上下界网络流小记

概述

上下界网络流，就是每条边不仅有流量上限，还有流量下限。和所有网络流一样，需要满足每个点入流量等于出流量，即流量守恒。

根据有无源汇以及要求可行流 / 最大流 / 最小流，可以分成如下几种。下面依次展开。

模板题在 LOJ 上有。

~~懒得画图了！~~

无源汇上下界可行流

先把每条边的流量设为下限，这个时候有可能存在点流量不守恒，那么我们就需要调整。

考虑添加一些附加边，使得原图（即每条边流量都是下限的网络）和这个附加图（每条边流量就是附加边的流量）对应边的流量加起来会流量守恒。

首先，对于原图的一条边 \((u,v,l,r)\)，我们需要在附加图上加入边 \((u,v,r-l)\)，表示可以调整的流量。

然后，建立超级源点 \(S\) 和超级汇点 \(T\)，设 \(dlt_i\) 表示原图中点 \(i\) 的入流量减出流量：

若 \(dlt_i=0\)，则流量守恒，不需要附加流量；
若 \(dlt_i>0\)，则需要附加图中出流量大于入流量，那么连边 \((S,i,dlt_i)\)；
若 \(dlt_i<0\)，则需要附加图中入流量大于出流量，连边 \((i,T,-dlt_i)\)。

如果 \(S\) 连出去的所有附加边满流，说明这一个点可以满足流量守恒，否则这个点就不能流量守恒。

在建图完毕之后跑 \(S\) 到 \(T\) 的最大流，若 \(S\) 连出去的边全部满流，则存在可行流，否则不存在。

模板题代码：https://loj.ac/s/1597229。

有源汇上下界可行流

由汇点 \(T\) 向源点 \(S\) 连一条下界为 \(0\)，上界为 \(\infty\) 的附加边，得到一张和原图等价的无源汇网络。

于是问题就转化成了无源汇上下界可行流。此时从源点到汇点的可行流流量，即为从汇点到源点的那条附加边的流量（注意下界网络中对应边流量为 \(0\)）。

值得一提的是，给出的源点和汇点现在已经被看成普通点，我们需要建立新的超级源点 \(S'\) 和超级汇点 \(T'\)。

有源汇上下界最大流

跑一遍有源汇上下界可行流，那么已知流量就是 \(T\) 到 \(S\) 的附加边的流量（因为流量守恒）。

要求从 \(S\) 到 \(T\) 的最大流，我们可以删除所有附加边（实际上必须删的只有 \((T,S,0,\infty)\) 这条边，因为如果存在可行流那么连接 \(S'\) 和 \(T'\) 的边流量都已经是 \(0\) 了，对答案没有影响），然后以 \(S\) 与 \(T\) 为源点与汇点，再求残量网络的最大流，加上可行流的流量即为原网络的最大流。

这是因为，可行流已经保证了流量守恒，那么删去附加边后，我们再跑一次最大流，流量仍然守恒。

在残量网络上跑最大流得到了可以额外增广的流量，加上之前求出的可行流就是要求的最大流。

模板题代码：https://loj.ac/s/1597399。