的最大流，我们可以删除所有附加边（实际上必须删的只有 $(T,S,0,\infty)$ 这条边，因为如果存在可行流那么连接 $S'$ 和 $T'$ 的边流量都已经是 $0$ 了，对答案没有影响），然后以 $S$ 与 $T$ 为源点与汇点，再求残量网络的最大流，加上可行流的流量即为原网络的最大流。